第15讲 抛物线的几何性质讲义（原卷版+教师版）暑期预习衔接 人教A版高二数学选修第一册

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编号
学 科
数学
年 级
课题名称
内容
第22讲 抛物线的简单几何性质
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．依据抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质；
2．能解决与抛物线的简单几何性质相关的简单问题；
3．能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题.
知识点 1 抛物线的几何性质
1、抛物线的几何性质
（1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点．
（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，．
2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较
标准方程
图形
范围
对称轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径
知识点 2 焦半径公式
1、焦半径的定义
设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，．
2、用坐标表示焦半径公式
（1）抛物线，．
（2）抛物线，．
（3）抛物线，．
（4）抛物线，．
【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单．
知识点 3 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率存在.
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数．
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．
3、直线与抛物线相交弦长问题
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．
（2）中点弦斜率：,
推导：由题意，知，① ②
由①-②，得，故，即.
（3）中点弦直线方程：直线的方程为．
知识点 4 抛物线的焦点弦性质
1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦．
2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，
根据抛物线的定义有，，
故.
又因为是梯形的中位线，所以，
从而有下列结论；
（1）以为直径的圆必与准线相切.
（2）(焦点弦长与中点关系)
（3）.
（4）若直线的倾斜角为，则.
（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.
（6）为定值.
考点一：由抛物线方程研究几何性质
例1．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（ ）
A．4B．2C．D．1
【答案】A
【解析】把代入抛物线方程中，得，
因为该抛物线的对称轴为纵轴，
所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，故选：A
【变式1-1】（23-24高二上·山东·月考）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（ ）
A．B．1C．2或4D．4或36
【答案】D
【解析】因为是上一点，所以，所以，
由抛物线的定义可得到的距离为，
点到的对称轴的距离为，
则，解得或.故选：D.
【变式1-2】（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，
另外两个顶点在抛物线上，
可设另外两个顶点的坐标分别为，
，解得，
故这个等边三角形的边长为.故选：A.
【变式1-3】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，且，到准线的距离为，
则，解得，
则，，.故选：A
考点二：由几何性质求抛物线的方程
例2.（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】抛物线的开口向上，
由于在上，且，
根据抛物线的定义可知，
所以抛物线的方程为.故选：A
【变式2-1】（23-24高二上·云南昭通·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因抛物线上一点，所以，
因此抛物线的准线方程为：，
由抛物线上一点到其焦点的距离等于3，
故根据抛物线定义得：，解得.故选：A.
【变式2-2】（23-24高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设抛物线方程为.设，
由题意得，，解得，，
取点A在x轴上方，故，代入抛物线中，
则有，解得，
所以抛物线方程为.故选：C
【变式2-3】（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为12的正三角形.则抛物线的方程为 .
【答案】
【解析】由是周长为12的等边三角形，得，
又由抛物线的定义可得.设准线与轴交于，则，
从而，
在中，，即.
所以抛物线的方程为.
故答案为：
考点三：直线与抛物线的位置关系
例3.（23-24高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线的对称轴平行，
故直线与抛物线只有一个公共点．故选：B.
【变式3-1】（23-24高二下·江西·月考）直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，消去整理得，
由，解得或（舍去），
所以抛物线：，则的准线方程为.故选：A
【变式3-2】（23-24高二下·上海·月考）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）条
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意；
当直线斜率时，易知满足条件；
当直线斜率存在且时，设直线方程为，
由，整理得到，
由，解得.
综上所述：满足条件的直线有条.故选：D
【变式3-3】（23-24高二上·北京西城·月考）“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】联立与得，，
当时，，只有一个根，满足要求，
当时，令，解得，
故直线与抛物线有唯一公共点”时，或，
故是“直线与抛物线有唯一公共点”的充分不必要条件.故选：A
考点四：直线与抛物线焦点及弦长
例4.（23-24高二下·湖南邵阳·期中）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于M，N两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，
联立，消去可得：，解得,
不妨令,则,
故．故选：C.
【变式4-1】（23-24高二下·湖南·月考）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，，
直线与抛物线在第一象限交于点
，解得或，
由于在第一象限，故的横坐标为1，则.故选：B
【变式4-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）过抛物线焦点的直线交于，两点，线段中点M到轴距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，由抛物线，得，
设，，
由线段中点M到轴距离为，
可知，所以，
又由抛物线定义可知，故选：B.
【变式4-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）已知直线过抛物线的焦点，与相交于两点，且．若线段的中点的横坐标为3，直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】抛物线的焦点，如图1，令，
由，可得，
又，则，则，此时抛物线，其焦点．
由题意可得直线的斜率存在，则其方程可设为，
由整理得，则
则，即，
即，解得．
故答案为：.
