人教A版高二数学选修第一册 第06讲 3.3.2抛物线的简单几何性质（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）（原卷版+解析版）

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知识点01：抛物线的简单几何性质
知识点02：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
【即学即练1】（2024·陕西西安·模拟预测）过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】通过作图，可见直线与抛物线有且只有1个公共点的直线有两类：一类与抛物线对称轴平行，一类与抛物线相切，统计即得.
【详解】
如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点；
当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点.
由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条.
故选:D.
知识点03：直线和抛物线
1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
2、抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
【即学即练2】（2024·云南昆明·模拟预测）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，如果，则 .
【答案】5
【分析】
借助焦点弦公式计算即可得.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
由题意可得，.
故答案为：5.
说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
题型01抛物线的简单性质
【典例1】（23-24高二下·江西·阶段练习）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】联立直线与抛物线方程，消元，由求出，即可得到抛物线方程，从而得到准线方程.
【详解】由，消去整理得，
由，解得或（舍去），
所以抛物线：，则的准线方程为.
故选：A
【典例2】（多选）（2024·河北保定·二模）若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合直线与抛物线的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】当时，直线与只有一个公共点，满足题意，此时的坐标为；
当时，联立方程组，整理得，
由，解得或（舍去），此时对应的的坐标为.
故选：BC.
【变式1】（23-24高二下·广西柳州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的性质得出，求出值，即可得到抛物线的准线方程.
【详解】由题可得，解得：，所以抛物线的准线方程为
故选：A
【变式2】（2024·河南新乡·二模）已知直线与抛物线：的图象相切，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】联立直线与抛物线方程，利用相切有求得，从而得解.
【详解】依题意，联立，消去，得，
则，因为，所以，
故抛物线方程为，则其焦点坐标为.
故选：C.
题型02直线与抛物线的位置关系
【典例1】（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解.
【详解】联立方程组，整理得，
因为直线和双曲线没有公共点，
所以，可得，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
【典例2】（多选）（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】联立直线与双曲线的方程，即可根据方程根的情况求解.
【详解】把直线代入双曲线中，消，得
当，即时，直线与双曲线相交有一个交点
当，，即，时，直线与双曲线相切，有一个交点
的值为，
故选:AD
【典例3】（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【答案】(1)或或；
(2)或
(3)或
【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0；
（2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案；
（3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0.
【详解】（1）联立，
消整理得，（*）
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
所以，整理得
解得： 或或.
（2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，
则，解得；
综上，或.
（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，
所以，
解得： 或.
【变式1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意求出双曲线的渐近线和直线经过的定点，根据定点在双曲线的一条渐近线上知直线与另一条渐近线平行即可求解.
【详解】由题意得，直线过定点，双曲线的渐近线为，
则点在渐近线上，
因为直线与双曲线有且只有一个交点，则直线与另一条渐近线平行，所以．
故选：A．
【变式2】（多选）（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（ ）
A．当时，与只有一个交点
B．当时，与只有一个交点
C．当时，与的左支有两个交点
D．当时，与的左支有两个交点
【答案】ABD
【分析】由题意得直线过双曲线左焦点，比较直线斜率和渐近线斜率即可得解.
【详解】由题意直线过定点，即双曲线的左焦点.
当时，与的渐近线平行，与只有一个交点，
当时，与的左支和右支各有一个交点，
当时，与的左支有两个交点.
故选：ABD.
【变式3】（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
(2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数
【答案】(1)顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为；
(2)答案见解析
【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，确定的值，即可求得答案；
（2）联立直线方程和双曲线方程，结合所得方程的二次项系数以及判别式，即可得结论.
【详解】（1）由题意得，可得，
故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为；
（2）联立方程，消去得，
当或时，
即或时，有1个交点；
