第04讲 有理数的乘法和除法-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（华东师大版）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。
知识点2 有理数的乘法定律
（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加
即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。
知识点3 倒数
（1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。
（2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1.
知识点4 有理数的除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
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考点一 两个有理数的乘法运算
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)−8×+2； (2)23×−32； (3)0×−37； (4)−5×−125．
【答案】(1)−16
(2)−1
(3)0
(4)15
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换．
（1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；
（2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；
（3）根据0乘以任何数都是0，即可求解；
（4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；．
【详解】（1）解：−8×+2
=−8×2
=−16；
（2）解：23×−32
=−32×23
=−1；
（3）解：0×−37=0；
（4）解：−5×−125
=5×125
=15．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)(−3)×(−5)； (2)313×215； (3)−2.5×(−0.6)； (4)1.25×−225．
【答案】(1)15
(2)223
(3)1.5
(4)−3
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．
（1）根据有理数的乘法运算法则求解即可；
（2）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可；
（3）根据有理数的乘法运算法则求解即可；
（4）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可．
【详解】（1）解：(−3)×(−5)
=15
（2）313×215
=103×115
=223
（3）−2.5×(−0.6)
=1.5
（4）1.25×−225
=−1.25×125
=−3
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)15×−6； (2)−8×−0.25； (3)−0.24×0； (4)57×−415．
【答案】(1)−90
(2)2
(3)0
(4)−421
【分析】利用有理数的乘法法则，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键；
（1）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解；
（2）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解；
（3）根据有理数的乘法法则，任何数与0相乘都得0，计算即可求解；
（4）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解；
【详解】（1）解：15×−6；
=−15×6
=−90
（2）解：−8×−0.25；
=8×0.25
=2
（3）解：−0.24×0；
=0
（4）解：57×−415
=−57×415
=−421
4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)−4×−12； (2)0×−16； (3)−12×−34； (4)−2.5×213．
【答案】(1)2
(2)0
(3)−38
(4)−356
【分析】本题考查了有理乘法运算，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键；
（1）根据有理数乘法法则，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘即可解答；
（2）根据有理数乘法法则，0乘以任何数都得0，即可解答；
（3）先化简绝对值，然后根据有理数乘法法则即可解答；
（4）先变形为分数形式，然后根据有理数乘法法则，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘即可解答；
【详解】（1）解：−4×−12=4×12=2；
（2）解：0×−16=0；
（3）解：−12×−34=−12×34=−38；
（4）解：−2.5×213=−52×73=−356．
考点二 多个有理数的乘法运算
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)(−2)×54×−910×−23；
(2)(−3)×+56×−145×−14×+127．
【答案】(1)−32
(2)−8156
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．
（1）根据有理数的乘法运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：(−2)×54×−910×−23
=−2×54×910×23
=−32；
（2）(−3)×+56×−145×−14×+127
=(−3)×56×−95×−14×97
=−3×56×95×14×97
=−8156．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)−5×−6×3×−2；
(2)−2×54×−910×−23．
【答案】(1)−180
(2)−32
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算等，掌握多个有理数相乘的符号规律为解题的关键．
（1）先确定积的负号，然后进行计算即可；
（2）先确定积的负号，然后进行约分计算即可．
