专题07 有理数的加减运算-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（北师大版2024）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：10大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.
⑶一个数同0相加，仍得这个数.
知识点02 有理数的加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a；
加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）；
知识点03 有理数的减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b
【题型1 有理数的加法运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)0
(4)
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据有理数加法法则求解即可；
（2）根据有理数加法法则求解即可；
（3）根据有理数加法法则求解即可；
（4）根据有理数加法法则求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题主要考查了有理数加法运算，掌握有理数加法的运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数加法法则进行运算即可．
（2）根据有理数加法法则进行运算即可．
（3）根据有理数加法法则进行运算即可．
（4）根据有理数加法法则进行运算即可．
【详解】（1）解：．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)4.6
(4)
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题考查有理数的加法运算：
（1）根据有理数加法法则进行计算即可；
（2）根据有理数加法法则进行计算即可；
（3）根据有理数加法法则进行计算即可；
（4）根据有理数加法法则进行计算即可；
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据有理数的加法法则计算即可得解；
（2）根据有理数的加法法则计算即可得解；
（3）根据有理数的加法法则计算即可得解；
（4）根据有理数的加法法则计算即可得解；
（5）根据有理数的加法法则计算即可得解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：．
【题型2 有理数加法中的符号问题】
例题：（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （ ）
A．一定都是正数B．一定都是负数
C．一定是一个正数，一个负数D．至少有一个是负数
【答案】D
【知识点】有理数加法中的符号问题
【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可．
【详解】解：的值是负数，
a与b的值中至少有一个是负数．
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（ ）
A．必须是两个正数
B．可以是两个负数
C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大
D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大
【答案】C
【知识点】有理数加法中的符号问题
【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键．
【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误；
B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误；
C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确；
D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误．
故选：C ．
2．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（ ）
A．这两个加数一定有一个数是0B．这两个加数一定都是负数
C．这两个加数一正一负D．这两个加数的符号不能确定
【答案】B
【知识点】有理数加法中的符号问题
【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案．
【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数．
故选：B．
3．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（ ）
A．a、b为正数，c为负数B．a、c为正数，b为负数
C．b、c为正数，a为负数D．a、b、c均为负数
【答案】A
【知识点】有理数加法中的符号问题
【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键．
【详解】解：∵，且，
∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故A．
【题型3 有理数加法运算律】
例题：（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：．
【答案】
【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律
【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可．
【详解】解：
．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【知识点】有理数加法运算律
【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键．
（1）利用加法交换律和结合律运算即可；
（2）利用加法交换律和结合律运算即可；
（3）利用加法交换律和结合律运算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数加法运算律
【分析】本题考查了有理数加法运算；
（1）先利用加法交换律和加法结合律，再进行同号加法运算，再进行异号加法计算，即可求解；
（2）先利用加法交换律和加法结合律，再进行同号加法及相反数进行运算，再进行异号加法计算，即可求解；
掌握有理数运算律及加法法则是解题的关键.
【详解】（1）解：原式；
；
（2）解：原式．
.
