专题23 角的比较与运算（3知识点+6大题型）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（人教版2024）

这是一份专题23 角的比较与运算（3知识点+6大题型）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（人教版2024），文件包含专题23角的比较与运算3知识点+6大题型+思维导图+过关测原卷版docx、专题23角的比较与运算3知识点+6大题型+思维导图+过关测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 角的比较
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种：
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
知识点02 角的运算
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
知识点03 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．

【题型1 角的比较】
例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．没有量角器，无法确定
【变式训练】
1.（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，下列各式中不一定正确的是（ ）
A． B．
C．D．
2.（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．可以用表示D．与表示同一个角
3.（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【题型2 角度的四则运算】
例题：（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1)（结果用度、分、秒表示）；
(2)（结果用度表示）．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
3．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型3 三角板中角度计算问题】
例题：（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．

2.（23-24七年级上·河南洛阳·期末）将一副直角三角尺按如图1方式叠放，．如图2，现将三角尺固定，令三角尺绕顶点A顺时针旋转一周．若要使，则的度数为 ．
3.（24-25八年级上·河北邢台·开学考试）直角三角板的一个顶点O在直线上，．
(1)如图1，三角板在直线上方．
①若，则 ；
②若平分，则 ；
(2)若三角板在直线下方，．求的度数；
(3)类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数．
【题型4 实际问题中角度计算问题】
例题：（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为
【变式训练】
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是 ．
2．（2024·江西吉安·一模）如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为 ．
3．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ．
【题型5 角平分线的有关计算】
例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线．
(1)求和的度数；
(2)是的平分线吗？为什么？
【变式训练】
1.（23-24七年级上·广东惠州·期末）（1）如图1，射线在的内部，平分，平分，若，求的度数；
（2）射线，在的内部，平分，平分，若，，求的度数；
（3）在（2）中，，，其他条件不变，请用含，的代数式表示的度数（不用说理）．

2.（23-24七年级上·四川达州·期末）如图①，已知射线、在的内部在右侧），，．
(1)如果射线平分，，如图②，则 ；
(2)如果射线、分别平分、，如图③，求的度数；
(3)在（2）的条件下，当时，求的度数．
3.（23-24七年级上·广西贵港·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线．
(1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数；
(2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数
(3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小．
【题型6 角n等分线的有关计算】
例题：（23-24七年级上·山西大同·期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式训练】
1.（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ．
一、单选题
1．（24-25七年级上·广西河池·期末）在内任取一点C，作射线，那么一定有（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·甘肃白银·三模）如图，将三角板按如图所示的方式摆放，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，已知，，点、、在同一条直线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25六年级下·山东淄博·期中）已知是内的一条射线，下列条件中不能确定射线平分的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（24-25七年级上·四川乐山·期末） ．
7．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知，，则的度数为 ．
8．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，一副三角板，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是 ．
9．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ．
10．（24-25六年级下·山东泰安·期中）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”，如果且是的“巧分线”，则的度数为 ．
三、解答题
11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
12．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线相交于点平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
13．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知在同一平面内．
(1)求的度数；
(2)如果平分平分，求的度数．
14．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，将两块直角三角板与的直角顶点重合在一起，其中直角边在内部，且，．
(1)若，求和的度数．
(2)若．请问和有什么数量关系？并说明理由．
15．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，点O是直线上一点，直角三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时，射线从与重合的位置开始绕O点以每秒逆时针方向旋转至，两者有一个到达终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，求的大小；
(2)当运动停止时，求t的值；
(3)当时，求t的值．
16．（24-25七年级上·江苏南通·期末）定义：在一个钝角内部作一条射线，如果这条射线把这个钝角分成的两个角中存在一个角与这个钝角互补，那么称这条射线为这个钝角的“补给线”．
例如：如图，，，

则是的“补给线”．
(1)已知是的一条三等分线，若也是的“补给线”，则______°；
(2)若的“补给线”有且只有一条，求的度数；
(3)若射线，是的两条“补给线”，且，求的度数．