当时，即时，有2个交点；
当时，即或时，无交点.
题型03抛物线的弦长
【典例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解.
【详解】由得，，
由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为，
联立与可得，
设，则，故，
因此，当且仅当时取等号，
故选：C
【典例2】（2024·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ．
【答案】6
【分析】将抛物线化为标准形式，得到焦点和准线方程，由焦点弦弦长公式求出答案.
【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为，
设弦中点纵坐标为，
故．
故答案为：6
【典例3】（23-24高二下·吉林长春·开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用焦点坐标和离心率可求得椭圆方程；
（2）分别讨论直线斜率是否存在，联立直线和抛物线方程利用焦点弦公式可得，即得直线方程.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，
因为椭圆的离心率为，即，
所以，，
所以椭圆方程为
（2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意；
所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所：
联立得，
设，则，
根据焦点弦公式可得，
解得，，
所以直线方程为或
【变式1】（2024·重庆·模拟预测）过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设可求得点的纵坐标为，写出直线的方程，与抛物线方程联立，求得点的坐标，最后由抛物线的定义表达式可求出焦点弦的长.
【详解】
如图，，则,在中，，
故，
即点的纵坐标为，代入中，解得，
则，
因，则直线的斜率为，
于是，代入，整理得：，
解得或，即.
故.
故选：C.
【变式2】（2024·内蒙古包头·一模）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 .
【答案】
【分析】由题意求出直线l的方程，联立方程组，由抛物线的焦点弦公式求解即可.
【详解】抛物线的焦点为，
过F且斜率为2的直线l方程为：，设，，
联立得：，则，
所以.
故答案为：.
【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）（1）求圆和圆的公切线
（2）若与抛物线相交，求弦长
【答案】（1）或；（2）1或
【分析】（1）根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解；
（2）将切线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解.
【详解】解：（1）当斜率存在时，设公切线为，
因为与两圆相切，
所以，解得.
切线
当斜率不存在时，也符合题意，
综上：公切线为：或；
（2）当切线和时经检验无交点，
当切线为时，求得弦长为1，
当切线为时，代入，
得：，
由韦达定理得，
所以由弦长公式得：，
，
综上：弦长为1或
题型04抛物线的中点弦和点差法
【典例1】（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解.
【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以，
设，可得，且，
两式相减，可得，
可得，所以直线的方程为，
即.
故选：A．
【典例2】（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 .
【答案】（）
【分析】联立直线于抛物线方程，根据中点坐标公式即可求解.
【详解】设直线的方程为，
联立，
由于，所以，
设,则故
因此，
设， 由于，则，
故的轨迹方程为，（）
故答案为：（）
【典例3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率.
【答案】(1)或.
(2).
【分析】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可；
（2）利用点差法进行求解即可.
【详解】（1）设，由题意可知：，
两边同时平方，
得
所以的方程为或.
（2）由题可知曲线为，
设，，则.
由
得，
所以的斜率为.
【变式1】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程.
【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得
，两式作差可得，
即，所以直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故答案为：
【变式2】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10．
(1)求p的值；
(2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；
（2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果.
【详解】（1）由抛物线的定义得，
故．
（2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点，
设，，，
∴，，
当M，F不重合时，相减整理得，，
∴，即，
当M，F重合时，满足上式．
∴点M的轨迹方程为．
【变式3】（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知圆的圆心是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程；
（2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程.
【详解】（1）圆的方程可化为，
故圆心的坐标为．
设抛物线的方程为()，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
（2）设，，则两式相减，
得，即，
所以直线的斜率．
因为点是的中点，所以，所以．
所以直线的方程为，即．
题型05抛物线的焦点弦
【典例1】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线：，过点作直线．
(1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程．
(2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由求出的值，即可得解；
（2）首先得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式计算可得.
【详解】（1）设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，解得或，
故直线的方程为或；