【详解】（1）解：−5×−6×3×−2
=−5×6×3×2
=−180．
（2）解：−2×54×−910×−23
=−2×54×910×23
=−32．
3．（24-25七年级上·四川泸州·期中）计算：−25×9×−4×−8．
【答案】−7200
【分析】本题考查几个有理数相乘．几个不是0的有理数相乘时，当负的乘数的个数是偶数时，积为正数；当负的乘数的个数是奇数时，积为负数．计算时先确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值．据此即可解答．
【详解】解：−25×9×−4×−8
=−25×9×4×8
=−7200．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)−4×5×−1×2；
(2)3×−1×−13；
(3)−1.2×5×−3×−4．
【答案】(1)40
(2)1
(3)−72
【分析】本题考查多个有理数相乘，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键；
（1）根据多个有理数乘法法则计算即可求解；
（2）根据多个有理数乘法法则计算即可求解；
（3）根据多个有理数相乘法则计算即可求解；
【详解】（1）解：−4×5×−1×2；
=4×5×1×2
=40
（2）解：3×−1×−13
=3×1×13
=1
（3）解：−1.2×5×−3×−4
=−1.2×5×3×4
=−72
考点三 有理数的乘法运算定律
1．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）计算
(1)−112+13−12÷−136； (2)2.5×13−−52×18+212×−11．
【答案】(1)9
(2)50
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可；
（2）先变形，然后根据乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解：−112+13−12÷−136
=−112+13−12×−36
=3−12+18
=9
（2）2.5×13−−52×18+212×−11
=212×13+212×18−212×11
=212×13+18−11
=212×20
=50
2．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）简便运算：
(1)−56×5.6+−56×6.4；
(2)−24×13−34+16−58．
【答案】(1)−10
(2)21
【分析】本题考查了乘法分配律在计算中的简便计算，掌握以上知识是解题的关键；
（1）观察算式可以利用乘法分配律的逆运算a×b+a×c=a×b+c，然后即可求解；
（2）观察算式可以利用乘法分配律a×b+c+d=a×b+a×c+a×d，然后即可求解；
【详解】（1）解：原式=−56×5.6+6.4
=−56×12
=−10；
（2）解：原式=−24×13+−24×−34+−24×16+−24×−58
=−8+18−4+15
=21
3．（2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算：
(1)14−16+12×(−12)；
(2)7×2.6+7×1.5−4.1×8；
(3)−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34．
【答案】(1)−7
(2)−4.1
(3)−13.34
【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用乘法分配律进行简便运算，即可作答．
（2）先整理原式=7×(2.6+1.5)−4.1×8，再运算括号内，即可作答．
（3）先整理原式=−13×23+13×(−13)−57×0.34−0.34×27，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答．
【详解】（1）解：14−16+12×(−12)
=14×(−12)−16×(−12)+12×(−12)
=−3+2−6
=−7；
（2）解：7×2.6+7×1.5−4.1×8
=7×(2.6+1.5)−4.1×8
=7×4.1−4.1×8
=4.1×(7−8)
=−4.1；
（3）解：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34
=−13×23+13×(−13)−57×0.34−0.34×27
=−13×23+13−0.34×57+27
=−13.34．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算：
(1)−112−136+16×−36； (2)−991112×24．
【答案】(1)−2
(2)−2398
【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键．
（1）根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案；
（2）现将−991112化为−100+112，再根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案．
【详解】（1）解：原式=−112×−36−136×−36+16×−36
=3+1−6
=−2；
（2）解：原式=−100+112×24
=−100×24+112×24
=−2400+2
=−2398．
考点四 倒数
1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）−2026的倒数是（ ）
A．−2026B．2026C．−12026D．12026
【答案】C
【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】解：−2026的倒数为−12026，
故选：C．
2．（2025·福建三明·二模）−12的倒数是（ ）
A．12B．−12C．2D．−2
【答案】D
【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案．
【详解】解：−12的倒数是−2；
故选：D
3．（2025·江西·模拟预测）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．3和13B．3和−2C．5和−5D．−0.1和10
【答案】A
【分析】本题考查了倒数，明确乘积是1的两个数互为倒数是解题的关键．根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【详解】解：∵3×13=1,3×−2=−6,5×−5=−25,−0.1×10=−1，
∴3与13互为倒数，
故选：A．
