专题20 线段和角的动态问题-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（北师大版2024）

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练题型 强知识：9大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
1.线段动点问题：涉及动点在已知线段上运动，常利用线段的和差关系、中点性质来求解线段长度，有时会结合方程思想，根据运动时间和速度表示出相关线段长度，进而解决如求线段长、运动时间、定值等问题。
2.角的动态问题：包括角的旋转等动态变化，常依据角平分线性质、角的和差关系来计算角度，或探究角度之间的数量关系及定值等。
3.新定义问题：出现如“倍距点”“美好点”“巧点”等新定义，需要根据定义结合线段或角的知识，通过分析动点位置和数量关系来解决问题。
【题型1 线段上含动点求线段长问题】
例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，．
(1)当点E是的中点时，求的长度；
(2)当时，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查线段的和差，线段的中点．
（1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，；
（2）设，则，，根据即可得到方程，求解即可解答．
【详解】（1）∵，，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设，则，
，
∵，
∴，
解得，
∴．
【变式训练】
1．（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点；
①若点C恰为的中点，则 cm；
②若，则 cm；
（2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；

【答案】 6 6 /
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了两点间的距离，注意同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半．根据线段的中点性质，可得线段的中点分线段相等，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点，
∴,
∵D、E分别是、的中点,
∴,,
∴，
②∵，，
∴,
∵D、E分别是、的中点,
∴,,
∴，
故答案为：6，6；
（2）DE的长度与点C的位置无关；
因为点D、E分别是、的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足．
(1)当点C为中点时，求的长．
(2)若E为中点，当时，求的长．
【答案】(1)2
(2)6
【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形．
（1）根据线段中点的性质计算即可；
（2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算．
【详解】（1）解：∵点C为中点，
∴，
∵
∴；
（2）解：如图，
∵E为中点，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（23-24七年级上·河北承德·期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．

(1)若，求的长；
(2)若为的中点，则与的数量关系是______；
(3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系
【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．
（1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解；
（2）根据线段中点的概念求解即可；
（3）根据线段中点的概念求解即可．
【详解】（1），
，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
()；
（2）为的中点，
，
点是的中点，
；
（3）点是的中点，
，
点是的中点，
，
()，
的长不变．
【题型2 线段上含动点求定值问题】
例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点．
(1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________．
(2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不会，的长为定值
【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
（1）根据题意求出的长度，根据三等分点的定义求出的长度，即可得到答案；
（2）分及两种情况分类讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0，
根据题意可知：，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
若点P表示的有理数是6，
，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
故答案为：；；
（2）解：的长不会发生改变；
设点表示的有理数为（且），
当时，，，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
当时，，，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒．
(1)当时，①______，②此时线段的长度______；
(2)用含有t的代数式表示运动过程中的长；
(3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由．
【答案】(1)①2，②；
(2)当时，，当时，；
(3)的长度不变，为
【知识点】用代数式表示式、线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式：
（1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案；
（2）分当时，当时，两种情况讨论求解即可；
（3）根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系可得．
【详解】（1）解；①由题意得，；
②∵，，
∴，
∵N是线段的中点，
∴；
（2）解：当时，，
当时，；
（3）解：∵点C和点N分别是的中点，
∴，
∴，
∴的长度不变，为．
2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为．
(1)当时，则线段________，线段________；
(2)当为何值时，？
(3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值．
【答案】(1)4；3
(2)或
(3)，定值为5
【知识点】整式加减中的无关型问题、线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系
（1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得；
（2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可；
（3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得．
【详解】（1）解：∵，点以的速度运动，
∴时，，，
∵是线段的中点，
∴
故答案为：
（2）解：∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
当点从时，
当点从时，
∵点沿的路线需要
故
综上所述，当为或时，．
（3）解：如图，
由题意得：点的速度是，点速度为
∵，
∴点在点右侧，
由题意可知
∴
∵是线段的中点
∴
即
∵线段的长度始终是一个定值
∴
故解得，定值为5
3．（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．