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算
【分析】（）利用加法运算律计算即可；
（）利用加法运算律计算即可；
本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则和运算律是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
，
；
（2）解：原式
，
．
【题型4 有理数加法在生活中的应用】
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：．问：守门员最后是否回到了球门线的位置？
【答案】守门员最后回到了球门线的位置
【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用
【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，把守门员折返跑的记录相加，若结果为0，则守门员回到球门线位置，若不为0，则没有回到球门线位置，据此列式求解即可．
【详解】解：
，
答：守门员最后回到了球门线的位置．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·广东广州·期中）一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，．
(1)此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？
(2)在爬行的过程中，若每爬行，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
【答案】(1)爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是
(2)小虫可得到96粒芝麻
【知识点】有理数加法在生活中的应用
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正负数，绝对值．
（1）由题意知，计算，根据计算结果的正负作答即可；
（2）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是；
（2）解：由题意知，，
∵每爬行，奖励3粒芝麻，
∴（粒），
答：小虫可得到96粒芝麻．
2．（24-25七年级上·山西晋中·期末）小华本周体育锻炼时长的变化情况如下表（正数表示锻炼时长比前一天增加，负数表示锻炼时长比前一天减少）．
(1)的意思是______；
(2)本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比情况如何？
【答案】(1)星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化；
(2)本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比增加．
【知识点】有理数加法在生活中的应用
【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的加减法则是解题的关键．
只要求出本周7天体育锻炼时长变化的和即可．
【详解】（1）解：的意思是星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化；
故答案为：星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化；
（2）解：计算一周时长变化总和：
结果为正，说明本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比增加了．
3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，一辆货车从超市出发，向东走了2到达小彬家，继续走了2.5到达小颖家，最后回到超市．
(1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为多少？
(2)货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？
【答案】(1)2，4.5；
(2)9千米
【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数加法在生活中的应用
【分析】本题考查了数轴、有理数的加法，掌握数轴的定义是解题关键．
（1）分别求出小彬家、小颖家在数轴上的点所表示的数即可；
（2）根据所走的行程，列出式子，计算有理数的加法即可得．
【详解】（1）解：∵从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，1个单位长度表示，
∴小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为2，4.5；
（2）解：由题意得：（千米）．
【题型5 有理数的减法运算】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题考查了有理数的减法运算，直接利用有理数的减法运算法则进行计算即可，能够正确计算是解题的关键．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题考查有理数的减法，解题的关键是熟练运用有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
（1）根据有理数的减法法则计算即可；
（2）根据有理数的减法法则计算即可；
（3）根据有理数的减法法则计算即可；
（4）根据有理数的减法法则计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题主要考查了有理数减法运算，掌握有理数减法运算法则成为解题的关键．
（1）直接运用有理数减法运算法则计算即可；
（2）先化简为加，然后再通分，最后加减即可；
（3）先通分，最后加减即可；
（4）直接运用有理数减法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【知识点】有理数的减法运算
【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法计算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的减法法则计算即可；
（2）根据有理数的减法法则计算即可；
（3）根据有理数的减法法则计算即可；
（4）根据有理数的减法法则计算即可；
（5）根据有理数的减法法则计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：；
（5）解：．
【题型6 有理数的加减混合运算】
例题：（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．
（1）先化简符号，再计算即可；
（2）先化简符号，再计算即可；
（3）直接加减计算即可；
（4）先通分，再计算，再约分即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】有理数加法运算、有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了有理数加法运算，有理数加减混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．
（1）根据有理数加法运算法则进行计算求解，即可解题；
（2）根据有理数加法运算法则进行计算求解，即可解题；
（3）根据有理数加减混合运算法则进行计算求解，即可解题．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
2．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)3
(2)
(3)
(4)1
【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算
【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶
（1）根据有理数加法运算法则进行计算；
（2）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算；
（3）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算；
（4）将减法统一为加法运算，然后利用加法交换律和结合律进行简便计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
3．（24-25七年级上·河南周口·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)4
(3)
(4)9
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用有理数加减混合运算法则计算；
（2）利用有理数加减混合运算法则计算；
（3）把小数化为分数，利用有理数加减混合运算法则计算；
（4）把小数化为分数，利用有理数加减混合运算法则计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【题型7 有理数的加减中的简便运算】