（2）抛物线的焦点为，则直线的方程为，
设，，
联立，消去得，显然则，
故．

【典例2】（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，且线段的中点为，求．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据点点距离公式即可求解，
（2）根据点差法求解直线的斜率，即可由焦点弦公式即可求解.
【详解】（1）设，则．
由，可得，
整理得的方程为．
（2）设，
因为线段的中点为，所以，
则，则．
所以，
则直线的方程为，显然直线经过点．
由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以．
【典例3】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线：与抛物线：恒有两个交点．
(1)求的取值范围；
(2)当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）将直线方程和抛物线方程联立消元后，根据判别式大于零得到不等式恒成立，运用数形结合法即得.
(2)根据的值确定抛物线方程，两方程联立后再运用焦点弦公式即得.
【详解】（1）将直线与抛物线方程联立，得，
又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以其判别式对恒成立，
故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为.
（2）由题，当时，：，由过焦点得；，所以抛物线：．
将直线与抛物线方程联立，并令，，得，，
由韦达定理得，又因经过抛物线焦点，故．
【变式1】（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知抛物线的焦点为．
(1)求；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．
【答案】(1)4
(2)16
【分析】（1）根据题意，结合抛物线的几何性质，得到，即可求解；
（2）根据题意，得到直线方程为，联立方程组，得到，结合抛物线的焦点弦长公式，即可求解.
【详解】（1）解：由抛物线的焦点为，可得，所以.
（2）解：由（1）知，抛物线的标准方程为
又由斜率为1的直线过点，可得直线方程为，
联立方程组，整理得，
设，可得且，
所以弦长弦长.
【变式2】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为4.
(1)求的方程；
(2)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，求弦长|AB|.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出焦点坐标，设点的坐标，从而根据直线的斜率和三角形面积得到方程组，求出答案；
（2）求出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，根据弦长公式求出答案.
【详解】（1）由题意知，设点的坐标为，
则直线的斜率为．
因为直线的斜率为，所以，即，
所以的面积，

解得或（舍去），故抛物线的方程为．
（2）设点，，其中．

则直线的方程为，由，消去整理得
，显然， ，
故弦长.
【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过其焦点作倾斜角为的直线交抛物线于点，求的长．
【答案】或.
【分析】不妨设抛物线方程为，根据抛物线的几何意义得到抛物线方程，即可得到的方程，联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，最后根据焦半径公式计算可得.
【详解】不妨设抛物线方程为，焦点到准线的距离为，则，
抛物线为：，焦点，准线方程为，直线的方程为，
由消去整理得，即，解得，，
则，，
所以直线与抛物线的交点为和，
所以或.

题型06抛物线的定值、定点、定直线问题
【典例1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上．
(1)求的标准方程
(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标．
【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称，
所以点，在上，
将点代入抛物线得，，即，
所以抛物线的方程为：；
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为，
由消得：，
由韦达定理得，
所以直线，显然恒过定点．

