第06讲 有理数的乘法与除法——【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）（解析版）-A4

这是一份第06讲 有理数的乘法与除法——【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）（解析版）-A4，共33页。
第一步：主动学
析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习
讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法
练考点 强知识：四大核心考点八种常考题型精准练
第二步：用心记
串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系
第三步：限时测
过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点
知识点1：有理数的乘法法则
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
名师点拨：
（1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘．
（2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来：
如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3．
有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则）
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
名师点拨：
（1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，
即：．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
即：．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
即：．
名师点拨：
（1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用．
知识点2：倒数的概念
倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数．
名师点拨：
（1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数；
（2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
（3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数．
知识点3：有理数的除法法则
有理数除法法则：
（1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。
（2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
名师点拨：
（1）0不能当除数；
（2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
知识点4：有理数的乘除混合运算
1.由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
2.有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
题型1根据有理数乘法法则计算
1．计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（1）根据有理数的乘法法则进行计算即可；
（2）根据有理数的乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．
（1）根据有理数的乘法运算法则求解即可；
（2）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可；
（3）根据有理数的乘法运算法则求解即可；
（4）先将带分数化为假分数，再根据有理数的乘法运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
3．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换．
（1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；
（2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；
（3）根据0乘以任何数都是0，即可求解；
（4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：；
（4）解：
．
4．计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解题的关键．
(1)根据两数相乘，异号得负，先确定符号，再把绝对值相乘即可；
（2）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可；
（3）据两数相乘，同号得正，先确定符号，再把绝对值相乘即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
5．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】利用有理数的乘法法则，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键；
（1）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解；
（2）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解；
（3）根据有理数的乘法法则，任何数与相乘都得，计算即可求解；
（4）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：
题型2利用乘法运算律简便计算
1．计算：．
【答案】14
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
利用有理数的乘法分配律求解即可．
【详解】原式
．
2．下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步
第二步
第三步
．第四步
任务：
(1)填空：
①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是 ；
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
(2)请直接写出正确的计算结果．
【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误
(2)
【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算
【分析】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键．
（1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可；
（2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可．
【详解】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律；
②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误，
故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误；
（2）解：
．
3．计算：能用简算的用简算
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可；
（2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目：
计算：（1）．（2）．
请参考上述解法，计算下列两题：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)2025
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查有理数的乘法运算律：
（1）仿照第一位同学的解法解答；
（2）仿照第二位同学的解法解答．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
5．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用白纸“”遮盖了其中部分算式．
(1)直接写出白纸“”遮盖的算式，并求出这部分算式的结果；
(2)请参考黑板上的解法，并用这种方法计算：．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】有理数乘法运算律
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据乘法分配律即可求得答案；
（2）利用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得遮盖的算式为：，
则；
（2）解：原式
．
题型3根据有理数除法法则计算
1．计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键．
（1）先变除法为乘法，然后进行计算即可；
（2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)0(3)
