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2024年北师大版七年级数学暑期提升精讲 第07讲 有理数的乘除运算（知识点+练习）
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知识点一 有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数同0相乘，都得0.
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.
知识点二 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：．
知识点三 确定乘积符号
（1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号；
（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0.
知识点四 有理数除法法则
◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.
考点一：两个有理数的乘法运算
例1．（2023·山西·统考中考真题）计算的结果为（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选A．
【点睛】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键．
【变式1-1】（2024·天津红桥·二模）计算：的结果等于（ ）
A．B．1C．D．6
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【变式1-2】（2023·江苏·七年级假期作业）计算的结果是（ ）
A．10B．5C．D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方运算法则直接求出即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数乘法运算，正确把握运算法则是解题关键．
【变式1-3】下列计算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘法法则分别判断即可．
【详解】解：A、，故正确，不合题意；
B、，故错误，符合题意；
C、，故正确，不合题意；
D、，故正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握计算法则是解题关键．
考点二：多个有理数的乘法运算
例2.（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)−200
【分析】（1）根据乘法交换律和结合律简便计算即可求解．
（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
【点睛】此题考查了有理数乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母，并化为最简分数，熟练掌握乘法计算法则是解题的关键．
【变式2-1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列各式中，计算结果为负数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两个以上有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数个数为偶数时，积为正，负因数个数为奇数时，积为负．任何数与0的积为0．
【详解】A选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意，
B选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意，
C选项：中负因数个数为3，积为负， 符合题意，
D选项：，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法的符号规律，解决本题的关键是要熟练掌握有理数乘法法则．
【变式2-2】（2023·全国·七年级假期作业）计算：．
【答案】
【分析】根据乘法交换律计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的乘法运算．掌握有理数的乘法运算法则是解题关键．
【变式2-3】（2023·全国·九年级专题练习）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）6
【分析】根据有理数乘法法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
考点三：倒数
例3. （2023·江苏镇江·统考二模）的倒数等于 ．
【答案】2023
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【详解】解：的倒数是2023．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
【变式3-1】（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）下列互为倒数是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，∴和不互为倒数，不符合题意；
B、，∴和互为倒数，符合题意；
C、和，∴和不互为倒数，不符合题意；
D、∵，∴和不互为倒数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·上海普陀·六年级统考期末）的倒数是 ．
【答案】
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【详解】的倒数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了倒数的定义，即乘积为1的两个数互为倒数，准确掌握知识点是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·上海宝山·六年级校考期中）的倒数是 ．
【答案】
【分析】根据倒数的定义即可完成．
【详解】解：，
∴的倒数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
考点四：有理数乘法运算律
例4.（2023·全国·七年级假期作业）用简便算法计算：
【答案】
【分析】将改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查乘法分配律．熟练掌握乘法分配律是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中）
【答案】
【分析】逆用乘法分配律进行计算即可得到结果．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用运算律是解题的关键．
【变式4-2】（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键．
（1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可；
（2）逆用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【变式4-3】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；
（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解；
（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键．
考点五：有理数乘法的实际应用
例5.（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表
请解答下列问题：
(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重 千克．
(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？
(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？
【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重5千克．
(2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克．
(3)这15箱苹果全部售出共可获利3068元．