(1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ；
(2)当时，求t的值；
(3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
【答案】(1)2，；
(2)或；
(3)
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面．
（1）根据点P的运动速度，即可求出；
（2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧；
（3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变．
【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度，
所以当时，的长为2，
因为点 A 对应的有理数为，，
所以点P表示的有理数为；
（2）解：当，要分两种情况讨论，
点P在点B的左侧时，因为，所以，所以；
点P在点B的是右侧时，，所以；
（3）解：MN长度不变且长为5．
理由如下：当在线段上时，如图，

∵M为线段 的中点，N 为线段的中点，
∴，，
∴ ，
∵，
∴．
当在线段的延长线上时，如图，

同理可得：；
综上：．
【题型3 线段上含动点求时间问题】
例题：（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且．
(1)__________，__________；
(2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为．
①求为何值，线段的长为；
②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16，8
(2)①或或；②存在，
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段n等分点的有关计算、与线段有关的动点问题
【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形．
（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；
（2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得，
【详解】（1）解：，，
故答案是：16，8；
（2）①当M、N第一次相遇时，，
当M到达E点时，，
如图1，
当时，，
∴，
如图2，
当时，，
∴，
如图3，
当时，，
∴，
综上所述：或或；
②如图4，
当时，
由得，，
∴，
如图5，
当时，，
∴，此时不构成四边形，舍去
综上所述：．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”．
(1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ．
(3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点．
①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？
②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值．
【答案】(1)不是
(2)3或6或9或18
(3)或4或10；②或8或10或13
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差，
（1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答；
（2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可；
（3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可；
熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）假设点P是线段的中点，
∴，
∴线段的中点不是该线段的“倍距点”，
故答案为：不是；
（2）当点C在线段上时，，
若，则，
若，则；
当点C在线段延长线上时，，则，则
当点C在线段延长线上时，，则；
故答案为：3或6或9或18；
（3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点，
∴点C表示的数为11，
①由题意得，，
∴，
若点为的“倍距点”，
则或，
即，解得或10；
或，解得（负舍）；
综上，的值为或4或10；
②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，
∴，
∵点为的“倍距点”，
∴则或，
即或，
解得或8或10或13．
【题型4 线段上含动点的新定义型问题】
例题：（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且．
(1)求线段，的长；
(2)点是线段上的动点，线段的中点为，设．
①请用含有的式子表示线段，的长；
②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值．
【答案】(1)，
(2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或
【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差
【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键．
（1）由线段，点C在线段AB上，且，可得答案；
（2）①分当点在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得的值．
【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段AB上，且，
∴，；
（2）解：①当点在线段上时，
∵点是的中点，
∴，
，；
当点在线段上时，
∵点是的中点，
∴，
，；
②当点在线段上时，则，
∴，
解得：，
当点在线段上时，
则，
∴，
解得：，
综上：的值为或．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·山东青岛·期末）如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
(2)若线段，点C为线段AB的“巧点”，则_______；
(3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由．
【答案】(1)是；是
(2)或或
(3)或或，理由见解析
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．
（1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可；
（2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可．
【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；
故答案为：是；是．
（2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”，
∴，
或，
或．
故答案为：或或．
（3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间，
∵点P为的巧点，
∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间，
当时，P为的巧点，
∴ ，
解得：；
当时，P为的巧点，
∴，
解得：；
当时，P为的巧点，
∴ ，
解得：；
所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”．
2．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】
如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”）
（2）【新知应用】
如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______．
（3）【拓展探究】
已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数．
【答案】（1）是；（2）；（3）或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用．
（1）根据“妙点”的定义即可判断；
（2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可；
（3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数．
【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点，
∴，
∴点为线段的“妙点”
故答案为：是
（2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7，
∴，
又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为，
∵，
∴，
解得：，
点对应的数为，
故答案为：
（3），
∴，
∴
设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则，
依题意：或，
即或，
解得：或，
又当点，相遇时，，得，
即，
当时，，故点在数轴上对应的数为，
当时，，故点在数轴上对应的数为，
故答案为：或
【题型5 利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题】
例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）．
【答案】6或24/24或6
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值．
【详解】解：，
，
当直线恰好平分锐角时，如图：
，
此时，三角板旋转的角度为，
；
当在的内部时，如图：
三角板旋转的角度为，
；
的值为：6或24．
故答案为：6或24．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广东广州·期末）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：当时，，分以下两种情况：
如图1所示，
，
；
如图2所示，
，
综上所述，的度数为或
根据答案为：或．
2．（23-24七年级下·天津和平·期中）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ．
【答案】或或或
【知识点】几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
如图，
∵，，
∴，
∴，