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键．
（1）将除法化为乘法，再计算即可；
（2）根据0除任何数都等于0，计算即可；
（3）根据有理数除法的运算法则计算即可．
【详解】（1）
．
（2）．
（3）
．
3．计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）按照除法运算法则计算；
（2）按照除法运算法则计算．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
4．计算：
(1)； (2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)5(2)(3)(4)36
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键．
（1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
（3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
5．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【知识点】有理数的除法运算
【分析】本题考查有理数的除法运算．根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
题型4有理数的乘除混合运算
1．计算：
【答案】
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法运算法则，从左到右依次进行计算．
将带分数化为假分数，按照从左到右的顺序进行乘除运算．
【详解】解：原式
．
2．计算：．
【答案】
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的乘除法混合计算，先计算乘法，再计算除法即可得到答案．
【详解】解：
．
3．计算．
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题考查了有理数的乘法和有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法和除法法则．
（1）利用有理数的乘法和除法法则计算即可．
（2）利用有理数的乘法和除法法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
4．计算：．
【答案】
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，约分化简即可．
【详解】解：原式．
5．下面是小虎同学的计算；
＝……第①步
＝……第②步
＝……第③步
(1)请指出第 步错误
(2)写出正确的解答过程．
【答案】(1)①
(2)正确过程见解析
【知识点】有理数乘除混合运算
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算：
（1）同级运算，从左到右依次运算，故第①步出现错误；
（2）除法变乘法，约分化简进行计算即可．
【详解】（1）解：同级运算，从左到右依次运算，故第①步出现错误；
故答案为：①
（2）解：
．
题型5有理数运算的规律探究问题
1．（1）观察图1中的规律，求出图2中各字母的值；
（2）求图2比图1中6个数的平均数大多少？
【答案】（1），，；（2）
【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算
【分析】本题考查了有理数的四则运算的应用，掌握有理数的运算法则是关键．
（1）由，，，再总结可得规律即可确定字母的值；
（2）根据（1）中规律可得：，，，再进一步计算即可．
【详解】解：（1）根据表格可知，，
，
，
图1中的规律为：两肩上的数字和等于头的数字；
根据规律补可得：
，
，
，
（2）图2的6个数的平均数为：，
图1的6个数的平均数为：，
，
图2比图1中6个数的平均数大．
2．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；……
(1)根据上述规律写出第5个等式： ；
(2)第n个等式： ；（用含n的式子表示）
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，
（1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答；
（2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：；
（3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答，
掌握第n个等式：是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
故第n个等式：；
（3）解：由（2）知第n个等式：；
则
3．观察下列等式：
①，
②，
③，
④，
…
(1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________；
(2)按此规律计算
①；
②．
【答案】(1)
(2)①306；②468．
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可；
（2）利用得出的规律计算各式即可．
【详解】（1）解：第⑤个等式：；
故答案为：；
（2）解：①；
②
．
【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键．
4．计算．联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立（a，b是有理数，）？从它们可以总结什么规律？
（1）； （2）．
【答案】见解析．
【知识点】有理数的除法运算
【分析】先计算前面除法的结果，根据结果判断（1）（2），并总结规律．
【详解】，
，
（1）（2）中的式子都成立由此可以总结出：分子，分母以及分数这三者中的符号，改变其中两个，分数的值不变．
【点睛】本题考查了有理数的除法，根据前面的算式总结出规律，是解决本题的关键．
5．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第个等式： ；
(2)用含有的式子表示第个等式： （为正整数）；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】数字类规律探索、有理数乘法运算律
【分析】（1）根据上述等式，找出规律，根据规律，即可求出第五个等式；
（2）根据（1）得到的规律，即可；
（3）根据（1）得到的等式规律，得到，，，，然后根据有理数的加法运算法则，计算，即可．
【详解】（1）∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：
∴第个等式：
∴第五个等式为：
∴．
（2）由（1）得，第个等式：
∴．
（3）∵
……
∴
．
题型6有理数的新定义问题
1．定义：对于任意的有理数，．
(1)探究性质：
①例：_____；_____
②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律：
当时，_____当时，_____．
(2)性质应用：
①运用发现的规律求的值：
②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____．
【答案】(1)①；；②；
(2)①；②
【知识点】绝对值的几何意义、有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解．
（1）①根据定义即可求解；
②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；
（2）①直接利用规律进行求解；
②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论．
【详解】（1）解：①，
，
，
故答案为：；．
②例如：，
，
通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，
用a，b的式子表示出一般规律为．
故答案为：；．
（2）解：①；
②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，
这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，
这个值的和的最小值是，
故答案为：．
2．已知x，y为有理数，规定一种新的运算，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)任意选取两个有理数(至少有一个为负数)分别填入与的与内，并比较两个运算结果，你能发现什么规律？
(4)设a，b，c为有理数，讨论与的关系，并用式子把它表示出来．
【答案】(1)9
(2)1
(3)见解析
(4)
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
(1) 利用新定义进行运算即可；
(2) 利用新定义先运算小括号内的再进行运算即可；
(3) 按要求选择两个数，依据新定义运算，最后比较两个结果即可；
(4) 分别利用新定义计算两个算式，通过比较结果即可得出结论．
【详解】（1）解：．
（2）解：，
．
（3）解：如：选5和．(答案不唯一)
，
，
发现运算结果相等，即．
（4）解：，
，
所以．
3．探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算；”
然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；；
；；；
；；；．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)观察以上式子，类比计算：
