人教A版高二数学选修第一册 第09讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）（8类热点题型讲练）（原卷版+解析版）

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知识点一：弦长公式

（最常用公式，使用频率最高）

知识点二：基本不等式
（当且仅当时等号成立）
题型01求椭圆的弦长
【典例1】（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知椭圆C：（）经过点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求的长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用椭圆经过的点，列出方程组求出即得.
（2）求出直线的方程，利用弦长公式计算即得.
【详解】（1）由椭圆C：经过点，，得，而，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，椭圆的左焦点为，而直线的斜率为，
因此直线的方程为，
由消去y得，显然，设，
则，，
所以.
【典例2】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）已知椭圆．
(1)求实数的取值范围；
(2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆方程的标准方程特征求的取值范围；
（2）由题意求出椭圆方程，直曲联立，利用弦长公式即可求.
【详解】（1）因为表示椭圆，
所以，解得且，
故实数的取值范围是.
（2）因为直线过椭圆的右焦点，
所以，所以，
设椭圆右焦点为，将点代入得，
所以，所以，
所以椭圆方程为，
由得，，
设，，
则，，
所以.
故弦的长为.
【变式1】（2024·广东·二模）已知是椭圆的左顶点，且经过点.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，且，求弦的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件列式计算得解；
（2）联立方程组，由韦达定理将条件式化简得，再根据弦长公式求解.
【详解】（1）依题意可得，
解得，
所以的方程为.
（2）联立，消去得，
则，.
因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立.
由，
解得.
所以，
所以.

【变式2】（23-24高二上·黑龙江大庆·期中）已知椭圆，点是椭圆的弦的中点.
(1)求直线的方程
(2)求弦的长度
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，利用点差法运算求解；
（2）联立方程，利用韦达定理结合弦长公式运算求解.
【详解】（1）已知M是椭圆弦AB的中点，
设，则，
因为，两式相减的，
又因为，可得：，即，
所以直线AB的方程为，即.
（2）联立方程，消去y得：，
可得，，，
所以.
题型02求椭圆的弦长的最值（范围）
【典例1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助椭圆上的点的坐标，的面积与计算即可得；
（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2），故可设，，，
联立，消去可得，
，即，
，，
则
，
则当时，有最大值，且其最大值为.
【典例2】（2024·贵州毕节·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且到的距离分别为，满足，过点作两直线与分别交于两点，记直线与的斜率分别为，且满足.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得关系，再结合点P在椭圆上求得椭圆的标准方程，利用求解即可；
（2）设直线为，得到直线为，联立方程组，结合根与系数的关系，分别求得，利用两点间的距离公式，根据基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意，则，所以，
由椭圆定义知：，又，所以，所以，即，
所以，由点在椭圆上得：，解得，
所以椭圆的方程为.
所以，所以；
（2）由题意直线为，不妨取，则直线为，
联立方程组，整理得，
由，
解得，
又由，可得，则，
同理可得：，，
所以，
，所以，当且仅当即时，等号成立，
因此，的最大值为.

