人教A版高二数学选修第一册 第04讲 3.2.2双曲线的简单几何性质（知识清单+12类热点题型讲练+分层强化训练）（原卷版+解析版）

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知识点01：双曲线的简单几何性质
【即学即练1】（2024·陕西铜川·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
知识点02：等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
【即学即练2】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
知识点03：直线与双曲线的位置关系
1、代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
【即学即练3】（2024高三·全国·专题练习）若过原点的直线l与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
知识点04：弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
知识点05：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
【即学即练4】（2024·湖南衡阳·模拟预测）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
知识点06：双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
【即学即练5】（23-24高二上·福建莆田·期末）给定双曲线．过的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程．
题型01由双曲线的方程求几何性质
【典例1】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2024·全国·一模）已知双曲线的渐近线上有一点，是双曲线的两个焦点，且点在以为直径的圆内，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）指出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、焦点及离心率．
【变式1】（23-24高三下·全国·开学考试）在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点､，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围( )
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（ ）.
A．有相同的焦距B．有相同的焦点
C．有相同的离心率D．有相同的渐近线
【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）双曲线的右焦点坐标为 .
题型02根据双曲线几何性质求其标准方程
【典例1】（23-24高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024高二上·全国·专题练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（多选）（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（23-24高三上·浙江宁波·期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
题型03双曲线的渐近线问题
【典例1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，且是一个直角三角形，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2024·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 .
【变式1】（2024·河北石家庄·三模）已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·山东威海·二模）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（23-24高三下·江西·阶段练习）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
题型04双曲线的离心率问题（定值）
【典例1】（2024·湖南长沙·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【典例2】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ．
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．2D．
【变式2】（2024·四川雅安·模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线l，垂足为M，若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 .
【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ．
题型05双曲线的离心率问题（最值或范围）
【典例1】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：的右支上存在，到点的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【变式1】（江苏省盐城市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为 ．
题型06根据双曲线的离心率求参数
【典例1】（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知双曲线的离心率，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）焦点在x轴上的双曲线的离心率为2，则的值为（ ）
A．3B．C．D．或3
【典例3】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知双曲线的离心率，则 .
【变式1】（23-24高二上·河北邢台·期中）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高一上·江苏连云港·期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024高二·全国·专题练习）双曲线的离心率为，则实数m的值为（ ）
A．B．2C．D．3
题型07直线与双曲线的位置关系
【典例1】（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【典例2】（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
【典例3】（2024高三·全国·专题练习）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ．
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）若直线y＝kx与双曲线相交，则k的取值范围是 ．
【变式3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 .
题型08弦长问题
【典例1】（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，且，求直线的方程．
【典例3】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为
(1)求C的标准方程；
(2)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求
【变式1】（23-24高二下·北京·开学考试）已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 .
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长．
【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上．
(1)求直线，的斜率之积；
(2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值．
题型09三角形面积问题
【典例1】（2024·河北·模拟预测）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（ ）
A．B．4C．D．8
【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 .
【典例3】（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积．
【典例4】（23-24高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（ ）
A．1B．2C．D．4
【变式2】（23-24高二上·天津北辰·期末）设双曲线：的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则的面积为 .
【变式3】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若，求的面积．
【变式4】（23-24高二下·新疆和田·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点
(1)求双曲线的方程；
(2)求的面积.
题型10中点弦和点差法
【典例1】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线与双曲线交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【典例3】（2024·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率.
【变式1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24高二下·湖南株洲·开学考试）双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程．
【变式3】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
题型11双曲线的定点、定值、定直线问题问题
【典例1】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上.
(1)求的方程；
(2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【典例2】（2024·上海·三模）设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【典例3】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【变式1】（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
【变式2】（2024高三下·四川成都·专题练习）已知双曲线的焦距为，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线与C的右支交于两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为.
①求的取值范围；
②求证：直线过点．
【变式3】（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上．
题型12双曲线中的向量问题
【典例1】（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时，求的值．
(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．
【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.
(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；
(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;
【变式1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
【变式2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
4．（2024高三上·全国·专题练习）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（ ）
A．1B．1
C．1D．1
5．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则曲线的离心率
B．若，则曲线的离心率
C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则
D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·湖南·模拟预测）已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·河北保定·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ）
A．B．
C．的离心率为D．直线的斜率为
10．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围是B．的焦点可在轴上也可在轴上
C．的焦距为6D．的离心率的取值范围为
三、填空题
11．（2024·北京·三模）已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ．
四、解答题
12．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
13．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）已知点在双曲线：（）上.
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
B能力提升
1．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，右焦点是，点是双曲线右支上异于顶点的动点，的平分线与直线交于点，过作轴，垂足是，若恒成立，则双曲线的离心率为 ．
3．（23-24高二下·浙江·期中）已知，且，点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上．
（ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值；
（ⅱ）若，求面积的取值范围．
4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．课程标准
学习目标
①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。
②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。
通过本节课的学习，要求掌握双曲线的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用双曲线的几何性质解决与双曲线有关的点、弦、周长、面积等问题
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
a，b，c间的关系