①______；②______；
(2)______；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
(3)若，计算：的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算
【分析】本题主要考查有理数的混合运算：
（1）（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加；
（2）根据（加乘）运算的法则计算即可；
（3）可知，，原式，进而即可求解．
【详解】（1）根据题意可知，（加乘）运算的法则为：两数同号，结果为正数，并把绝对值相加；两数异号，结果为负数，并把绝对值相加；两数中至少一个为，结果为正数，并把绝对值相加．
，
故答案为：，
（2）
原式
故答案为：
（3）根据题意可知，，即
，
原式
4．阅读材料，探究规律，完成下列问题．
甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？
(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：
； ； ．
(2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：
两数进行*（加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．
(3)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？例如：所以故加法的交换律仍然适用． 那么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用 （填“适用”或“不适用”）
【答案】(1)；；5
(2)同号为正，异号为负，并把绝对值相加；结果是这个数的绝对值
(3)不适用
【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律
【分析】（1）参照示例，运算求解；
（2）根据示例，分符号和绝对值两部分总结法则；
（3）根据运算，举例验证说明．
【详解】（1）解：；；．
（2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，结果是这个数的绝对值；
（3）解：不适用，举例说明：如
，
∴
∴加法的结合律在*（加乘）运算中不适用．
【点睛】本题考查有理数的运算，新定义运算；转化思想是解决问题的关键．
5．探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；
；
；
；
；
；
．
(1)计算：
①
②
(2)归纳*运算的法则（文字语言或符号语言均可）：两数进行*运算时，_____________；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，___________．
(3)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；
(3)1或5
【知识点】两个有理数的乘法运算
【分析】（1）根据示例，参照求解；
（2）根据示例，参照有理数乘法法则归纳；
（3）由题知，与异号，，得或，求得参数值，代入代数式求值．
【详解】（1）
解：①；
②；
（2）解：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方；
（3）解：∵，
∴与异号，
．
∵m，n是整数，
∴或．
∴或．
∴或．
【点睛】本题考查有理数的运算，新定义运算；理解新定义是解题的关键．
题型7有理数乘法的实际应用
1．出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．
(1)通过计算，说明出租车离A市多远？
(2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次；
(3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？
【答案】(1)4千米
(2)6
(3)升
【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用
【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式．
（1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解；
（2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可；
（3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解．
【详解】（1）（千米）
∴说明出租车离A市多远4千米；
（2）∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正
∴向南行驶为负
∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站；
∵
∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站；
∵
∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站；
∵
∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站；
∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站；
∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站；
综上所述，出租车经过加油站6次；
（3）
（升）
∴该出租车一天共耗油升．
2．嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”．
(1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少．
(2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）．
①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？
②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果．
【答案】(1)
(2)①14分；②有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板
【知识点】有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
（1）由题意得到，即可得到答案；
（2）①根据题意列出计算式进行计算即可；
②原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分，即可得到答案．
【详解】（1）解：．
故最大块的边长比最小块多．
（2）解：①
（分）；
②解：原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分，
有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板．
3．小明开车从家出发，在东西走向的道路上行驶，规定向东为正，向西为负，从出发到停车，行驶的路程记录如下（单位：千米）；
，，，，，．
(1)停车时，小明在家的哪边？距离多远？
(2)汽车在行驶过程中，若每行驶千米耗油0.1升，则汽车共耗油多少升？
【答案】(1)东边，9千米
(2)升．
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题主要考查数轴与正数，负数的知识，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算．
（1）利用有理数的加法即可得解；
（2）先求出小明开车的总过程，把这些行驶的路程的绝对值相加，再利用有理数的乘法即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得：
千米．
答：小明停车时，小明在家的东边，距离家千米．
（2）解：千米，
升，
答：汽车共耗油升．
4．某出租车一天下午某时间段以广场为出发点，在东西方向的大道上营运，规定向东为正，向西为负，单次行车里程依先后顺序记录如下：，，，，，，，单位：
(1)该出租车司机将最后一名乘客送到目的地后，出租车在广场的什么方向？距广场多远？
(2)若每千米耗油升，该出租车这个时间段共耗油多少升？
【答案】(1)东面，；
(2)升．
【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用、绝对值的几何意义
【分析】本题主要考查正负数，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，需要注意第二问中的总路程是所有路程的绝对值的和
（1）把一天走的路程相加，再根据有理数加减混合运算的法则计算，若计算结果是正数，则是在广场向东；若是负数，则是在广场向西；等于0，则是回到广场；
（2）求出这一组数据的绝对值的和，再乘每千米耗油量即可．
【详解】（1）解： ．
答：出租车在广场的东面，距广场；
（2）
升，
答：该出租车这个时间段共耗油升．
5．股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）．
注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌．
(1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算）
(2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？