【变式1】（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆：和圆：，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，记动点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程；
(2)若斜率为的直线交轨迹于，两点，求的长度的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）确定圆在圆内，设且对应圆半径为，根据题设及两点距离公式得到关于关系，代入距离公式整理即得轨迹方程；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式建立关系并求出最大值即得.
【详解】（1）依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
显然，即圆在圆内，
设，半径为，显然以为圆心的圆与圆外切，与圆内切，
则有，
则，
所以轨迹的方程为.
（2）由（1）知，轨迹的方程为，设直线的方程为，
由消去y并整理得，
显然，解得，
设，则，
因此，当且仅当时取等号，
所以长度的最大值为.
【变式2】（2023·新疆阿勒泰·一模）在平面直角坐标系中，已知点，点为动点，点为线段的中点，直线与的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若点的横坐标，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设动点，则的中点，根据坐标转化与直线斜率与坐标的关系，整理运算即可得动点的轨迹的方程；
（2）设直线，设，联立直线与椭圆方程即可得交点坐标关系，再根据垂直平分线与轴交于点的横坐标得的范围，从而可求弦长的取值范围.
【详解】（1）设动点，则的中点，所以
则，依题意，，
整理得，又，
故动点的轨迹方程为；
（2）设直线，设，
联立直线与椭圆方程，得，
则恒成立，
所以由韦达定理可得，
可得的中点的纵坐标
的中点为，
线段的垂直平分线方程为，
，由已知条件得：，解得，
，
，，所以.
题型03根据椭圆的弦长求参数
【典例1】（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知椭圆，、分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的任一点，的周长是，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于另一点．已知被圆截得的弦长为，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用椭圆的定义及通经即可求解；
（2）根据已知条件设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理及弦长公式，结合点到直线的距离公式和圆的弦长、半径及弦心距三者的关系，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由椭圆的性质可知，， 解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意知直线l的斜率不为0，由（1）知，
设直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程整理得：
，
，
所以，
圆到的距离，
被圆截得的弦长为得：，解得，
所以,
所以.
【典例2】（23-24高二上·河南开封·期末）已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据离心率和的最小值求出椭圆的方程，根据共焦点得出抛物线的方程；
（2）根据弦长公式和抛物线的定义列出方程求解即可.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，由椭圆的离心率是，得，
因为的最小值为，所以，
所以椭圆的方程为．
因为椭圆的焦点坐标为，椭圆与抛物线有共同的焦点，
所以，所以拋物线的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，不符合条件，舍去．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得，，
．
所以．
联立，得，
，
则，
因为，所以，解得．
所以直线的方程为或．
【变式1】（23-24高二上·天津·期末）已知椭圆方程，左右焦点分别 ，.离心率，长轴长为4.
(1)求椭圆方程.
(2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以，为直径的圆交于C，两点.若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设，的坐标分别为，，由椭圆的几何性质可得，解可得、的值，计算可得的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；
（2）假设存在斜率为1的直线，设其方程为，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系分析，用表示，计算可得的值，分析可得结论．
【详解】（1）根据题意，设，的坐标分别为，，
根据椭圆的几何性质可得，
解得，，则，
故椭圆的方程为．
（2）假设存在斜率为的直线，那么可设为，
则由（1）知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，
圆心到直线的距离，得，即，
则，
联立得，
设，，，，
则，得，故，
，，
，
由可得
解得，得．
即存在符合条件的直线．
【变式2】（23-24高二上·宁夏石嘴山·期中）设椭圆的左､右顶点分别为，离心率．过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)求动点的轨迹的方程；
(3)设直线过椭圆的右焦点与椭圆相交于､两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用椭圆离心率的定义，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）根据，确定，坐标之间的关系，即可求动点的轨迹的方程；
（3）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，计算弦长，根据，可求直线的斜率，从而可求直线的方程．
【详解】（1）由题意可得，，
，，
，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，，
由题意得，即，
代入椭圆得，即．
即动点的轨迹的方程为．
（3）若直线的斜率不存在，则方程为，所以．
所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，
由，得．
因为△，所以．
设，，，，则
所以，
即，
解得．
故直线的方程为或

题型04求双曲线的弦长
【典例1】（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设双曲线，斜率为1的直线l与交于两点，当l过的右焦点F时，l与的一条渐近线交于点，
(1)求的方程；
(2)若l过点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线的性质得到右焦点，由点斜式写出直线方程，由点同时在渐近线和直线上组成方程组，解出即可；
（2）方法一：直曲联立，求出两点坐标，再用两点间距离公式求解弦长；方法二：直曲联立，用韦达定理表示出，再代入弦长公式求解即可.
【详解】（1）的右焦点为，
当l过的右焦点F时，直线l的方程为，
由于点在渐近线上，所以，
由于点在直线l上，
所以，得，
解得，所以双曲线的方程是.
（2）方法一：
因为l过点且斜率为1，故直线，
由得，
即，解得或，
当时，，故，
当时，，故，
所以，
方法二：
因为l过点且斜率为1，故直线，
由得，
即，设，
则，
所以.
【典例2】（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线：
(2)若直线和曲线相交于两点，求.
【答案】(1)，曲线是双曲线，除去左右顶点
(2)
【分析】（1）设，根据计算即可求出其轨迹方程，进而可得出其是何曲线；
（2）利用圆锥曲线的弦长公式计算即可.
【详解】（1）设，
则，
化简得，
所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点；
（2）设，
联立，消得，
，
则，
所以.

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点作倾斜角为60°的直线，该直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率、、焦点坐标求出可得答案；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理利用可得答案.
【详解】（1）由题可得，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）因为双曲线的右焦点的坐标为，
所以经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，
联立，得，
设，，则，，
所以
.