例题：（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算
【分析】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键．
（1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)4.5
【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键：
（1）根据有理数的加减混合运算计算即可；
（2）根据有理数的加减混合运算计算即可；
（3）根据有理数的加减混合运算计算即可；
（4）根据有理数的加减混合运算计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
2．（24-25七年级上·广东广州·期中）以下计算题需要有计算过程．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)0
(2)8
(3)
(4)
【知识点】有理数加减中的简便运算
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
（1）利用加法交换律和结合律求解即可；
（2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算；
（3）利用加法交换律和结合律求解即可；
（4）先把减法统一成加法，再利用加法交换律和结合律求解即可；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
3．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【答案】(1)8
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可；
（2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可；
（3）运用加法结合律将原式变形后计算即可；
（4）先去括号，再运用加法结合律计算即可；
（5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可；
（6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可；
（7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可；
（8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
；
（7）解：
；
（8）解：
．
【题型8 根据点在数轴的位置判断式子的正负】
例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数大小比较、有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】本题考查了数轴与有理数，由数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则和大小比较方法是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，，
∴，，，故错误，
∵，，，
∴，故正确，错误，
故选：．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法运算，相反数．根据数轴确定有理数的大小关系是解题的关键．
【详解】解：由数轴得，，
∴，
∴B正确，符合题意；A、C、D均错误，不符合题意，
故选：B．
2．（24-25七年级上·山西大同·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小
【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数加法的应用，掌握相关知识点是解题关键．由数轴可知，，，再逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
A、，原结论错误，不符合题意；
B、，原结论错误，不符合题意；
C、，原结论错误，不符合题意；
D、，原结论正确，符合题意；
故选：D．
3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论：
①；②，③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．②③④⑤B．①②④⑤C．①②③④D．①③④⑤
【答案】B
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，有理数的加减以及数轴的特征和应用，根据图示，可得，，据此逐项判断即可，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围．
【详解】解：根据图示，可得，，
①，故①正确；
②，故②正确；
③，故③错误；
④，故④正确；
⑤，故⑤正确．
∴正确的是①②④⑤．
故选：B．
【题型9 新定义下的有理数加减混合运算】
例题：（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）对于有理数定义一种新运算，．例：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)2
(2)
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】（1）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可；
（2）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可．
本题考查了新定义运算，绝对值化简，有理数加减混合运算，理解定义，规范解答时解题的关键．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，新定义，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义计算求解即可；
（2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：，
∴．
2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如
．
(1)计算：；
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)28
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是关键．
（1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可；
（2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求和，再计算即可．
【详解】（1）解：☆
．
故答案为：；
（2）解：
．
3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：
，，，，，，，，……
(1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：
同号得__________，异号得__________，并把绝对值__________；一个数与0相“乘加”等于__________；
(2)根据法则计算：__________；__________；
(3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：
①
②
【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值
(2)；
(3)①；②
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键．
（1）根据题中给出的例子归纳出结论即可；
（2）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可；
（3）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值．
故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值．
（2）解：；
．
故答案为：；．
（3）解：，
故答案为：①；②．
【题型10 有理数的加减混合运算的应用】
例题：（24-25七年级上·湖南常德·期末）老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为）
问：
(1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟?
(2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟?
(3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时?
【答案】(1)14分钟
(2)长了6分钟
(3)
【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用
【分析】本题主要考查了正、负数、有理数的加、减法在实际生活中的应用，利用有理数的加法和减法法则计算是解答本题的关键．