【分析】（1）从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到；
（2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准；
（3）用单价乘以总质量，即可得到答案．
【详解】（1）解：（千克），
答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克．
（2）解：（千克），
答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克．
（3）解：（千克），
（元），
答：这15箱苹果全部售出共可获利3068元．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键．
【变式5-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨)
表中星期五的进出数被墨水涂污了．
(1)请你算出星期五的进出数；
(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？
【答案】(1)星期五的进出数为吨
(2)1160元
【分析】（1）用这周进出数之和减去除星期五的进出数，即可得；
（2）先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得．
【详解】（1）解：周五的进出数为
(吨)，
答：星期五的进出数为吨．
（2）解：这一周的装卸费为：(元)．
【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式5-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，，
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？
(2)离开下午出发点最远时是__________千米；
(3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？
【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边
(2)26
(3)元
【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边；
（2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可；
（3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和．
【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离（千米）．
答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边；
（2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
∵，
∴离开下午出发点最远时是26千米，
答：离开下午出发点最远时是26千米；
（3）解：∵这天下午小李所走路程
（千米），
∴这天下午共需付油钱（元），
答：这天下午共需支付元油钱．
【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和．
【变式5-3】（2023·浙江·七年级假期作业）出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米）
(1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？
(2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示）
(3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱）
【答案】(1)千米
(2)升
(3)元
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得答案；
（3）将每次收入相加可求解．
【详解】（1）解：（千米）
答：距离出车时地点为30千米．
（2）解：（升）
答：小明共耗油升．
（3）解：（元）
答：小王收入了元．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，理解题意，掌握有理数的加减混合运算的运算法则是解题关键．
考点六：有理数的除法运算
例6. （2023·浙江·七年级假期作业）计算： ．
【答案】
【分析】根据有理数的除法，求解即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．
【变式6-1】（2023·山西晋城·校联考模拟预测）计算的结果为( )
A．B．C．1D．6
【答案】A
【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可求解．
【详解】解：原式．
故选：A．
【点睛】本题主要考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知除法运算法则．
【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则．
【变式6-3】（2023春·上海·六年级专题练习）计算：＝ ．
【答案】
【分析】两个负数相除，结果为正，再利用除以一个数，等于乘这个数的倒数计算即可．
【详解】解：原式＝﹣3×（﹣）＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
考点七：有理数的乘除混合运算
例7. （2023·江苏·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算即可；
（2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可；
（3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键．
【变式7-1】（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算．
【变式7-2】（2023·全国·九年级专题练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)1
(3)2
(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的乘法运算律、两个有理数的乘法运算．掌握各运算法则是解题关键．
【变式7-3】（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)18
(2)
(3)54
【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
考点八：有理数的乘除混合运算之新定义型问题
例8.3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，代入新定义运算即可求解，理解新运算的定义是解题关键．
【详解】解：根据新定义，，
∴；
．
故答案为：；
【变式8-1】（22-23七年级上·福建漳州·期中）对于有理数，定义一种新运算“※”如下：，则2※ .
【答案】
【分析】根据，可以求得所求式子的值．
【详解】：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式8-2】（23-24七年级上·贵州毕节·期中）对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键；本题先计算括号内的，再进行下一步的计算，从而可得答案．
【详解】解：
．
【变式8-3】（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；
（2）先根据新定义算括号内的，再算括号外的．
【详解】（1）解：依题意，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握有理数相关运算的法则．
考点九：有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
例9. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ．
【答案】0
【分析】由已知推出b、c都是负数，据此去绝对值符号，即可求解．
【详解】解：∵单项式a是一个正数，且，
∴b、c都是负数，
∴，，，，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到b、c都是负数是解答本题的关键.