综上：为或或或．
故答案为：或或或．
【题型6 几何图形中动角求定值问题】
例题：（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
(1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数．
(2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值．
(3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．
（1）根据即可求解；
（2）由可得到，根据角平分线的定义，可得，进而根据角的和差即可求解；
（3）由，求得，，根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：∵，
∴，
平分，平分，
，
，
；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知，．平分，平分．
(1)如图①，当重合时，求的值；
(2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不变，是定值，见解析．
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．
∠AOE-∠BOF的值是定值，
（1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可；
（2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，，
∴；
（2）解：是定值．理由如下：
由题意：，
则，，
∵平分，平分，
∴，
，
．
∴的值是定值，定值为．
2．（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题情境】已知，，，平分，平分．
【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值；
【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由；
【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数.
【答案】（1）；（2）不会变化，定值为；（3）
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
（1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解；
（2）根据角平分线的定义得出：，
，然后代入求值即可；
（3）根据，，求出，根据角平分线的定义求出，，根据角度间的关系，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（2）的值是定值；理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
，
∴．
∴的值是定值，定值为；
（3）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
3．（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．
(1)当射线，重合时，______，
(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______；
(3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部．
①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值；
②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）直接根据角之间的关系进行求解即可；
（2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可；
（3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴当射线，重合时，，
故答案为：；
（2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则；
如图2-2所示，当是的角平分线时，则；
如图2-3所示，当是的角平分线时，则；
综上所述，的度数为或或；
（3）解：①如图所示，∵，，
∴，
∴；
②度数不发生变化，为定值，理由如下：
∵，，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴．
【题型7 几何图形中动角探究数量关系问题】
例题：（23-24七年级上·吉林·期末）已知，平分．
(1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案）
(2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义：
（1）先根据角之间的关系得到，再由角平分线的定义得到，则；
（2）仿照（1）求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【变式训练】
1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，，请你根据图形，求解下列问题：
(1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来；
(2)是哪两个角的和？
(3)写出中某些角之间的两个等量关系；
(4)如果，则的度数为_________．
【答案】(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角，
(2)
(3)，（答案不唯一）
(4)90
【知识点】角的比较、角的分类、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键．
（1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解；
（2）根据图形即可求解；
（3）根据图形即可求解；
（4）由题意可知，结合，即可得．
【详解】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角，
则；
（2）由图可知，；
（3）由图可知，，（答案不唯一）
（4）∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：90．
2．（2024七年级上·河北·专题练习）已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，．
(1)如图1，当平分时，求的度数；
(2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系．
【答案】(1)
(2)不改变，，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．
（1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论；
（2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴；
（2）解：①在内部时．
令，则，，
∴，
∴；
②的两边在射线的两侧时．令，
则，，，
∴，
∴．
综上可得，和的数量关系不改变，．
3．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起．
(1)观察分析∶若则 ，若则 ；
(2)猜想探究∶如图，若将两个同样的三角尺，锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由；
(3)拓展应用∶如图，如果把任意两个锐角的顶点重合在一起，已知，（、都是锐角），请你直接写出与的关系．
【答案】(1) ； ；
(2)，理由见解析．
(3)，理由见解析．
【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题
【分析】（1）根据三角板的特点及角度和差求解即可；
（2）根据三角板的特点及角度和差求解即可；
（3）根据角度和差求解即可；
本题考查了角的运算，熟练掌握角度和差运算是解题的关键．
【详解】（1）由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴
故答案为：，；
（2），理由：
由题意可知：，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3），理由：
∵，，
∴，
∵，
∴．
【题型8 几何图形中动角求运动时间问题】
例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，平分？
(2)当t为何值时，？
【答案】(1)t为21
(2)t为22.5秒或24.75秒
【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义，
（1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题；
（2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解．
【详解】（1）解：如图1，
平分，
，
旋转的角度为，
（秒），
答：当t为21时，平分．
（2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况：
①如图2，
由图可得：
，
又，
，，
旋转的角度为，
（秒），
②如图3，
由图可得：
，
又，
，，
旋转的角度为，
（秒），
答：当t为秒或秒时，．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段AB上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止．
(1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数；
(2)当从初始位置旋转至时，求此时的值；
(3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算；
（1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解；
（2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解；
（3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵，为的角平分线，
∴，
∵从初始位置旋转秒，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，为的角平分线，
∴，
∵从初始位置旋转秒，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：由（2）可得，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学