（1）根据表格找出家务时间最多的一天和最少的一天，再利用有理数的减法求解即可；
（2）根据表格中数据列出算式求出结果，再进行判断即可；
（2）根据正、负数的意义，运用有理数的加法即可求出该周做家务总时长．
【详解】（1）解：（分钟），
答：做家务时间最长的一天比最短的一天多14分钟；
（2）解：（分钟），
答：实际情况较计划时间，长了6分钟．
（3）解：（小时），
答：小军这周做家务总时长是小时．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）“十一”黄金周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0”
(1)10月2日这一天的游客有_____万人．
(2)请求出黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人．
(3)若该乐园的门票是每人100元，请计算黄金周期间该乐园的门票收入．
【答案】(1)3.5
(2)万人
(3)1270万元
【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数减法的实际应用、正负数的实际应用
【分析】本题考查了正负数的意义，有理数运算的应用．
（1）用1万加上10月2号变化的人数即可；
（2）用记录数据最多的一天减去最少的一天即可；
（3）先求出所记录数据变化的人数，加上7天的标准人数，求出出总人数，再乘以100即可．
【详解】（1）解：万人，
故答案为：3.5；
（2）解：由题意，得：
（万人），
答：黄金周期间游客最多的一天比最少的一天多万人．
（3）解：
（万人），
（万人），
（万元），
答：黄金周期间该乐园的门票收入是1270万元．
2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）：
(1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数．
(2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？
(3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少．
【答案】(1)
(2)亏了，亏了8元
(3)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元
【知识点】有理数减法的实际应用、正负数的实际应用
【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式．
（1）用总数减去另外6天的盈亏情况，得出答案即可；
（2）根据解析（1）的计算结果进行判断即可；
（3）根据表格中数据列式计算即可．
【详解】（1）解：
，
∴星期五的盈亏数为；
（2）解：由于是负数，故星期五亏了，亏了8元．
（3）解：（元）．
答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元
3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）．
(1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米；
(2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？
(3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？
【答案】(1)17；152
(2)160厘米
(3)青蛙在第18次跳出了井口
【知识点】有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用
【分析】本题考查正数和负数、有理数加法、有理数减法的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．
（1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底和井口的距离即可求解；
（2）用井深减去青蛙第七次跳跃并下滑稳定后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离；
（3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口．
【详解】（1）解： 井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑，
第一次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米）
第二次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底26厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米）
第三次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底41厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米）
第四次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底64厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米）
第五次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底80厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米）
第六次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底90厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米）
第七次跳跃以后没有下滑前：，表示青蛙在距离井底108厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米）
当青蛙跳完第一次以后距离井底最近为17厘米，当调完第七次后示下滑时，青蛙在距离井口最近152厘米处，
故答案为：17，152；
（2）解：第七次跳跃并下滑稳定后：，表示青蛙在距离井底100厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米）
答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有160厘米．
（3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，
当青蛙跳完2周以后，距离井口的距离（厘米），此时青蛙完成了14次跳跃，
青蛙继续跳跃情况为：（厘米），
∵
∴青蛙又继续跳跃4次就跳出了井口，
∴青蛙在第18次跳出了井口．
一、单选题
1．（2025年浙江省初中学业水平考试数学卷）下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据有理数的加减运算进行计算即可求解．
【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项正确，符合题意；
D． ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）哈尔滨市四月份某天的最低气温为，最高气温为，则这一天的最高气温比最低气温高（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用
【分析】根据温差的定义，计算解答即可．
本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握运算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得
；
故选：B．
3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将写成省略括号和加号的形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题主要考查了去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变正负号．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号和括号省略，即可．
【详解】解：，
故选：B．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）如果数轴上的、两点表示的有理数分别为、，且，，，那么的值为（ ）
A．B．或C．2D．
【答案】B
【知识点】有理数的减法运算、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了绝对值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先根据，可得：的和为正数，再根据，，可得，或，这2种情况满足的和为正数，然后即可求解的值；
【详解】解：∵，
∴的和为正数，
∵，，
∴，，
当时，时，；
当时，时，；
当时，时，；
当时，时，；
综上所述，存在2种情况，即，或，这2种情况满足的和为正数，