【变式9-1】（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）．
A．-4，-4，0，2，4B．-4，-2，2，4C．0D．-4，0，4
【答案】D
【分析】由题意分情况讨论：①a，b，c均是正数；②a，b，c均是负数；③a，b，c中有一个正数，两个负数；④a，b，c中有两个正数，一个负数；利用绝对值的性质，先化简绝对值，再求出结果．
【详解】解：①a，b，c均是正数，原式=；
②a，b，c均是负数，原式=；
③a，b，c中有两个负数，一个正数，原式=；
④a，b，c中有两个正数，一个负数，原式=．
所有可能的值为－4，0，4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的计算等，注意多种情况讨论，不能丢解．
【变式9-2】（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题：
(1)已知，是有理数，
①当，时，则________；
②当，时，则________；
③当，时，则_______；
(2)已知，，是有理数，当时，求
【答案】(1)①；②；③
(2)或
【分析】本题考查了有理数的除法， 绝对值的意义；
（1）①根据由，时，则，代入即可求解；
②根据由，时，则，代入即可求解；
③根据由，时，则，代入即可求解；
（2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可．
【详解】（1）解：①由，时，则，
∴；
故答案为：．
②由，时，则，
∴；
故答案为：0．
③由，时，则，
∴；
故答案为：．
（2）当时，
都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论：
①当，，时，
；
②当，，时，
；
综上所述：或．
【变式9-3】（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题：
(1)已知m，n是有理数，当时，则______；
(2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值；
(3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值．
【答案】(1)0；
(2)1或；
(3)或3．
【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键；
（1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可；
（2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可；
（3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案．
【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时，
∴同号，
当，时，
，
当，时，
；
（2）∵
∴m，n，t全负或m，n，t两正一负
①当m，n，t全负时，
②当m，n，t两正一负时
Ⅰ）当，，时，
Ⅱ）当，，时，
Ⅲ）当，，时，
综上所述，的值为1或；
（3）∵
∴，，．
∴
又∵，
∴m，n，t两正一负
由（2）可知的值为或3．
一、单选题
1．（2024·浙江温州·一模）计算的结果是（ ）
A．3B．C．D．12
【答案】B
【分析】本题考查有理数的除法，根据有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：B
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数的乘法法则，相反数的概念；
根据有理数乘法法则和相反数的概念，进行判断便可．
【详解】解：①同号两数相乘，积为正号，不是符号不变，该说法错误；
②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该说法正确；
③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该说法错误；
④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该说法错误；
故选：A．
3．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则，B．若，则，
C．若，则且D．若，则或
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法，根据两个有理数相乘，同号为正，异号为负求解即可．
【详解】解：若，则，或，，故A，B错误；
若，则或，故C错误，D正确．
故选：D．
4．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键．
根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的除法运算，根据数轴确定的大小，可把绝对值进行化简，再计算从而可得答案．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，
∴
，
故选B．
二、填空题
6．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ．
【答案】
【分析】本题考查倒数相反数绝对值的概念，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解：的倒数是，的相反数是，的绝对值是．
故答案为：；；．
7．（23-24七年级上·福建福州·期中）要使算式的运算结果最大，则“□”内分别填入，，，中的一个符号（不重复使用），使计算所得的结果最大，则这个最大的结果为 ．
【答案】5
【分析】根据题意，可以分别计算出，，，的结果，然后比较大小，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
这个最大的结果为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查有理数的加减乘除四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是和．有以下结论：；；；．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】/
【分析】
本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．
由数轴得，，然后用理数的加法、乘法法则判断两数的和、差、积的符号即可．
【详解】解：，由数轴得，，
∴，故符合题意；
，由数轴得，，
∴，
∴，故不符合题意；
，由数轴得，，
∴，故符合题意；
，由数轴得，，
∴，故不符合题意．
故答案为：．
9．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）定义新运算：当时，；当时，（其中）．则 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：
故答案为：．
10．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或．
其中，正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①⑤/⑤①
【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．
【详解】解：①若，则，正确，不符合题意；
②若，则，原结论不正确，符合题意；
③若，则，原结论不正确，符合题意；
④若，当时，则，原结论不正确，符合题意；
⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，，
∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，，
当，，时，原式；
当，，时，原式，
当，，时，原式，
当，，时，原式．
综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意；
故答案为：①⑤．
三、解答题
11．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
（1）除法转化为乘法，再约分即可；
（2）利用乘法分配律展开，再计算即可；
（3）乘法分配律的逆运用提取公因数，再进一步计算即可；
（4）先计算括号内减法，再进一步计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
12．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可；
（2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可；
本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【详解】（1）
（2）
13．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
(1)上面解题过程有两处错误：
第一处是第______________步，错误原因是______________；
第二处是第______________步，错误原因是______________；
(2)请写出正确的结果______________．
【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错
(2)
【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序．
（1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可．
（2）按照正确的运算顺序，规范解答即可．
【详解】（1）根据题意，得：
第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算；