(1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则 ；若，则 ；
②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，．
①探究与的大小有何数量关系，并说明理由；
②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时．
【答案】(1)①；；②猜想，理由见解析
(2)①，理由见解析；②3或21
【知识点】三角板中角度计算问题
【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系．
（）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；
（）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴
故答案为：；；
②猜想，理由如下：
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴
；
②如图所示，当点G在上方时，
∵，
∴，
∴由（3）①的结论可知，，
∴，
∴；

如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，，
∴；
综上所述，t的值为3或21．

【题型9 几何图形中动角之新定义型问题】
例题：（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________；
【问题推广】
（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）
【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，；
【知识点】用代数式表示式、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．
（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；
（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；
（3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可．
【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，
故答案为：是；
（2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：
当时，如图，
∵，
∴；
当时，如图，
∵
∴；
当时，如图，
∵，
∴；
综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”．
（3）∵射线是的“量尺金线”，
∴在的内部，
∴在的外部；
分三种情况：
①如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
②如图，当时，如图所示：
∴，
∴；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】
在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”．
例如：图中，则射线是的“奇妙线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）
【类比分析】
（2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数；
【变式拓展】
（3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”．
【答案】（）是；（）或或；（）或或．
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】（）根据奇妙线定义即可求解；
（）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解；
（）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；
本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键．
【详解】（）解：根据角平分线的定义可知：
由平分，
得：，
则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”，
故答案为：是；
（）当平分时，
∴，
当时，
∴，
，
∴，
则综上可知：的度数为或或；
（）由题意得：如图，
则，，则，
∵射线是的“奇妙线”，
∴，即，解得：，
，即，解得：，
，即，解得：，
综上可知：或或．
一、单选题
1．（23-24七年级上·全国·期末）如图，点是线段上一动点，且不与点，重合，点，分别是线段，的中点，若，则线段的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】C
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了两点间的距离的计算及线段的和差关系，在解答此题时，采用了数形结合的数学思想．根据线段的和差关系得出与，的数量关系，然后将已知数值代入解答即可．
【详解】解：∵点，分别是线段，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是直角，， 射线从边出发，绕点O逆时针旋转直至与边重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是（ ）
A．平分B．平分
C．平分D．平分
【答案】D
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线定义的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义，结合图形，逐一判断各选项，可得到结果．
【详解】解：当射线旋转到时，
则平分，
故A选项可能出现，不符合题意；
当射线旋转到时，
则平分，
故B选项可能出现，不符合题意；
当射线旋转到时，
则平分，
故C选项可能出现，不符合题意；
∵，
若，
则，
∴，
但是直角为90°，且射线从边出发，绕点O逆时针旋转直至与边重合，
故在中不可能有一个大于的，
故D选项不可能出现，符合题意，
故选：D．
3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（ ）

A．6对B．7对C．8对D．9对
【答案】B
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可．
【详解】解：∵，射线平分，
∴；
∵
∴互为“优角”；
∵，
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
∵
∴互为“优角”；
故共有7对角互为“优角”
故选∶B．
4．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键．
【详解】解：设点对应的数是，
点A对应的数为，且，
，
，
点对应的数是，故①错误；
由题意得：（秒），
点到达点时，，故②正确；
当点在点右边时，
，，
，
（秒），
当点在点左边时，
，，
，
（秒），
综上，时，或；故③错误；
，始终为，的中点，
，，
当点在点右边时，