∴当，时，，当，时，，
故选：B；
5．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】有理数加法运算
【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据题意列式计算得，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，
故选：B．
二、填空题
6．（2025·安徽滁州·三模）计算： ．
【答案】
【知识点】有理数的减法运算、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了有理数减法，求一个数的绝对值，先化简绝对值，然后再算有理数减法即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）在数轴上，到点的距离是的点表示的数是 ．
【答案】或
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】本题考查了数轴上到点距离的问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．分当所求点在左侧和右侧时进行求解即可．
【详解】解：当所求点在左侧时，得；
当所求点在右侧时，得；
故答案为：或．
8．（24-25七年级上·吉林长春·期中）定义计算“”，对于两个有理数a、b，有，则 ．
【答案】2
【知识点】有理数的加减混合运算
【分析】本题主要考查有理数的加减运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意及有理数的加减运算进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
；
故答案为：2．
9．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）若，，三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的有 个．
①；②；③；④
【答案】3
【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题考查利用数轴上的点的位置判断式了的符号，根据数轴上点表示的数，右边点表示的数总是大于左边点表示的数，正确判断a，b，c的符号，以及绝对值大小是解题的关键．
根据数轴上点表示的数，右边点表示的数总是大于左边点表示的数，即可判断a，b，c的符号，到原点的距离即可判断绝对值的大小，再根据有理数的加长减法法则即可作出判断．
【详解】解：根据数轴可知：，且，
∴，故①正确；
，故②正确；
，故③错误；
，故④正确；
故正确的有①②④，共3个，
故答案为：3．
10．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）若，，，则 ．
【答案】或．
【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、绝对值的几何意义
【分析】此题考查了绝对值，有理数的加减法，此题主要用了分类讨论的方法，各种情况都有考虑，不能遗漏．由可得，，或，，代入计算即可．
【详解】，，
或，或，
又，
，
当，时，，
当，时，．
故答案为或．
三、解答题
11．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)6
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算
【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数加减法的运算法则．
（1）根据有理数的加法运算法则求解即可；
（2）根据有理数的加法运算法则求解即可；
（3）根据有理数的减法运算法则求解即可；
（4）根据有理数的减法运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
12．（24-25七年级下·湖北·开学考试）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)3
(2)
(3)
【知识点】有理数加减中的简便运算
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式利用加减法法则变形，计算即可得到结果；
（2）先把减法统一成加法，再按加法法则计算；
（3）原式利用减法法则及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果
【详解】（1）解：
；
（2）解：

；
（3）解：

13．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）某检修小组乘汽车自地出发，检修东西走向的供电线路，向东记为正，向西记为负．一天所走路程（单位：千米）为：，，，，，， ， ．问：
(1)最后他们是否回到出发地？若没有，则在地的什么方向？距离地多远？
(2)若每千米需耗油升，则这一天共耗油多少升？
【答案】(1)没回，在A地东边，距离10千米处
(2)4升
【知识点】有理数加减混合运算的应用、绝对值的其他应用
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用；
（1）根据题意列出算式，进行有理数混合运算，即可求解；
（2）根据题意列出算式，进行绝对值运算，再进行有理数混合运算，即可求解；
理解实际意义，列出算式，并能正确进行理数混合运算及绝对值的意义解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
（），
答：他们没有回到出发地A，在A地的东边，距离A地处．
（2）解：由题意得
（）
（L）
答：这一天共耗油4L．
14．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）现定义某种新运算：对任意两个有理数a、b ，有．如：，．
(1)计算：
(2)计算：
【答案】(1)5
(2)
【知识点】有理数的减法运算、求一个数的绝对值
【分析】本题考查新定义运算，有理数减法运算，绝对值，理解新定义的运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键．
（1）根据新定义的运算，转化成有理数减法运算，计算即可；
（2）根据新定义的运算，将中括号内转化成有理数减法运算计算，再根据新定义的运算，转化成有理数减法运算，计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
15．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，且a与b互为相反数：
(1)判断正负：a______0，_______0，______0；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)＞；＜；＜
(2)8
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据数轴可得，然后利用有理数的减法进行计算，即可解答；
（2）根据相反数的意义可得，可知，然后把字母的值代入式子中进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由图可得,
∴，，．
故答案为：＞；＜；＜；
（2）∵，，
∴，
∵a与b互为相反数，
∴，
∴
∵且，
∴，
∴，
答：的值为8．
16．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为．
【运用】
（1）若，则_____；
【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离．
（2）式子的几何意义为_____；
（3）求的最小值．
【答案】（1）；（2）数轴上表示数a的点与所对应的点的距离；（3）
【知识点】有理数的加减混合运算、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义：
（1）仿照题意可得表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，据此可得答案；
（2），再结合题意即可得到答案；
（3）表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离，据此可得答案．
【详解】解：（1）由题意得，表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，则；
（2）由题意得，表示的是数轴上表示数a的点与所对应的点的距离；
（3）由题意得表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离，
∴当时，有最小值，最小值为．
星期
一
二
三
四
五
六
日
时长变化
0
星期
一
二
三
四
五
六
日（天）
增减/分钟
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化/万人
0
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
合计
200
38
188
458
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次