专题01 幂的运算-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）（原卷版+解析版）

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核心考点聚焦
同底数幂的乘法
幂的乘方与积的乘方
同底数幂的除法
一、同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
二、幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
三、积的乘方
积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
四、同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
五、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
六、负整数指数幂
任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。
难点强化一、幂的运算种的比较大小
1．比较、、的大小（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答．
【详解】解：依题意，，，，
∵，
∴，
故选：C
2．阅读下列解题过程，试比较与的大小．
解：∵ ，，，而，∴．
请根据上述解答过程解答：
若，请比较a、b、c、d的大小．我的结论是：
．
【答案】 d a c b
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，根据题意可得，，
，，再由即可得到答案．
【详解】解：，，
，，
∵，
∴，
故答案为：d；a；c；b．
3．比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴
(1)比较，的大小．
(2)比较，，的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键．
（1）转化为同底数幂，比较指数即可；
（2）转化为同指数，比较底数即可．
【详解】（1）解：，，
∵，
∴，
即；
（2）解：∵，，，
又∵，，，
∴，
∴．
难点强化二、幂的结果为1的分类
1．已知，则的值为（ ）
A．2B．或1C．或1或2D．或2
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论，第一种情况为时；第二种情况根据任何不等于0的数的0次幂都等于1可知且，即可得出答案．
【详解】解：
第一种情况：时，
解得，
第二种情况：且时，，
解得，
或时，，
故选：D．
2．若，则满足条件的的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了零指数幂和1的幂次方，掌握幂等于1的情况是解题的关键．
根据幂等于1的情况分别进行讨论求解即可．
【详解】解：情况一：底数为时，
当时，即．
此时指数，那么，满足条件；
情况二：底数为，指数为偶数时，
当时，即，
此时指数，，不满足条件；
情况三：指数为，底数不为时，
当时，即，
此时底数，那么，满足条件；
综上，满足条件的的值为或，
故答案为：或．
3．若，求的值．
【答案】0或1或
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是：分情况讨论．
分指数为0，底数为1，底数为，三种情况进行讨论，即可求解，
【详解】解：∵，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述：的值为0或1或．
难点强化三、幂的运算的新定义运算
1．我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
归纳类推得：（其中为正整数），
∴，
∴，
故选：D．
2．对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ．
【答案】0或1
【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键．
根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可．
【详解】根据定义， ．
化简得．
因为，分以下三种情况讨论：
情况一：底数为时
当，即时，指数 ，
根据的任何次幂都为， ，满足等式．
情况二：底数为时
当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去．
情况三：指数为时
当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式．
综上，x的值为0或1．
3．规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定填空：___________；___________．
(2)已知，求（用含、的代数式表示）；
(3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算．
（1）根据新定义运算，求解即可；
（2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解；
（3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：，
（2）解：∵
∴
∴
∴
（3）解：∵
∴，
∵
∴
难点强化四、幂的运算种的规律
1.探究与应用
●探究规律：计算下列各式
（1）；（2）；（3）都是正整数）
描述你发现的规律：__________________________________．
●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________．
●验证规律：
请补充上述证明过程．
●应用规律：计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）
【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律；
提出猜想：根据得到的规律即可得到答案；
验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案；
应用规律：根据发现的规律进行计算即可．
【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
提出猜想：根据发现的规律可得：；
故答案为：；
验证规律：；
应用规律：计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）．
2．在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．
（1）探究
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律?
①，
②，
③，
（2）规律
（都是正整数）．
即______．（文字表达）
（3）应用
①计算；
②把看成一个整体，计算．
【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；②
【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键；
（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；
（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；
【详解】（1）①，
②，
③，
故答案为：
（2），
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（3）①；
②
3．观察下列等式：
第个等式为：
第个等式为：
第个等式为：
第个等式为：
根据上述等式含有的规律，解答下列问题：
（1）第个等式为：是
（2）第个等式为：是 （用含的代数式表示），并证明
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【分析】（1）观察前几个等式的规律，即可写出第5个等式；
（2）结合（1）发现的规律即可写出第n个等式．
【详解】解：（1）观察等式可知：第5个等式为：；
故答案为：；
（2）第n个等式为：，
证明：左边右边
等式成立．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是从具体的简单的情形考虑，找出等式中变化的数字与序号数的关系，从而抽象出规律式．
难点强化五、幂的运算种的整除问题
1．证明：能被7整除．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，乘法分配律的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则可得，再根据乘法分配律的逆运算法则可得原式，据此可证明结论．
【详解】证明：
，
∵能被7整除，
∴能被7整除．
2．已知，.
(1)当时，求的值；
(2)当时，且，是整数，试说明的值能被5整除．
【答案】(1)0
(2)见详解
【分析】（1）先计算得到，再把代入即可求解；
（2）先根据得到， 再计算得到变形为，即可证明的值能被5整除．
【详解】（1）解：
当时，
原式；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，且，是整数， 的值能被5整除．
【点睛】本题考查了整式的加减以及幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟知相关知识并根据题意灵活变形是解题关键．
3．已知能被10整除，求证：也能被10整除．
【答案】详见解析.
【分析】把原式化成含有的式子即可．
【详解】
能被10整除，也能被10整除，
能被10整除.
【点睛】本题利用了整除的知识和同底数幂的乘法的逆运算，比较简单．
难点强化六、拓展——复数与对数
1．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如，
①；
②
③；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)化简：；
(3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查新定义运算，公式法因式分解，理解新定义的运算法则是关键．
（1）利用复数的运算法则运算解题；
（2）先根据复数的定义计算，再合并即可求解；
（3）根据复数的定义将所求式子变为，再利用平方差公式因式分解即可；
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：，，；
（2），
；
（3）．
2．先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值： ， ， ， ；
(2)观察（1）中的数量关系，猜想一般性的结论： （），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想．
【答案】(1)2；4；6；6
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案；
（2）根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】（1）∵，
∴；
∵，
∴；
∴，
∵，
∴．
故答案为：2；4；6；6．
（2）．
证明：设，，则，，
故可得，
根据对数的定义：，
即．
【点睛】本题考查整式的混合运算、同底数幂的乘法等知识，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
3．阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．
一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）． 如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
(1)计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式_________________________；
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：
=_________ ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
【答案】(1)2；4；6
(2)
(3)
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律：4×16＝64，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
【详解】（1）解：（1）∵22=4，24=16，26=64
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
【点睛】本题是开放性的题目，借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
真题感知
1．（2024·江苏南京·中考真题）水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可．
【详解】解：
∴一个水分子的质量大约是．
故选：C．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：、，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
4．（2024·江苏宿迁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意．
故选：B．
5．（2024·江苏盐城·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等知识点，熟知相关运算法则是解本题的关键．
根据同底数幂乘法，合并同类项，同底数幂除法，幂的乘方等运算法则分别计算即可得出答案．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，错误，不符合题意；
C、，错误，不符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：A．
6．（2024·江苏连云港·中考真题）下列运算结果等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行计算判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
7．（2024·江苏苏州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】利用同底数幂的乘法解题即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键．