【变式2】（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期末）（1）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求弦长
（2） 已知、分别是双曲线的左右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于M、N两点，求线段的长
【答案】（1）（2）
【分析】（1）直接由抛物线的定义求解即可.
（2）根据弦长公式求解即可.
【详解】（1）

因为椭圆的右焦点坐标为，
抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，
所以，即，所以抛物线方程为，
设抛物线的焦点为，准线为，则，
过作，垂足为，过作，垂足为，
由抛物线的定义知：.
（2）

由双曲线的方程
得，，设
直线的方程为，
将其代入双曲线方程消去y得，，
得，
.
题型05根据双曲线的弦长求参数
【典例1】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程；
（2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果.
【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，
设双曲线的方程（，），
由已知得，，所以，.
所以双曲线方程为.
（2）直线与双曲线C交于A，B两点，且，
联立方程组，得，
当时，设，
，.
所以
令，解得.
经检验符合题意，所以.
【典例2】（23-24高二上·重庆·期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且.
(1)求E的方程；
(2)过的直线交曲线E于M，N两点若，求直线的方程
【答案】(1)
(2)或或.
【分析】（1）根据到其中一条渐近线的距离为1可求出b的值，根据可求出a的值，即可求得答案；
（2）判断直线斜率存在，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，利用双曲线弦长公式结合弦长可求出直线斜率，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知双曲线：的渐近线方程为，
，，
到其中一条渐近线的距离为1，不妨取渐近线，即，
则，
又过且垂直于轴的直线交双曲线于A，B，且，
将代入中，得，
故，
故E的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，其方程为，代入，
得，即，不符合题意；

