专题14 整式中数字类和图形类规律探究问题-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（人教版2024）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
1.数字规律：若是一列整数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等规律，也可能是奇、偶、平方等方面的规律；若是等式，可将每个等式对应写好，比较每一行、每一列数字间的关系找规律；若是分数，则分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系。
2.图形规律：观察数量变化，探究由特殊到一般的关系，用代数式抽象出来；观察图形的拼接，发现规律并类推得到图形的规律性。
3.探索方法：从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，尤其关注变化时与序数的关系，归纳出一般性结论。

【题型1 数字类规律探索之排列问题】
例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）一列数第6项是 ，第2018项是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）观察下列一组有规律的数：，，，，，，，根据其规律可知：第个数是 ．
2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）有一列数：，，，，，则第个数表示为 ．
3．（2025·西藏日喀则·一模）按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ．
【题型2 数字类规律探索之末尾数字问题】
例题：（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ．
2．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）观察下列几个算式：；；；，……，结合你观察到的规律判断：的计算结果的末位数字为 ．
3．（24-25七年级上·广东广州·期中）二进制即“逢二进一”，如表示二进制，将它化为十进制数为，（注：），把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是 ．
【题型3 数字类规律探索之新运算问题】
例题：（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知，其中表示当时代数式的值，如，则 ， ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知．设为正整数，请用关于的等式表示这个规律 ．
2．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于 ．
3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，，，，，，，，）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则第26个“智慧数”是 ；2025是第 个“智慧数”．
4．（2025·山东枣庄·一模）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取，则…，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是 ．
【题型4 数字类规律探索之等式问题】
例题：（24-25八年级上·吉林·期中）观察下列算式：
①
②
③
……
把这个规律用含字母（为正整数）的式子表示出来 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知根据以上规律，可得，猜想： ．经检验，猜想 （填“正确”或“错误”）．
2．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）观察下列式子： …探索以上式子的规律，请写出第n个等式： ．
3．（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如∶，．
若，则称有理数a，b为“隔一数对”．
例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”．
请同学们解答下列问题：
(1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由；
(2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：
．
【题型5 图形类规律探索之数字问题】
例题：（24-25六年级上·山东泰安·期末）观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定的值为
2．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？
【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系：
【归纳猜想】
（1）______．
（2）______．
【拓展应用】
（3）求的值．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．

(1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影；
(2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果）
(3)观察图形并探索（ ）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立．
4．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）综合与实践
如图所示，某同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形．
【观察思考】
（1）第1个图中的彩色正方形有：；
第2个图中的彩色正方形有：：
第3个图中的彩色正方形有：；
第4个图中的彩色正方形有：；…，
请写出第个图中的彩色正方形有：________个；（请用含有的代数式表示）
【运用规律】
（2）根据图形的搭建规律可知，第个图中的白色正方形有________个；（请用含有的代数式表示）
（3）若第个图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求的值．
5．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合探究
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．
如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推…
(1)根据图形填写上表；
(2)计算：；（请写出计算过程）
(3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型．
设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；…
①第n次分割后，空白部分的面积是______．
②由此计算的值．
【题型6 图形类规律探索之数量问题】
例题：（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题：
(1)________，________；
(2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示）
(3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·北京·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题．
(1)第6个结构式的分子式是_____；
(2)第n个结构式的分子式是_____；
(3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物．
(4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物．
2．（24-25七年级上·福建莆田·期中）用火柴棒按图中的方式摆图形：
按图示规律填空：
(1)________，________；
(2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示）
(3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数．
3．（2025·安徽宣城·一模）如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推．
(1)第5个图案中“●”的个数是________．
(2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数．
(3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数．
一、单选题
1．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·云南文山·模拟预测）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过1小时便由1个分裂成2个．根据此规律可得，那么经过（为正整数）小时后可分裂成（ ）个细胞
A．B．C．D．
3．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据，，，
的规律，则的个位数字是（ ）
A．3B．5C．7D．1
4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2025·四川资阳·模拟预测）已知；若、b均为整数)，则 ．
7．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．

8．（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ．
9．（2025·广西贺州·三模）据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块．
10．（2025·山东日照·三模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：．规定（k为正整数），例如，．按此定义，则 ．
三、解答题
11．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题．
(1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____；
(2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由．
12．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表．
(1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______．
(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由．
(3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由．
13．（22-23七年级上·四川南充·期中）观察下列三行数，并完成后面的问题：
①，4，，16，，；
②1，，4，，16，；
③0，，3，，15，；
取每一行的第个数，依次记为．
(1)当时，请依次写出的值；
(2)当时，计算的值．
14．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察下列各式：
①；
②；
③；
(1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________；
(2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________；
(3)请运用你总结的规律计算：．
15．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：
(1)对于方式一，4张桌子拼在一起可坐_________人
(2)方式一，n张桌子拼在一起可坐_________ 人（用含n的代数式表示）
方式二，n张桌子拼在一起可坐_________人（用含n的代数式表示）．
(3)一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？
16．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
（规律探索）
(1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____；
同种操作，如图3，_____；
如图4，________；
……若同种地操作n次，则_________．
于是归纳得到：_________．
(2)阅读材料：求的值．
解：设①，
将①×2得：②，
由②-①得：，即．
即
根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程．
①
②
③
阴影面积
面积
①
②
③
阴影面积
面积
图形标号
第一个
第二个
第三个
第四个
涂有阴影的小正方形的个数
5
a
13
b
图形标号
①
②
③
④
⑤
火柴棒的根数
5
9
13