【典例2】（23-24高二上·上海青浦·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图．
(1)求抛物线的方程及点M的坐标；
(2)证明：为定值；
【答案】(1)，或
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式结合条件即得；
（2）求出抛物线的焦点坐标，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用一元二次方程根与系数的关系，结合抛物线定义可证明为定值.
【详解】（1）因为点在抛物线：（）上，点为抛物线的焦点，且，
所以：.
所以抛物线的方程为：，
由，
故点坐标为：或.
（2）由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：，
由，
设，，
则，
由抛物线的定义得：，，
所以：，
即为定值1.
【典例3】（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，.
(1)求的方程；
(2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)点恒在直线上.
【分析】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可；
（2）设直线方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可.
【详解】（1）设.
若直线的倾斜角为，则直线的方程为.
联立得，
则，
且，
所以.
因为，所以，故的方程为.
（2）存在，定直线为.
由题意知直线的斜率存在，
设直线的方程为，.
联立得.
由，得且，
.
不妨设，则，
过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示，
则，.
因为，所以，
整理得，所以.
代入直线的方程得.
因为，所以点恒在直线上.
【变式1】（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是上第一象限内的动点.当直线的倾斜角为时，.
(1)求的方程；
(2)已知点是上不同两点.若四边形是平行四边形，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）过点A作轴的垂线，准线的垂线，结合抛物线的定义可得，即可得和方程；
（2）设直线方程为，联立方程结合韦达定理可得，代入抛物线方程可得，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点，准线，
过点A作轴的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义可得，
因为直线的倾斜角为，则，
可得，解得，
所以的方程为.
（2）设直线方程为，，
联立方程组，消去整理得，
则，
因为四边形是平行四边形，
则，即，
代入中得，整理得，
则直线：，
所以直线过定点.
【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接，设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值0.
【分析】（1）先设点，然后求出切线解析式，根据即可求出结果.
（2）设直线的方程,通过和抛物线联立求出韦达定理，同理求出和抛物线联立的韦达定理，然后代入即可.
【详解】（1）设切点，则在点处切线斜率为，
所以以为切点的切线方程为.
因为切线过点，所以，同理，
所以是方程的两个根，则.
又因为，
所以，即.
又因为，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）
由题意，斜率都存在且不为0，设直线的方程为.
联立直线和抛物线的方程，得，所以.
设，则，同理，
所以
所以，
所以等于定值0.
【变式3】（2024·湖南娄底·一模）若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点.
(1)若，求直线的斜率；
(2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦半径公式得到，求出，从而求出斜率；
（2）法一：，联立抛物线方程，设，得到两根之和，两根之积，得到，求出答案；
法二：设，得到，从而确定，得到，得到答案.
【详解】（1），
，将代入得，，
所以；
（2）法一：设，
，即，
代入，得，
由韦达定理，有，
故，在定直线上.
法二：设，
由题意，，
故，
故，在定直线上.
题型07抛物线的向量问题
【典例1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值.
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）结合题意得出几何关系，由抛物线定义即可得解；
（2）一方面：设，，联立与抛物线的方程，由韦达定理得，设，，同理可得，，结合向量数量积的坐标运算、基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，
如图， ∵，
∴，
又∵不在轴负半轴上，
∴与直线垂直，
又∵，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
∴点的轨迹方程为.
（2）
由得，
∵与交于两点，
∴，
设，，则，
又∵，
∴，
∵的斜率为，
∴直线的方程为，
设，，同理得，，
∴
，
当且仅当即时取到“=”，
∴的最小值为16.
【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点
(1)设直线的方程为，求线段的长
(2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程
(3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，结合抛物线焦点弦长公式可求得结果；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可构造方程求得结果；
（3）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可建立等量关系，得到，由此可得的范围.
【详解】（1）由抛物线方程知：，则直线过焦点，
设，
由得：，，
.
（2）由题意知：直线斜率不为零，可设，，
由得：，则，解得：；
，，
，，，
，
解得：（满足），
直线得方程为：或.
（3）
由题意知：直线斜率不为零，可设，，，，
，；
由得：，则，即，
，，，
由得：，
即，，，
，，即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，本题求解参数范围的关键是能够将已知条件中的向量运算转化为坐标运算的形式，从而将所求变量表示为另一变量的函数的形式，利用函数值域来求得参数范围.
【变式1】（22-23高二上·全国·课后作业）已知抛物线C:的焦点为F，过点的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．
(1)证明:直线BD经过点F；
(2)设，求直线l的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）根据题意求直线BD的方程，结合韦达定理分析运算即可；
（2）根据平面向量的数量积，结合韦达定理分析运算即可.
【详解】（1）由题意可设l的方程为，，则，
联立，消去x得，
则，解得或，
可得，
因为，可得，即，
直线BD的方程为，即，
令，即，得，
所以直线BD经过点F.
（2）由（1）可知：，
因为，
则
解得：，
所以直线l的方程为或.