故直线l的斜率存在，设其方程为，联立，
得，
需满足，且，
设，则，
则
，
即，解得或，
故直线的方程为或，
即或或.
【典例3】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点.
(1)求的离心率；
(2)若直线与交于两点，且，求.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设双曲线方程，由已知点坐标代入待定系数，再由方程确定求出离心率；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理代入弦长公式得关于的方程求解即可.
【详解】（1）由题意，设，
由双曲线经过两点，得，
得，即，则，
所以的离心率为.
（2）设，由，得，
依题意可得，且，即.
由韦达定理得，
所以
，
整理得，解得或.
【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点．
(1)求曲线E的方程；
(2)求实数k的取值范围；
(3)若，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为；
（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于零，
且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的取值范围；
（3）由，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可得结果.
【详解】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以，为焦点的双曲线的左支，且，
由，所以，，所以曲线的方程为.
故曲线的方程为：.
（2）设，，由题意联立方程组，消去得，
又因为直线与双曲线左支交于两点，有，解得 .
故的取值范围为.
（3）因为
，
整理化简得，解得或，
因为，所以，直线的方程为.
故直线的方程为：.
【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解.
【变式2】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知双曲线的焦距长为8.
(1)求的方程；
(2)若，过点的直线交于两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)当时，的方程为；当时，的方程为
(2)或
【分析】（1）由双曲线特点知，得或，分和分类讨论，结合双曲线关系式化简即可求解；
（2）分直线斜率为0和不为零两种情况讨论，当斜率不为0时，设直线，联立直线与双曲线方程，写出关于的韦达定理，由弦长公式可求，进而得解.
【详解】（1）根据已知条件表示双曲线，
可知，解得或.
由双曲线的焦距长为8可知，即.
当时，有，则，此时双曲线的方程为；
当时，双曲线的方程为，有，则，此时双曲线的方程为.
综上所述，当时，的方程为；当时，的方程为；
（2）由（1）可知，当时，双曲线的方程为，其中，.
当直线的斜率为0时，直线为，代入得，则，不适合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线，联立，消去得.
则，
设，，则，.
，解得或，则或.
故直线的方程为或.
【变式3】（23-24高二上·上海闵行·期末）已知双曲线，直线l与交于P、Q两点．
(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；
(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意可得，又因为且，解得，可得双曲线方程，进而可得的渐近线方程．
（2）设直线的方程为：，，，联立直线与双曲线方程，可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，再由两点之间距离公式得，解得，进而由可求出，即可求得离心率.
【详解】（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴，
又∵且，解得，∴双曲线方程为，
∴的渐近线方程为：；
（2）设直线的方程为，且，，
联立，可得，
则，∴，即，
∴，
解得或，即由可得或，
故双曲线的离心率或.
题型06求抛物线焦点弦
【典例1】（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线所过点求得抛物线的标准方程.
（2）写出直线的方程，并与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得.
【详解】（1）抛物线经过点，
设抛物线的方程为，则，
所以抛物线方程为.
（2）抛物线的焦点为，
直线的方程为，
由，消去并化简得，
，所以.
【典例2】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）已知抛物线的焦点为F（2，0）.
(1)求抛物线C的方程；
(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的长.
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据焦点坐标可直接求得的值；
（2）将直线方程与抛物线方程联立可得，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果.
【详解】（1）由题知，，
由焦点的坐标可得，得，
抛物线C的方程为.
（2）由（1）可得抛物线C的方程为，
由题意知直线AB的方程为：，设，，
联立，整理可得：，
，
弦长.
【典例3】（23-24高二上·四川攀枝花·期中）已知抛物线，其焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点到准线的距离为，可求出的值，从而可求出抛物线方程，
（2）由于直线恰好过抛物线的焦点，所以利用焦半径公式可求出
【详解】（1）因为抛物线，其焦点到准线的距离为，
所以，
所以抛物线的方程为
（2）抛物线的焦点，直线过焦点，
设，
由，得，
所以，
所以
【变式1】（23-24高二上·陕西延安·期末）已知抛物线：的准线方程为．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线：交抛物线于、两点，求弦长．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）根据抛物线的准线求得，从而求得抛物线的方程.
（2）联立直线的方程和抛物线的方程，根据根与系数关系求得.
【详解】（1）由抛物线：的准线方程为，得，．
抛物线的方程为．
（2）设，，
由消去，得，则，．
又直线过抛物线的焦点，
．
【变式2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知抛物线，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点，
(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标；
(2)求．
【答案】(1)抛物线C的方程为．焦点坐标为．
(2)8
【分析】（1）根据焦点F到其准线的距离求出，即可求出抛物线C的方程及其焦点坐标.
（2）根据直线l过焦点F且倾斜角为45°，得出直线l的方程，让直线l与抛物线方程联立，消去y，设出A，B两点坐标，根据抛物线的定义即可求出.
【详解】（1）由题意在抛物线中，焦点F到其准线的距离为2，
∴，
∴抛物线C的方程为，焦点坐标为．
（2）由题意及（1）得
在抛物线中，过焦点F且倾斜角为45°的直线l的方程为，
∴联立方程组消去y可得，
设，，则，
∴根据抛物线的定义，．
【变式3】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线过点．
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．
【答案】(1)抛物线，准线：.
(2)
【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求得的方程，由抛物线方程可得准线方程；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.
【详解】（1）过点，，解得：，
抛物线，准线方程为：
（2）由（1）知：抛物线焦点为，
设直线，，，
由得：，，
.
题型07求抛物线中非焦点弦
【典例1】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知点到点的距离比到直线的距离小1，记点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义可知所求轨迹为抛物线，结合条件可写出方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程消元后根据韦达定理可得关系式，结合，可解出方程组，继而利用弦长公式求解即可.
【详解】（1）由题意，到的距离和到直线的距离相等.
