专题08 有理数的乘除运算-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（北师大版2024）

这是一份专题08 有理数的乘除运算-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（北师大版2024），文件包含专题08有理数的乘除运算4知识点+9大题型+思维导图+过关测原卷版docx、专题08有理数的乘除运算4知识点+9大题型+思维导图+过关测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：9大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数同0相乘，都得0.
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.
知识点02 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：．
知识点03 确定乘积符号
（1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号；
（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0.
知识点04 有理数除法法则
◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.
【题型1 两个有理数的乘法运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)（−12）×（−2）；
(3)．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型2 多个有理数的乘法运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型3 倒数】
例题：（2025·江苏南京·二模）的倒数是 ．
【变式训练】
1．（24-25六年级上·上海·阶段练习）的倒数是 ．
2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ．
3．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）的相反数是 ，的倒数为 ．
【题型4 有理数乘法运算律】
例题：（24-25七年级上·吉林四平·期末）计算：
【变式训练】
1．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）计算：．
2．（24-25七年级上·广东河源·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步
第二步
第三步
．第四步
任务：
(1)填空：
①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是 ；
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
(2)请直接写出正确的计算结果．
3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算
(1)；
(2)．
【题型5 有理数乘法的实际应用】
例题：（24-25七年级上·广东梅州·期中）某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：．
(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
(2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？
【变式训练】
1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：．
(1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？
(2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？
(3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？
2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）道州脐橙“橙红鲜美、香甜多汁”，因出产于永州市道县而得名．现有20筐道州脐橙，以每筐千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
(1)这筐道州脐橙中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
(2)若道州脐橙每千克售价元，则这筐道州脐橙可卖多少元？
3．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量：
(1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单．
(2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元．
【题型6 有理数的除法运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型7 有理数的乘除混合运算】
例题：（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算．
(1)；
(2)．
【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值．
2．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．例如：
(1)求的值；
(2)求的值．
3．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”，，
例如．
(1)计算：；
(2)计算：；
(3)计算：．
【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】
例题：（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的值．
(3)已知是有理数，当时，试求的值．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示．
(1)______0；（填“”或“”）
(2)化简：．
2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，求的值
(2)已知，，是有理数，当，求的值
(3)已知，，是有理数，，，求的值．
3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题．
例：三个有理数a，b，c满足，求的值．
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即，，时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
则：，
综上述：的值为3或．
请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题：
(1)已知a，b是有理数，当时，求值．
(2)已知a，b，c是有理数，，，求的值．
一、单选题
1．（2025·江西新余·模拟预测）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．2和B．3和C．1和D．和
2．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（ ）
．
A．乘法结合律及分配律
B．乘法交换律及分配律
C．乘法交换律及乘法结合律
D．分配律及加法结合律
4．（2025·北京·一模）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
二、填空题
6．（2025·上海杨浦·模拟预测）的倒数是 ．
7．（24-25七年级上·青海海东·期末）计算： ．
8．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ．
9．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，是正方体包装盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个平面展开图折成正方体后，相对面上的两数字互为相反数，则A、B、C内的三个数的乘积为 ．
10．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题：
（1）当时， ；
（2）若，则的值为 ．
三、解答题
11．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
13．（24-25六年级下·黑龙江大庆·开学考试）下面各题，怎样简便就怎样算．
(1)
(2)
(3)
(4)
14．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，．
(1)求；的值；
(2)求．
15．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算．
刘聪和他的小伙伴选择常规解法：；
张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：
原式的倒数．
所以，原式．
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：．
16．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题：
(1)计算：________，_______，________；
(2)求的值．
17．（24-25七年级上·山东济宁·期中）樱桃是邹城特色农产品之一，现有30箱樱桃，以每箱为标准，重量超过标准的千克数用正数表示，重量不足标准的千克数用负数表示，具体数据见下表：
(1)在30箱樱桃中，最重的一箱比最轻的一箱多_____；
(2)与标准重量相比，30箱樱桃超出或不足的重量为多少？
(3)若每千克樱桃20元，则这30箱樱桃可卖多少钱？
18．（24-25六年级上·山东淄博·期中）我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题：
(1)若都是有理数，，且，求的值；
(2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值；
(3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？与标准质量的差值（单位：千克）
筐数
星期
一
二
三
四
五
六
日
送餐量/单
与标准重量的差值
0
0.1
0.2
0.3
箱数
3
4
6
9
5
2
1