第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正，
故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错．
（2）
．
14．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；
（1）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（2）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（3）逆用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
（3）
．
15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑土地是世界上最肥沃的土壤，有“一两土二两油”的比喻.东北黑土地地处世界“黄金玉米带”.每年产生的玉米秸秆达上亿吨.某农户现有20袋玉米秸秆，以每袋为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，称重后记录如下：
(1)这20袋玉米秸秆中，质量最大是 千克；
(2)与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计多少千克？
【答案】(1)
(2)千克
【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的混合运算等，理解正负数的意义是解题的关键．
（1）根据正负数大小比较，可得答案；
（2）计算超过或不足的总和，进而得出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴这20袋玉米秸秆中，质量最大是：（千克），
故答案为：．
（2）解：与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计为：
（千克）．
16．（23-24七年级上·山东潍坊·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．
(1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______．
(2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1．
(3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数．
【答案】(1)9，，，
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间距离公式直接求解即可；
（2）在图二的数轴上表示出三个数即可；
（3）按照两个数轴的比例得出在图二中的数值即可．
【详解】（1）解：在图1的数轴上，个单位长度；在图2中，；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，在数轴上点所对应的数．
故答案为：9，，，；
（2）解：∵，
∴在处，
∵，
∴0在处，
∵，
∴1在处．
如图，
（3）解：∵，
∴D在图2中对应刻度尺上的的长度为：，
∴或，
∴点D在图2中对应刻度尺上的读数为：或．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握有理数的乘法和除法法则；
2．理解有理数的乘法运算规律及乘法中几类常见的能够运用简便运算的题型；
3．能够从实际问题中利用有理数乘法和除法解决问题。
标准质量的差（单位：千克）
0
2
3
箱数
1
3
2
2
2
4
1
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
逆用乘法分配律解题
我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
与标准质量的差值（单位：千克）
0
袋数
1
4
2
3
2
8
知识点一 有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数同0相乘，都得0.
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.
【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.
知识点二 有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：．
知识点三 确定乘积符号
（1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号；
（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0.
知识点四 有理数除法法则
◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数
◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.
考点一：两个有理数的乘法运算
例1．（2023·山西·统考中考真题）计算的结果为（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选A．
【点睛】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键．
【变式1-1】（2024·天津红桥·二模）计算：的结果等于（ ）
A．B．1C．D．6
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【变式1-2】（2023·江苏·七年级假期作业）计算的结果是（ ）
A．10B．5C．D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方运算法则直接求出即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数乘法运算，正确把握运算法则是解题关键．
【变式1-3】下列计算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘法法则分别判断即可．
【详解】解：A、，故正确，不合题意；
B、，故错误，符合题意；
C、，故正确，不合题意；
D、，故正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握计算法则是解题关键．
考点二：多个有理数的乘法运算
例2.（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)−200
【分析】（1）根据乘法交换律和结合律简便计算即可求解．
（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
【点睛】此题考查了有理数乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母，并化为最简分数，熟练掌握乘法计算法则是解题的关键．
【变式2-1】（2023·浙江·七年级假期作业）下列各式中，计算结果为负数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两个以上有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数个数为偶数时，积为正，负因数个数为奇数时，积为负．任何数与0的积为0．
【详解】A选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意，
B选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意，
C选项：中负因数个数为3，积为负， 符合题意，
D选项：，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法的符号规律，解决本题的关键是要熟练掌握有理数乘法法则．
【变式2-2】（2023·全国·七年级假期作业）计算：．
【答案】
【分析】根据乘法交换律计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的乘法运算．掌握有理数的乘法运算法则是解题关键．
【变式2-3】（2023·全国·九年级专题练习）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）6
【分析】根据有理数乘法法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正” ．
考点三：倒数
例3. （2023·江苏镇江·统考二模）的倒数等于 ．
【答案】2023
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【详解】解：的倒数是2023．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
【变式3-1】（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）下列互为倒数是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，∴和不互为倒数，不符合题意；
B、，∴和互为倒数，符合题意；
C、和，∴和不互为倒数，不符合题意；
D、∵，∴和不互为倒数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·上海普陀·六年级统考期末）的倒数是 ．
【答案】
【分析】根据倒数的定义可直接解答．
【详解】的倒数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了倒数的定义，即乘积为1的两个数互为倒数，准确掌握知识点是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·上海宝山·六年级校考期中）的倒数是 ．
【答案】