，
当点在点左边时，




，
在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确；
所以，上列结论中正确的有2个，
故选：C．
二、填空题
5．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，数轴上，A两点的距离为3，一动点从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，．（，是整数）处，那么线段的长度为 （，是整数）．
【答案】/
【知识点】数轴上两点之间的距离、图形类规律探索、线段中点的有关计算
【分析】本题考查了两点间的距离，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离原点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度．
【详解】解：由题可知：，
此第一次跳动到的中点处时，，
同理，第二次从点跳动到处，，
同理，跳动次后，，
故线段的长度为：，
故答案为：．
6．（24-25七年级上·山东临沂·期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．请写出美好点所表示的数是 ．

【答案】或
【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差
【分析】本题考查了数轴上两点的距离，还有新定义“美好点”，理解这个新定义是解决问题的关键．根据“美好点”的定义，，再根据，再根据与线段的位置关系分情况讨论，先求得，从而可得表示的数．
【详解】解：∵是美好点，
∴，
∵点所表示的数为，点所表示的数为2，
∴，
∴当在线段上时，，则，点表示的数是；
当在线段外时，由可得在右边，，则，点表示的数是；
故答案为：或．
7．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图①，为直线上一点，过点作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了涉及角平分线的几何图形中角度计算问题，过点作直线平分，根据，以及平分，求得，当与重合时，所在直线恰好平分，当与重合时，所在直线恰好平分，分开列式计算即可．
【详解】解：过点作直线平分，如图：
∵，
，
∵平分，
∴，
∴，
当与重合时，所在直线恰好平分，
则（秒）；
当与重合时，所在直线恰好平分，
则（秒）；
故答案为：或 ．
8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线．
（1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ；
（2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ．
【答案】 或
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键．
（1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得；
（2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，分别为与的3分位线，（，），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵射线、分别为与的5分位线，
∴，∴,
或，∴；
，∴，
或，∴，
当, 时，
，
∵，
∴不合；
当，时，
，
∴，
∴；
当，时，
，
∴；
当，时，
，
不合．
∴或．
故答案为：或．
三、解答题
9．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点О在线段上，线段，，动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．
(1)如图1，点M，N分别为的中点，求线段的长；
(2)求运动时间为多少时，点P与点О重合？
【答案】(1)
(2)
【知识点】线段的和与差
【分析】本题考查了线段和差的计算，线段的中点；
(1)根据题意，得，，整理得到，计算即可．
(2)设运动时，P，O重合，根据路程、速度与时间的关系列式计算即可．
【详解】（1）∵线段，，
∴，
∵点M，N分别为的中点，
∴，
∴．
（2）设运动时，P，O重合，
∵点P以的速度沿向右运动，
∴，
当P，O重合时，根据题意，得，
解得
故经过5秒钟，两点重合．
10．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点．
(1)如图，若，求线段的长；
(2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________；
①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大．
(3)若，画出所有符合条件的图形并求线段的长．
【答案】(1)线段的长为
(2)④
(3)画图见解析，的长为或
【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，线段中点的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论．
（1）先根据题意求出的长度，再根据中点的定义求解即可；
（2）根据题意将的长度表示出来，即可进行解答；
（3）分两种情况画出图形，讨论即可：当点D在上时，当点D在延长线上时．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的中点，
∴
∴
∴线段的长为；
（2）解：∵随着的变长，越来越靠近点，当是点与重合，然后点离点越来越远，
故选：④；
（3）解：当点在上时，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴；
当点在延长线上时，
∵，，
∴．
∵是的中点，
∴，
∴．
综上所述：的长为或．
11．（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足．
(1)________，________，________．
(2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________．
(3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示）
(4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
【答案】(1)；；
(2)8；
(3)；
(4)的值不变，且
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、有理数的加减混合运算、线段的和与差
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类：
（1）最多的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，则；
（2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为；
（3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（4）根据（3）所求计算出的结果即可得到答案．