4．（2025年上海市杨浦区九年级下学期质量调研（二）数学试题）212的倒数是 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键．
先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案．
【详解】解：212=52，
∴212的倒数是25，
故答案为：25．
考点五 有理数的除法运算
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)213÷−116； (2)0÷−35； (3)−338÷−2.25．
【答案】(1)−2
(2)0
(3)32
【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键．
（1）将除法化为乘法，再计算即可；
（2）根据0除任何数都等于0，计算即可；
（3）根据有理数除法的运算法则计算即可．
【详解】（1）213÷−116
=−73×67=−2．
（2）0÷−35 =0．
（3）−338÷−2.25
=278×49=32．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)−36÷9； (2)−1225÷−35．
【答案】(1)−4
(2)45
【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）按照除法运算法则计算；
（2）按照除法运算法则计算．
【详解】（1）解：−36÷9=−36÷9=−4；
（2）解：−1225÷−35=−1225×−53=45．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)−60÷−12； (2)−36÷13； (3)−0.75÷0.25； (4)−6÷−16．
【答案】(1)5
(2)−108
(3)−3
(4)36
【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键．
（1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
（3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
【详解】（1）解：原式=60÷12
=5；
（2）解：原式=−36×3
=−108；
（3）解：原式=−0.75÷0.25
=−3；
（4）解：原式=−6×−6
=36．
4．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
(1)−12÷−3 (2)213÷−116 (3)0÷−11112 (4)−12÷−112÷−100
【答案】(1)4
(2)−2
(3)0
(4)−1.44
【分析】（1）根据有理数除法运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数除法运算法则进行计算即可；
（3）根据有理数除法运算法则进行计算即可；
（4）根据有理数除法运算法则进行计算即可．
本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算．
【详解】（1）解：−12÷−3=12÷3=4．
（2）解：213÷−116=73×−67=−2．
（3）解：0÷−11112=0．
（4）解：−12÷−112÷−100
=−12×−12÷−100
=144÷−100
=−1.44．
考点六 有理数的乘除法混合运算
1．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：
(1)310÷35×811； (2)6×512+536÷518； (3)817÷23+123×917； (4)24×13+14−112．
【答案】(1)411
(2)3
(3)123
(4)12
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，掌握其运算法则是关键．
（1）先将除法变乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可；
（2）先将除法变乘法，再根据有理数乘法，加减运算法则计算即可；
（3）先将除法变乘法，再根据有理数乘法分配律的逆运算计算即可；
（4）运用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解：310÷35×811
=310×53×811
=411；
（2）解：6×512+536÷518
6×512+536×185
=52+12
=3；
（3）解：817÷23+123×917
=817×123+123×917
=817+917×123
=1×123
=123；
（4）解：24×13+14−112
=24×13+24×14−24×112
=8+6−2
=12．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)−35×−312÷−114÷3； (2)−5÷−127×45×−214÷7；
(3)−6.5×−2÷−13÷−5．
【答案】(1)−1425
(2)−1
(3)395
【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键．
（1）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可；
（2）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可；
（3）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：−35×−312÷−114÷3
=−35×−72×−45×13
=−1425．
（2）解：−5÷−127×45×−214÷7
=−5×−79×45×−94×17
=−5×45×79×94×17
=−1．
（3）解：−6.5×−2÷−13÷−5
=13×−3×−15
=395．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算．
(1)−83×−58÷19； (2)−81÷−214×49÷−8．
【答案】(1)15
(2)−2
【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则．
（1）利用有理数的乘法和除法法则计算即可．
（2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可．
【详解】（1）解： −83×−58÷19
=−83×−58×9
=83×58×9
=15
（2）解：−81÷−214×49÷−8
=−81÷−94×49×−18
=−81×−49×49×−18
=−2