【分析】根据倒数的定义即可完成．
【详解】解：，
∴的倒数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
考点四：有理数乘法运算律
例4.（2023·全国·七年级假期作业）用简便算法计算：
【答案】
【分析】将改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查乘法分配律．熟练掌握乘法分配律是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中）
【答案】
【分析】逆用乘法分配律进行计算即可得到结果．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用运算律是解题的关键．
【变式4-2】（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键．
（1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可；
（2）逆用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【变式4-3】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；
（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解；
（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键．
考点五：有理数乘法的实际应用
例5.（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表
请解答下列问题：
(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重 千克．
(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？
(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？
【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重5千克．
(2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克．
(3)这15箱苹果全部售出共可获利3068元．
【分析】（1）从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到；
（2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准；
（3）用单价乘以总质量，即可得到答案．
【详解】（1）解：（千克），
答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克．
（2）解：（千克），
答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克．
（3）解：（千克），
（元），
答：这15箱苹果全部售出共可获利3068元．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键．
【变式5-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨)
表中星期五的进出数被墨水涂污了．
(1)请你算出星期五的进出数；
(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？
【答案】(1)星期五的进出数为吨
(2)1160元
【分析】（1）用这周进出数之和减去除星期五的进出数，即可得；
（2）先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得．
【详解】（1）解：周五的进出数为
(吨)，
答：星期五的进出数为吨．
（2）解：这一周的装卸费为：(元)．
【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式5-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，，
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？
(2)离开下午出发点最远时是__________千米；
(3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？
【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边
(2)26
(3)元
【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边；
（2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可；
（3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和．
【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离（千米）．
答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边；
（2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
当行程为千米时离开下午出发点（千米）；
∵，
∴离开下午出发点最远时是26千米，
答：离开下午出发点最远时是26千米；
（3）解：∵这天下午小李所走路程
（千米），
∴这天下午共需付油钱（元），
答：这天下午共需支付元油钱．
【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和．
【变式5-3】（2023·浙江·七年级假期作业）出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米）
(1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？
(2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示）
(3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱）
【答案】(1)千米
(2)升
(3)元
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得答案；
（3）将每次收入相加可求解．
【详解】（1）解：（千米）
答：距离出车时地点为30千米．
（2）解：（升）
答：小明共耗油升．
（3）解：（元）
答：小王收入了元．
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，理解题意，掌握有理数的加减混合运算的运算法则是解题关键．
考点六：有理数的除法运算
例6. （2023·浙江·七年级假期作业）计算： ．
【答案】
【分析】根据有理数的除法，求解即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．
【变式6-1】（2023·山西晋城·校联考模拟预测）计算的结果为( )
A．B．C．1D．6
【答案】A
【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可求解．
【详解】解：原式．
故选：A．
【点睛】本题主要考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知除法运算法则．
【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则．
【变式6-3】（2023春·上海·六年级专题练习）计算：＝ ．
【答案】
【分析】两个负数相除，结果为正，再利用除以一个数，等于乘这个数的倒数计算即可．
【详解】解：原式＝﹣3×（﹣）＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
考点七：有理数的乘除混合运算
例7. （2023·江苏·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算即可；
（2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可；
（3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键．
【变式7-1】（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算．
【变式7-2】（2023·全国·九年级专题练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)1
(3)2
(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的乘法运算律、两个有理数的乘法运算．掌握各运算法则是解题关键．
【变式7-3】（2023·全国·七年级假期作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)18
(2)
(3)54
【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
考点八：有理数的乘除混合运算之新定义型问题
例8.3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）定义一种运算“”：，则 ， ．
【答案】 /
【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，代入新定义运算即可求解，理解新运算的定义是解题关键．
【详解】解：根据新定义，，
∴；
．
故答案为：；
【变式8-1】（22-23七年级上·福建漳州·期中）对于有理数，定义一种新运算“※”如下：，则2※ .