【详解】（1）解：∵是最大的负整数，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：设点P表示的数为x，
由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，
∴，
∴，
∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，
∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，
又∵当点P与点B重合时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∴当时，和能同时取得最小值，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：8；；
（3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴，，
故答案为：；；
（4）∵，，
∴
，
∴的值不变，且．
12．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当、运动到如图1的位置时，．
(1)求的度数；
(2)如图2，射线、分别为、的平分线，求的度数．
(3)如图3，若、是外部的两条射线，且平分平分，当绕着点旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数；若变化，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不会发生变化，
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查角平分线的定义、余角和补角的意义．
（1）根据角的和差关系，由，可得出答案；
（2）由角平分线的定义可得，进而求出的度数；
（3）由，，可以得出，再根据平分，平分，进而求出答案．
【详解】（1）解：，
，
又，
，
，
答：的度数为；
（2）解：是的平分线，
，
又是的平分线，
，
，
，
答：的度数为；
（3）解：的大小不会发生变化．
，，
，
，
，
又平分，平分，
，
，
．
13．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】
如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中．
（1） 填空： ；
（2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒．
①当时， ；
②当t为何值时，？
【拓展延伸】
（3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
【答案】（1）75；（2）①；②；（3）不变，
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数．
（1）把，，代入计算即得；（2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得；
（3）根据角平分线定义得，，代入计算即得
【详解】解：（1）∵，，
∴；
故答案为：75；
（2）①当时，，
故答案为：69；
②由题意得，，则，
∴
∵，
∴，
解得，
∴当t为时，；
（3）的度数不会发生变化，理由如下：
∵平分，平分，
∴，
，
∴
，
∴的度数不会发生变化，它的度数为．
14．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以
(1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的K值 ；
(2)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，求点P关于点A的K值；
(3)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，点表示的数为p，点A．点B分别表示数a、，若，请直接写出a、p需满足条件： ．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、用数轴上的点表示有理数、线段中点的有关计算
【分析】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题即可．
（1）根据点P是线段的中点，得出，再利用定义求出的值即可．
（2）分两种情况进行讨论：当点P、A在点O的同侧时，当点P、A在点O的异侧时，分别求出结果即可；
（3）点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，得出，根据，得出，即可得出，从而得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点P是线段的中点，
∴，
∴ ，
故答案为：1；
（2）解：当点P、A在点O的同侧时，
∵，
∴
∴；
当点P、A在点O的异侧时，
∵，
∴
∴；
综上分析可知，或．
（3）解：∵点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当，解得：；
当，解得：；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，数轴上两点间距离，绝对值意义，新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．
15．（24-25七年级上·广东深圳·期末）国庆期间，南山区某校七年级同学在观看灯光秀表演后，以“角内特殊射线”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出倍分线的定义，在探究中感受数学之美．
新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线．如图1，若，则为的3倍分线；若，则也是的3倍分线．
【特例感知】
（1）若，射线为的1倍分线，则______；
（2）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
如图2，在上方作（），使为的2倍分线；
【类比探究】
（3）如图3，点在同一条直线上，为直线上方的一条射线．
①若射线分别为和的4倍分线（，），当时，______；
②在①的条件下，当时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请求出的度数；若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②不变，理由见解析
【知识点】几何图形中角度计算问题、尺规作一个角等于已知角、角平分线的有关计算
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据射线为的1倍分线的定义求解；
（2）在的上方作即可；
（3）①求出可得结论；②的度数不变．根据n倍分线的定义以及角的和差定义求解．
【详解】解：（1）∵射线为的1倍分线，
∴．
故答案为：；
（2）如图2中，即为所求；
（3）①∵，
∴，
∵射线分别为和的4倍分线（，），
∴，，
∴．
故答案为：；
②的度数不变．
理由：∵射线分别为和的四倍分线，
，，
∴，，
∴
，
∵，
∴．
∴的度数不发生变化．