【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．
【变式2】（2021·江西上饶·三模）已知曲线C在x轴的上方，且曲线C上的任意一点到点距离比到直线的距离都小1．
（1）求曲线C的方程：
（2）设，过点直线与曲线C相交于A、B两点，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设点是曲线C上任意一点，根据题意，列出等式，化简即可；
（2）设出直线的方程，与抛物线的方程联立，根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可.
【详解】（1）设点是曲线C上任意一点，
得，即，
，整理得，曲线C的方程为；
（2）设，设直线，联立得
，
，
，
，
，
，又，解得．
【点睛】关键点睛：运用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
题型08抛物线的三角形问题
【典例1】（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解；
（2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得；
（ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，且，
因为到直线的距离为，故，
则，故双曲线的方程为：．
（2）如图，
（ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程，
消元得，则，
因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原点到直线的距离，
设，，联立，则，
，，，
则，
而，
令，则，
当即时取到等号．
综上所述，的最大值为．
【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解；
（2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由及双曲线的定义知，，即，
所以双曲线的方程为：，其渐近线方程为；
（2）由题意可知，作出图形如图所示
设，由题可知，
联立，
所以，
点到直线的距离，
所以，
令，化简得：，解得：或，
所以或.
【变式1】（2024·江西·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由离心率及顶点到渐近线的距离列方程即可求；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.
【详解】（1）记的半焦距为，由题得的离心率，①
由对称性不妨设的顶点为，渐近线方程为，则，②
又，③
联立①②③解得，，，
所以的方程为．
（2）设，
由得，
所以，
解得，且，
所以，，
所以．
又点到直线的距离，
所以的面积，
解得或，符合式，
所以或．
【变式2】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程与离心率；
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，求的面积．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据点到直线距离公式求出，再根据渐近线方程及，求出，，得到双曲线方程；
（2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积.
【详解】（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为，则，
由一条渐近线方程为，得，而，解得，，
所以双曲线的标准方程为，离心率.
（2）依题意，设直线：，，
由消去y并整理得，显然，
则，，
由，
而，解得，于是，，直线：交y轴于，
又，
所以的面积为.