【答案】
【分析】根据，可以求得所求式子的值．
【详解】：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式8-2】（23-24七年级上·贵州毕节·期中）对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键；本题先计算括号内的，再进行下一步的计算，从而可得答案．
【详解】解：
．
【变式8-3】（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；
（2）先根据新定义算括号内的，再算括号外的．
【详解】（1）解：依题意，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握有理数相关运算的法则．
考点九：有理数的除法中绝对值之分类讨论问题
例9. （2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为 ．
【答案】0
【分析】由已知推出b、c都是负数，据此去绝对值符号，即可求解．
【详解】解：∵单项式a是一个正数，且，
∴b、c都是负数，
∴，，，，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到b、c都是负数是解答本题的关键.
【变式9-1】（2023秋·七年级单元测试）如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）．
A．-4，-4，0，2，4B．-4，-2，2，4C．0D．-4，0，4
【答案】D
【分析】由题意分情况讨论：①a，b，c均是正数；②a，b，c均是负数；③a，b，c中有一个正数，两个负数；④a，b，c中有两个正数，一个负数；利用绝对值的性质，先化简绝对值，再求出结果．
【详解】解：①a，b，c均是正数，原式=；
②a，b，c均是负数，原式=；
③a，b，c中有两个负数，一个正数，原式=；
④a，b，c中有两个正数，一个负数，原式=．
所有可能的值为－4，0，4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的计算等，注意多种情况讨论，不能丢解．
【变式9-2】（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题：
(1)已知，是有理数，
①当，时，则________；
②当，时，则________；
③当，时，则_______；
(2)已知，，是有理数，当时，求
【答案】(1)①；②；③
(2)或
【分析】本题考查了有理数的除法， 绝对值的意义；
（1）①根据由，时，则，代入即可求解；
②根据由，时，则，代入即可求解；
③根据由，时，则，代入即可求解；
（2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可．
【详解】（1）解：①由，时，则，
∴；
故答案为：．
②由，时，则，
∴；
故答案为：0．
③由，时，则，
∴；
故答案为：．
（2）当时，
都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论：
①当，，时，
；
②当，，时，
；
综上所述：或．
【变式9-3】（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题：
(1)已知m，n是有理数，当时，则______；
(2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值；
(3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值．
【答案】(1)0；
(2)1或；
(3)或3．
【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键；
（1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可；
（2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可；
（3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案．
【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时，
∴同号，
当，时，
，
当，时，
；
（2）∵
∴m，n，t全负或m，n，t两正一负
①当m，n，t全负时，
②当m，n，t两正一负时
Ⅰ）当，，时，
Ⅱ）当，，时，
Ⅲ）当，，时，
综上所述，的值为1或；
（3）∵
∴，，．
∴
又∵，
∴m，n，t两正一负
由（2）可知的值为或3．
一、单选题
1．（2024·浙江温州·一模）计算的结果是（ ）
A．3B．C．D．12
【答案】B
【分析】本题考查有理数的除法，根据有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：B
2．（24-25七年级上·全国·假期作业）下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数的乘法法则，相反数的概念；
根据有理数乘法法则和相反数的概念，进行判断便可．
【详解】解：①同号两数相乘，积为正号，不是符号不变，该说法错误；
②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该说法正确；
③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该说法错误；
④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该说法错误；
故选：A．
3．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则，B．若，则，
C．若，则且D．若，则或
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法，根据两个有理数相乘，同号为正，异号为负求解即可．
【详解】解：若，则，或，，故A，B错误；
若，则或，故C错误，D正确．
故选：D．
4．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键．
根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（2024·广东·二模）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的除法运算，根据数轴确定的大小，可把绝对值进行化简，再计算从而可得答案．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，
∴
，
故选B．
二、填空题
6．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ．
【答案】
【分析】本题考查倒数相反数绝对值的概念，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解：的倒数是，的相反数是，的绝对值是．
故答案为：；；．
7．（23-24七年级上·福建福州·期中）要使算式的运算结果最大，则“□”内分别填入，，，中的一个符号（不重复使用），使计算所得的结果最大，则这个最大的结果为 ．
【答案】5
【分析】根据题意，可以分别计算出，，，的结果，然后比较大小，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
这个最大的结果为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查有理数的加减乘除四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是和．有以下结论：；；；．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】/