故点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故曲线的方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，消去得，
设，
则，
因为，则，
解方程组，可得，或
所以
【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点．
(1)若，求点的坐标；
(2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）利用点是曲线上一点，结合抛物线的定义整理计算即可;
（2）结合题意转化为，借助韦达定理得或，再借助弦长公式计算即可.
【详解】（1）由抛物线，可得焦点为，
由抛物线的定义可得，
而，所以，解得或.
当时，;当时，.
所以点的坐标为或.
（2）设，联立方程，得，
所以，即,
且
由题知，，
整理得，
即，解得或，
当时，；
当时，.
综上所述：弦长的值为或.
【变式1】（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的焦半径公式即可求解，
（2）根据点差法求解斜率，即可得直线方程，进而联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据弦长公式即可求解.
【详解】（1）由题可知，，解得，
故抛物线C的方程为.
（2）设，，则，
两式相减，得，即.
因为线段AB的中点坐标为，
所以，则，
故直线l的斜率为2.
所以直线l的方程为：.
联立直线与抛物线方程，得，
由韦达定理可得，.
由弦长公式得
.
【变式2】（23-24高二上·四川南充·期末）已知曲线上任一点到的距离等于它到直线的距离．
(1)求曲线的方程；
(2)直线与抛物线相切于点，且与曲线交于两点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设曲线上任意一点，再根据题意建立方程，化简即可求出结果；
（2）根据题设求出直线直线的方程，联立，消得，再利用弦长公式即可求出结果.
【详解】（1）设曲线上任意一点，
由题有，化简得到，
所以曲线的方程为.
（2）因为直线与抛物线相切于点，
设直线的方程为，，
由，消得到，
所以，即，得到，
所以直线的方程为，
由，消得，所以，
则，
所以，
所以.
题型08根据抛物线弦长求参数
【典例1】（23-24高二下·上海静安·期末）（1）请写出由拋物线的定义推导抛物线的标准方程的过程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且，求的值．
【答案】（1）答案见解析（2）
【分析】（1）首先写出抛物线的定义，然后利用等量关系建立方程，化简即可.
（2）联立方程组后利用弦长公式建立方程，求解参数即可.
【详解】
（1）抛物线定义：平面上到定点和到定直线(不在上)距离相等的点的轨迹.
如图，抛物线的顶点为原点O，以向量的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系.
设焦点到准线的距离
则焦点F的坐标是准线l的方程为
设为抛物线上任意一点，点P到直线l的距离为d，
则
由抛物线定义知于是有
化简得得证.
（2）设点联立直线与抛物线的方程
求得方程根据韦达定理可知
由已知得有即解得或 (舍).
故的值为1.
【典例2】（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与C的两个交点为P，Q．
(1)求C的方程；
(2)将向上平移5个单位得到与C交于两点M，N．若，求值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线与轴交点得焦点，待定可得方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于的方程，求解可得.
【详解】（1）抛物线的焦点在轴上，
直线，令，得，则焦点，
所以，即，
所以抛物线的方程为；
（2）直线向上平移5个单位得到，
由，消得，
设直线与交于两点，
则，且，
，
由，化简整理得，
解得（舍）或，
所以.
【典例3】（23-24高二上·黑龙江·期末）(1)若双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，求此双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交曲线于A，B两点，若，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）求得椭圆的焦点，可设双曲线的标准方程为，，进而由渐近线可求得的关系，即可求双曲线的标准方程；
（2）设出直线l的方程，与抛物线的方程联立，然后利用抛物线的定义求出焦点弦，即可列出关于k的方程，求解即可得到答案．
【详解】（1）记椭圆方程为，则，，
所以，所以，所以椭圆的焦点坐标为，.
由已知可设双曲线的标准方程为，且，
双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以，则，
又，即，所以，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由已知可得，曲线轨迹为抛物线，，且是抛物线的焦点，
设，，则由抛物线的定义可知，，.
当直线斜率不存在时，直线方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线的方程为，
设，，
联立直线与抛物线的方程，可得，
，
当时，可得，设，则，此时不满足，
所以，则恒成立.
由韦达定理可得，，又，，
所以，
所以，即，解得.
当时，直线的方程为，即；
当时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
【变式1】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）已知点在抛物线上，且点到点的距离与点到轴的距离之差为2.
(1)求的方程；
(2)当点的纵坐标为4时，过点作两条直线分别交于两点（均异于点），且直线的斜率与直线的斜率互为相反数，，求直线的一般式方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据抛物线定义可得，即可得抛物线方程；
（2）由题意，两点式求直线、的斜率且求直线斜率，设直线的方程并联立抛物线，结合弦长求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）由题意得的焦点为，准线为直线.
因为点到点的距离与点到直线的距离相等，
所以，即，故的方程为.
（2）由题意，同理得.
由，得，
则.
设直线的方程为，即，
由，得，则，得，
由韦达定理得，
所以，得.
故直线的方程为，即.
【点睛】关键点点睛：第二问，利用两点式表示出直线、的斜率，根据求得，进而确定斜率为关键.
【变式2】（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线上的点到焦点F的距离为4．
(1)求C的方程；
(2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式列出等式，即可求出的值；
（2）设出直线的方程，讨论斜率存在和不存在的情况，联立直线方程和抛物线方程，利用焦点弦长公式即可得到结果.
【详解】（1）由题意得：，解得，
所以抛物线的方程为
（2）因为，
当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，
当时，，此时，不合题意，舍去；
则直线l的斜率存在，设直线方程为，，
与抛物线方程联立，消去得，
因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点，
由韦达定理得，
所以弦长，
解得，即，
所以直线l的方程为：.
【变式3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨迹为曲线C.①点P到的距离比P到y轴的距离大；②过点的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径.在①和②中选择一个作为条件.
(1)选择条件：________，求曲线C的方程；
(2)设直线与曲线C相交于M，N两点，若，求实数k的值.
【答案】(1)选①：或选②：
(2)
【分析】（1）选①：设点的坐标，由题意建立方程，化简即可求得曲线C的方程；
选②：过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，通过中位线的性质求得，则，利用抛物线定义求解曲线C的方程.
（2）将直线与抛物线联立，韦达定理，然后利用弦长公式建立方程求解即可.
【详解】（1）选①：设，由题意，即，
整理可得，即或，
所以曲线C的方程为或.
选②：过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，
设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，
在梯形OFPH中，由中位线性质可得，
所以，又，所以，
由抛物线的定义知，点P是以为焦点的抛物线，
所以曲线C的方程为.
（2）设，，将代入，
消去y整理得.
当时，，,
，
化简得，解得，经检验，此时，故.