A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可.
【详解】作出示意图如图所示：

则抛物线的性质，可得，又，
所以可得的倾斜角为，
则可得，
从而.
故选：C.
2．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）抛物线的焦点和准线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准方程，再根据抛物线的性质确定其焦点坐标和准线方程.
【详解】抛物线的标准方程为，
所以抛物线的焦点的坐标为，
抛物线的准线方程为，
故选：C.
3．（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值.
【详解】设点和，设直线方程为，
联立方程：，可得：，
，
线段的长为：，
得，
故选：C.
4．（2023·全国·模拟预测）已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的简单几何性质、直线的斜率求解.
【详解】由抛物线的性质，得，所以，则.
设，则，所以，所以，解得，
所以直线的斜率.
故选:B.
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】D
【分析】求出焦点的坐标，设出A，B坐标，利用的，结合抛物线的定义即可得解.
【详解】由抛物线，可知，准线的方程为，
设，因为，所以，所以，
由抛物线定义知，点到准线的距离为.
故选：D
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】求出焦点坐标为，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，得到，由焦半径得到，，从而得到，利用基本不等式求出的最小值.
【详解】由题意得，焦点坐标为，
当直线斜率不存在时，不满足交抛物线于两点，舍去，
设直线方程为，联立得，，
方程的判别式，
设，
则，，
则，，
其中的圆心为，半径为1，
故，同理可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
7．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（ ）
A．7B．5C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线定义可知，结合图形可的，然后可得所求.
【详解】过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义可知，，
由图知，当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值，
此时点纵坐标为4，代入抛物线方程可得，
则的面积为．
故选：D
8．（2024·陕西·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，过且斜率为的直线与交于两点，为的中点，且于点的垂直平分线交轴于点，四边形的面积为，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】写出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理求出点坐标，然后通过计算得到四边形为平行四边形，进而根据面积公式计算即可.
【详解】由题意可知，，直线的方程为．
设，由．得．
所以，所以．由，得．
如图所示，作轴于点，则．
因为，故，
，又，
故．又，得四边形为平行四边形．
所以其面积为，解得．
故答案为：．
二、多选题
9．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（ ）
A．B．
C．的最小值为6D．的最小值为12
【答案】BD
【分析】先根据题意及直线过定点即可判断A，B；再根据抛物线的性质知直线垂直于轴，取得最小值，进而即可判断C，D．
【详解】对于A，B，由直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确；
对于C，D，当直线垂直于轴，即时，取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确．
故选：BD．
10．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于点，，点为坐标原点，点，在轴上的射影分别为，，点，在轴上的射影分别为，，则（ ）
A．
B．
C．的最小值为7
D．
【答案】ABD
【分析】设直线的方程为，联立方程组，求得，由，可判定A正确；由，可判定B正确；由，结合基本不等式，可判定C错误；由，结合向量的运算，可判定D正确.
【详解】设，，直线的方程为，
联立方程组，整理得，可得，
由，所以A正确；
由，所以，所以B正确；
由，
当且仅当时取等号，所以C错误；
由
，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．（23-24高二下·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 .
【答案】
【分析】联立方程组，结合韦达定理和曲线的弦长公式，列出方程，即可求解.
【详解】联立方程组，整理得，
设直线与曲线的交点为，
可得，解得，且，
由弦长公式，
可得
，
解得.
故答案为：.
12．（23-24高二下·上海·期中）已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ．
【答案】0或
【分析】联立直线与曲线方程，根据方程根的个数，即可结合分类讨论求解.
【详解】联立与可得，
当时，此时方程为，解得，符合题意，
当，由可得，即，
综上可知：直线与曲线只有一个公共点，或，
故答案为：0或
四、解答题
13．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线，定点．
(1)过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求；
(2)求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）根据两点求解直线方程，联立直线与抛物线方程，即可根据焦点弦公式求解，
（2）根据直线是否有斜率，即可根据方程的根即可求解.
【详解】（1）由题意可得，直线的方程为,即，
联立解方程组,可得，
设,,,，则，
，
（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，直线方程为
14．（23-24高三上·西藏日喀则·阶段练习）设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点．
(1)若l的斜率为2，求的值；
(2)求证：为定值．
【答案】(1)5
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用焦点弦长公式，即可求解；
（2）首先设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，并利用韦达定理表示，即可求解.
【详解】（1）过点，且直线的斜率为2的直线为，
设，，
联立，得，，
；
（2）设过点的直线，

联立，得，，
则，
.
B能力提升
1．（2023·天津和平·三模）双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为，设，，在双曲线上可得，联立渐近线与抛物线方程可得进而可得，代入可得，可求的值.
【详解】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为，
由过的焦点，可设，，
又在双曲线上，可得，
由，解得
由过的焦点，
可得，即有，代入，
可得，解得，
则.
故选：C.
2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围.
【详解】设，则，所以
，
因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，
当时显然恒成立，当时恒成立，
所以，则，又，所以，即实数的取值范围为.
故选：B
3．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据圆心求得，设出直线的方程，利用弦长公式求得表达式，进而求得其取值范围.
【详解】圆的圆心为，半径为，
所以，抛物线方程为，
设直线的方程为，
由，消去并化简得，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为.
故答案为：
4．（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．

(1)求证：；
(2)求抛物线的方程；
(3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入抛物线方程即可证明；（2）设，表示出，，利用抛物线的定义，点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于，的方程，求解即可；（3）设过点作直线的方程为：，，，联立方程，由韦达定理得到，，分别表示出，，化简即可得到答案.
【详解】（1）因为点在抛物线上，
所以，化简得，得证；
（2）由，可得，
设，则，，
则，故，
即，
又点在抛物线上，
则，
联立，解得，
所以抛物线的方程为
（3）设过点作直线的方程为：，，

联立，得，
则，，，
则，，
所以，
化简得，
，
化简得：，
所以
课程标准
学习目标
①理解与掌握抛物线的几何性质。
②通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的点、线、面积、周长的相关计算问题。
③会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理。
过本节课的学习，要求掌握抛物线的性质，并能解决与之相关的计算与证明问题
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长