【分析】
本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．
由数轴得，，然后用理数的加法、乘法法则判断两数的和、差、积的符号即可．
【详解】解：，由数轴得，，
∴，故符合题意；
，由数轴得，，
∴，
∴，故不符合题意；
，由数轴得，，
∴，故符合题意；
，由数轴得，，
∴，故不符合题意．
故答案为：．
9．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）定义新运算：当时，；当时，（其中）．则 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：
故答案为：．
10．（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或．
其中，正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①⑤/⑤①
【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可．
【详解】解：①若，则，正确，不符合题意；
②若，则，原结论不正确，符合题意；
③若，则，原结论不正确，符合题意；
④若，当时，则，原结论不正确，符合题意；
⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，，
∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，，
当，，时，原式；
当，，时，原式，
当，，时，原式，
当，，时，原式．
综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意；
故答案为：①⑤．
三、解答题
11．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
（1）除法转化为乘法，再约分即可；
（2）利用乘法分配律展开，再计算即可；
（3）乘法分配律的逆运用提取公因数，再进一步计算即可；
（4）先计算括号内减法，再进一步计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
12．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可；
（2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可；
本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【详解】（1）
（2）
13．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题：
计算：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
(1)上面解题过程有两处错误：
第一处是第______________步，错误原因是______________；
第二处是第______________步，错误原因是______________；
(2)请写出正确的结果______________．
【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错
(2)
【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序．
（1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可．
（2）按照正确的运算顺序，规范解答即可．
【详解】（1）根据题意，得：
第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算；
第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正，
故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错．
（2）
．
14．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键；
（1）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（2）逆用分配律把原式化为，再计算即可；
（3）逆用乘法分配律计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
（3）
．
15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑土地是世界上最肥沃的土壤，有“一两土二两油”的比喻.东北黑土地地处世界“黄金玉米带”.每年产生的玉米秸秆达上亿吨.某农户现有20袋玉米秸秆，以每袋为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，称重后记录如下：
(1)这20袋玉米秸秆中，质量最大是 千克；
(2)与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计多少千克？
【答案】(1)
(2)千克
【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的混合运算等，理解正负数的意义是解题的关键．
（1）根据正负数大小比较，可得答案；
（2）计算超过或不足的总和，进而得出答案即可．
【详解】（1）解：∵，
∴这20袋玉米秸秆中，质量最大是：（千克），
故答案为：．
（2）解：与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计为：
（千克）．
16．（23-24七年级上·山东潍坊·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．
(1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______．
(2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1．
(3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数．
【答案】(1)9，，，
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间距离公式直接求解即可；
（2）在图二的数轴上表示出三个数即可；
（3）按照两个数轴的比例得出在图二中的数值即可．
【详解】（1）解：在图1的数轴上，个单位长度；在图2中，；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，在数轴上点所对应的数．
故答案为：9，，，；
（2）解：∵，
∴在处，
∵，
∴0在处，
∵，
∴1在处．
如图，
（3）解：∵，
∴D在图2中对应刻度尺上的的长度为：，
∴或，
∴点D在图2中对应刻度尺上的读数为：或．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握有理数的乘法和除法法则；
2．理解有理数的乘法运算规律及乘法中几类常见的能够运用简便运算的题型；
3．能够从实际问题中利用有理数乘法和除法解决问题。
标准质量的差（单位：千克）
0
2
3
箱数
1
3
2
2
2
4
1
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
逆用乘法分配律解题
我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多
与标准质量的差值（单位：千克）
0
袋数
1
4
2
3
2
8
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