4．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）计算：
(1)−12×(−8)÷−23； (2)−34÷−212×23．
【答案】(1)−6
(2)15
【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键；
（1）根据有理数的乘除运算法则可进行求解；
（2）根据有理数的乘除运算法则可进行求解
【详解】（1）解：原式=4×−32=−6；
（2）解：原式=34×25×23=15．
考点七 有理数的四则混合运算
1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）计算：
(1)−41+28+29+−26； (2)78−34÷−78×−14．
【答案】(1)−10；
(2)2．
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
（1）根据加减混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算括号内的运算、除法转化为乘法，再计算乘法即可．
【详解】（1）原式=−41−26+28+29
=−67+57
=−10；
（2）解：原式=18×−87×−14=2．
2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算
(1)4−3−11÷52−7×−3 (2)5+−14−3−−0.25−2+4×−12
【答案】(1)17
(2)−2
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
（1）先计算乘除，然后计算加减；
（2）先计算乘法，然后计算加减．
【详解】（1）解：4−3−11÷52−7×−3
=−10÷52−7×−3
=−4−−21
=17；
（2）解：5+−14−3−−0.25−2+4×−12
=5+−14−3−−0.25−2+−2
=5−14−3+0.25−2−2
=5−3−2+0.25−14−2
=−2．
3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算：
(1)−24+3.2−16−3.5+0.3； (2)−13+56−79÷−118．
【答案】(1)−40
(2)5
【分析】本题考查有理数混合运算，涉及有理数加法运算律、有理数乘法运算律及有理数加减乘除混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则及运算律是解决问题的关键．
（1）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案；
（2）先将除法转化成乘法，再由有理数乘法分配律展开，最后由有理数加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】（1）解：−24+3.2−16−3.5+0.3
=−24+−16+−3.5+3.2+0.3
=−43.5+3.5
=−40；
（2）解：−13+56−79÷−118
=−13+56−79×−18
=−13×−18+56×−18−79×−18
=6−15+14
=20−15
=5．
4．（24-25七年级上·四川泸州·期末）计算：
(1)−66×4−−2.5÷−0.1 (2)13−16+34×−24
【答案】(1)−239
(2)−22
【分析】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算有理数的乘除法，然后计算加减法即可；
（2）利用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解：−66×4−−2.5÷−0.1
=−264+2.5×10
=−264+25
=−239
（2）解：13−16+34×−24
=−13×24+16×24−34×24
=−8+4−18
=−22
知识导图记忆
知识目标复核
1. 两个有理数的乘法运算
2. 多个有理数的乘法运算
3. 有理数的乘法运算定律
4. 倒数
5. 有理数的除法运算
6. 有理数的乘除法混合运算
7. 有理数的四则混合运算
一、单选题
1．（2025·广东茂名·模拟预测）计算(−5)×2的结果等于（ ）
A．10B．−2C．−7D．−10
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，
根据“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘”计算即可．
【详解】解：原式=−(5×2)=−10．
故选：D．
2．（2024·河南·三模）2025的倒数是（ ）
A．12025B．−12025C．2025D．−2025
【答案】A
【分析】本题考查倒数，解题的关键是掌握倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．据此解答即可．
【详解】解：2025的倒数是12025．
故选：A．
3．（2025·河北邯郸·二模）−3与−−3的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．积为−9
【答案】A
【分析】此题考查了绝对值和化简多重符号，首先化简绝对值和多重符号，然后比较即可．
【详解】解：−3=3，−−3=3
∴−3与−−3的关系是相等．
故选：A．
4．（2025·天津河西·一模）计算15÷−5的结果等于（ ）
A．75B．10C．−3D．−5
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的除法，按照计算法则计算即可，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：15÷−5=−3，
故选：C．
5．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）一台电视机的原价是3200元，先提价10%，再打九折销售，这台电视机现在的价格是（ ）元．
A．3520B．3168C．3210D．3028
【答案】B
【分析】本题考查有理数的混合运算的应用．先计算提价10%后的价格，再计算打九折后的价格，据此求解即可．
【详解】解：3200×1+10%=3520（元），
3520×0.9=3168（元），
这台电视机现在的价格是3168元，
故选：B．
6．（2025·天津红桥·二模）计算−2×−3的结果等于（ ）
A．−6B．1C．−5D．6
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
【详解】解：−2×−3=2×3=6，
故选：D．
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知a，b是不相等的两个数，a+b=0，且ab