(3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【答案】(1)周三收盘时股价为元
(2)本周内最高股价是每股元，最低价是每股元
(3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元
【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，解题关键在于认真的阅读题目，分析题意，认真的进行计算．
（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案；
（3）分别求出卖出时的受益，买进的费用即可解决问题；
【详解】（1）解：周三收盘时股价为：
(元)．
答：周三收盘时股价为元；
（2）解：周一股价为：(元)；
周二股价为：(元)；
周三股价为：(元)；
周四股价为：(元)∶
周五股价为：(元)；
答：本周内最高股价是每股元，最低价是每股元；
（3）解：根据题意得∶（元）
答：如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出他的收益元．
题型8有理数乘法除法的实际应用
1．乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）．
(1)其中偏差最大的乒乓球直径是______；
(2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？
(3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数除法的应用
【分析】此题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解正和负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据绝对值的定义即可得到结论；
（3）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直径是；
（2）解：∵，，，，，，，，，中绝对值最小的是，
∴抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是；
（3）解：∵，，，，，，，，，，
误差在“”以内的球可以作为合格产品，
∴合格的有，，，，，，，
这些球的合格率是；
∵误差在“”以内的球可以作为良好产品，
∴良好产品有，，，，，
∴良好率为；
2．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”．
(1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？
(2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？
【答案】(1)万辆
(2)
【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用
【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键．
（1）先求出这七个月高于（或低于）10万的标准所销售的数量，再加上七个月按标准销售的数量，即可求解；
（2）求出的电量的里程即可．
【详解】（1）解：
（万辆）．
答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了万辆新能源汽车．
（2）解：
．
答：该汽车充电前还能行驶．
3．小明是一名喜欢跳绳的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次跳绳测试一分钟都要超过180个．以180个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负，下表是他测试六次的成绩：
(1)在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高多少个？
(2)请你帮小明算一算，他这六次跳绳测试的平均成绩是多少个？
【答案】(1)小明的最高成绩比最低成绩高18个
(2)他这六次跳绳的平均成绩是183个
【知识点】正负数的实际应用、有理数除法的应用
【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【详解】（1）解：由表格知，小明六次测试成绩的最大值为，最小值为，
∴（个），
∴小明的最高成绩比最低成绩高18个；
（2）解：（个），
∴他这六次跳绳的平均成绩是183个．
4．某地的气象观测资料表明，高度每增加，气温大约下降，该地地面温度为．
(1)求距地面高度处的温度；
(2)若高空某处气温为，求此处距地面的高度．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用
【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际运用，解题的关键是求出温度差；
（1）根据高度每增加，气温大约下降，列式计算，即可解题；
（2）根据题意得到温度差，再除以，即可解题．
【详解】（1）解： ；
（2）解：，
答：此高空比地面高．
5．某次数学演讲比赛中，某选手得分情况如下：90、85、89、92、80、88、87、93．要想计算出平均分，可以直接把8个数相加，再用和除以8．小明在学习了正负数以后，提出以下方法：若以90分为标准，超出部分记为正，低于部分记为负，那么这位选手的得分是：0、、、、、、、．请帮助小明继续完成计算．
【答案】88分
【知识点】有理数除法的应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【详解】解：（分），
即这位选手的得分是88分．
知识导图记忆
知识目标复核
1．掌握有理数乘法法则即多个有理数相乘的符号法则；
2．掌握有理数乘法的运算律，并能灵活运用运算律简化运算；
3．掌握有理数除法法则；
4. 能熟练地进行有理数的乘除混合运算；
一、选择题
1．下面算式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
2．计算：（ ）
A．B．C．D．
3．已知有理数a，b在数轴上表示的点如右下图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在篮球比赛中，如果甲队进5个三分球，记作分，那么甲队失2个三分球记作（ ）
A．分B．分C．分D．分
6．如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
…①
…②
…③
A．解题运用了加法结合律B．解题运用了乘法交换律
C．从②步开始出错D．从③步开始出错
7．下列各式中，运用运算律不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．计算的结果等于（ ）
A．75B．10C．D．
9．计算的结果等于（ ）
A．10B．C．5D．
10．规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算： .
12．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ．
13．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ．
14．若，那么□中填入正确的数是 ．
15．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ．
16． ．
17．用“”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定，如，则的值是 ．
18．定义新运算：，计算 ．
19．规定图形表示运算，图形表示运算，则= ．（直接写出答案）
20．已知有理数、满足，则 ．
三、解答题
21．计算．
(1)；(2)；
(3)；(4)．
22．计算：
(1)；(2)
23．下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步
第二步
第三步
．第四步
任务：
(1)填空：
①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是 ；
②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
(2)请直接写出正确的计算结果．
24．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量：
(1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？
(2)这一组的同学共垫球多少下？
(3)这一组同学平均垫球多少下？
教材习题第47页练习第1（3）题
计算：
解题方法指导
解法一：利用乘法分配率计算；
解法二：先计算括号内的，直接通分计算。
【分析】
解法一：利用乘法分配率计算；
点拨：乘法分配率看似简单，其实书写过程较多，符号较多容易弄错。
解法二：先计算括号内的，直接通分计算
点拨：使用分配率计算，书写过程较少，适合对通分比较熟悉的同学使用。
教材习题第51页练习第2题第（3）题
计算：
解题方法指导
1.严格按照混合运算的运算顺序计算；
2.不能随意约分；
【分析】错误解法提醒
正确解法：
有两位同学的解法如下：
（1）．
（2）．
计算：
解：原式＝…
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌
时间
一月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
与标准数量的差值/万辆







测试次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
成绩（个）
0
学生
同学A
同学B
同学C
同学D
同学E
同学F
数量／个