考点五：抛物线的中点弦问题
例5.（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A．B．2C．或2D．以上都不是
【答案】B
【解析】设，因为中点的横坐标为，则，
可得，
又由，两式相减得到，可得，
可得，解得或，
联立方程组，整理得，
由，解得，所以.故选：B.
【变式5-1】（23-24高二上·河北邯郸·期中）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，线段中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由抛物线得焦点，
设，，则，
两式相减得，即，
因为线段中点的纵坐标为1，即，
所以，即，
所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点，
所以到直线的距离，故选：A．
【变式5-2】（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得
，两式作差可得，
即，所以直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故答案为：
【变式5-3】（23-24高二上·重庆·月考）已知点P到的距离与它到x轴的距离的差为4，P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于A，B两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率.
【答案】(1)或；(2).
【解析】（1）设，由题意可知：，
两边同时平方，得
所以的方程为或.
（2）由题可知曲线为，
设，，则.
由得，
所以的斜率为.
考点六：抛物线的综合应用
例6.（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点
(1)求C的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K，
易知为等腰直角三角形，且，
所以焦点到准线的距离为2，即，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）可得，，
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即的方程为，
联立可得，
所以
所以，
又点到直线AB的距离，
所以的面积.
【变式6-1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上．
(1)求的标准方程
(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称，
所以点，在上，
将点代入抛物线得，，即，
所以抛物线的方程为：；
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为，
由消得：，
由韦达定理得，
所以直线，显然恒过定点．
【变式6-2】（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知，
点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线，
故点P的轨迹C的方程为：．
（2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：．
由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设，
由得：，，
设，，则，．
所以，，故即．
【变式6-3】（23-24高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意点为抛物线：的焦点，
点在抛物线上，且，得，解得，
故抛物线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
由，得，，.
，
，即直线关于x轴对称，故.
1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】B
【解析】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离，
即.故选：B.
2．（23-24高三上·湖北·期末）抛物线的方程为，过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】显然直线的斜率存在，设其方程为，，
由消去y并整理得，则，
所以.故选：C
3．（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线与抛物线交于 两点，则 （ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【解析】联立，消去可得，
设，，所以，
又因为抛物线 的焦点在直线上，.故选：B.
4．（23-24高二下·安徽·月考）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于P，Q两点，若，则直线l倾斜角的正弦值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】
过P，Q分别作，垂直于准线，垂足分别为，，过Q作，垂足为R，
设，则，，．故选：A.
5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．1条、2条或3条
【答案】C
【解析】联立直线和抛物线方程可得，
整理可得，
直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根，
当时，方程为仅有一解，符合题意；
当时，一元二次方程仅有一解，
即，解得，
所以满足题意得直线有三条，即，和.故选：C
6．（23-24高三下·安徽·月考）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】设，
则两式相减，可得，
所以，即，
所以，所以，
代入直线，得，
所以，所以，解得.故选：B
二、多选题
7．（23-24高二上·河北邢台·月考）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线没有离心率
B．抛物线的离心率为1
C．若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切
D．抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点
【答案】BD
【解析】抛物线上的点M到焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫作抛物线的离心率，
所以由抛物线的定义可知抛物线的离心率为1，故A不正确，B正确；
若直线与抛物线的对称轴平行，则直线与抛物线也只有一个交点，
此时直线与抛物线相交，所以C不正确；
抛物线有且仅有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，所以D正确．故选：BD.
8．（23-24高三上·重庆·月考）设抛物线C: 的焦点为F， 准线为. 点A，B是抛物线C上不同的两点，且，则（ ）
A． B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值D．线段的中点 E 到准线的距离为定值
【答案】AD
【解析】依题意，抛物线的焦点，方程为，则，A正确；
令，显然，即，
取，则，即点，此时，
以线段为直径的圆的圆心为，该圆心到准线的距离为4，不等于圆半径，
因此该圆与准线不相切，B错误；
以点为端点的线段长，当直线垂直于x轴时，，
此时，C错误；
线段的中点E的横坐标为3，点E到准线的距离为，D正确.故选：AD
三、填空题
9．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则
【答案】/
【解析】由题意，四边形为菱形，则，且
由抛物线定义知：，故为等边三角形，
由对称性不妨设直线，
与联立得，
设，则，
故.
故答案为：
10．（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 .
【答案】（）
【解析】设直线的方程为，
联立，
由于，所以，
设,则故
因此，
设， 由于，则，
故的轨迹方程为，（）
故答案为：（）
11．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 .
【答案】或
【解析】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求，
当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得，
，
令，解得，
故，即.
故答案为：或
四、解答题
12．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线，定点．
(1)过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求；
(2)求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程．
【答案】(1)；(2)或或
【解析】（1）由题意可得，直线的方程为,即，
联立解方程组,可得，
设,,,，则，
，
（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，直线方程为
13．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）抛物线：的焦点关于其准线的对称点为，
于是，解得：，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，直线的方程为，设，，
由消去x得：，则，
所以的面积.