（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末复习 专题强化练习03 抛物线的标准方程及几何性质提升必刷题（含答案）

这是一份（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末复习 专题强化练习03 抛物线的标准方程及几何性质提升必刷题（含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
3．某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（ ）．
A．B．C．D．
5．已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A．B．C．4D．8
6．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）
A．4B．3C．D．
8．设抛物线的焦点为F，抛物线C上的两点A，B位于x轴的两侧，且（O为坐标原点），若与的面积分别为和，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（ ）
A．8B．12C．D．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．当，时，抛物线的方程为（ ）．
A．B．C．D．
11．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
12．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题
13．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
14．已知点是抛物线的焦点，是经过点的弦且，的斜率为，且，两点在轴上方.则下列结论中一定成立的是
A．B．若，则
C．D．四边形面积最小值为
15．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
16．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为D．的面积为4
17．设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为6
C．存在直线，使得、两点关于对称
D．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
18．已知抛物线E：的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段上，点P为A在l上的射影．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若P，B，F三点共线，则
C．若，则D．对于任意直线m，都有
三、填空题
19．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
20．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
21．已知双曲线：（，）与抛物线：（）有共同的一焦点，过的左焦点且与曲线相切的直线恰与的一渐近线平行，则的离心率为___________.
22．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
23．已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.
24．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则此抛物线的方程为__________．
四、解答题
25．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.
26．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
27．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
28．已知抛物线C；过点．
求抛物线C的方程；
过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．
29．已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（1）求,的值：
（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积．
30．已知抛物线T：（）和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交椭圆C于M，N两点.
(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；
(2)若恰好被平分，求面积的最大值
参考答案：
1．D
【分析】根据抛物线的性质进行求解即可.
【详解】由可知该抛物线的焦点坐标为，设，准线方程为，
设，垂足为，
因为点是抛物线上一动点，
所以点到抛物线准线的距离等于，当三点在同一条直线上时，点到点的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为，
故选：D
2．C
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由抛物线的定义可知，，所以．
故选：C.
3．B
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，则由题意可得，代入抛物线方程求出，从而可求得焦点坐标，进而可求得答案
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为，，
设轴截面所在的抛物线的标准方程为，
由已知条件，得点，所以，解得，
所以所求焦点坐标为，
因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为．
故选：B
4．D
【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，求出的值，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．
【详解】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：
在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
故选：D．
5．C
【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切即得．
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
抛物线的准线为，
所以，
∴，
故选：C.
6．C
【分析】由抛物线的定义可求出的值，进而确定点的坐标，再结合双曲母的的几何性与两条直线的垂直关系，可求出的值，从而可求出双曲线的方程
【详解】设抛物线的焦点为，则抛物线的定义可得，解得，
所以抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，
所以，得，
所以，
由题意得，双曲线的渐近线方程为，
因为离心率为，所以，
所以，得，
因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
所以，得，
所以由，得，
所以双曲线的方程为，即，
故选：C
7．D
【分析】根据抛物线的定义，得到点到焦点的距离等于到准线的距离，得到，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，
可得，解得
故选：D.
8．B
【分析】根据数量积求得，结合图形用坐标表示出面积，然后由基本不等式可得.
【详解】点A，B位于x轴的两侧，且在抛物线上，
不妨设，
由题知，解得，或（舍去），
记l为抛物线的准线，交x轴于点D，过A、B作l的垂线，垂足分别为M、N，
由抛物线定义可知：，
则
所以
又，所以
当且仅当，即时，取等号.
故选：B
9．C
【分析】过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，进而根据几何关系得为等边三角形，，再计算面积即可.
【详解】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，
所以，，．
因为，
所以，，．
所以，．
又因为，
所以，所以为等边三角形，
所以．
若在第三象限，结果相同．
故选：C
10．D
【分析】根据焦半径公式可得，结合点斜式与两直线垂直的关系可得，进而联立求解可得.
【详解】设，，．①
中垂线方程为，令有，解得．②
由①②解得．
故选：D
11．C
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C
12．A
【分析】由题意确定点C,F的坐标，代入抛物线方程，整理可得，即可求得答案.
【详解】由题意，得点的坐标为，点的坐标为，
∵，两点都在抛物线上，∴，
即，即，解得或，
又，∴,
故选:A
13．BCD
【分析】根据抛物线方程的标准形式求出焦点可判断A；由抛物线的性质可判断B、C；利用抛物线的焦半径公式可判断D.
【详解】易知点的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；
若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，
为，即，选项C正确，
抛物线的焦点为，准线方程为，
过点，，分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，
所以，．
所以，
所以线段，
所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．
故选：BCD
14．AC
【分析】先由的斜率为，，得到，设，，的方程为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到
再由抛物线的焦点弦公式求出，，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为的斜率为，，所以，
设，，的方程为，
由可得，，
，
所以，
同理可得
则有，所以A正确；
与无关，同理，故，C正确；
若，由得
，解得，故B错；
因为，所以四边形面积当且仅当，即时，等号成立；故D错；
故选AC
【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型.
15．ACD
【分析】先求出，选项A求出点的横坐标为，判断选项A正确；选项B求出抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，判断选项B错误；选项C先判断外接圆的圆心的横坐标为1，再判断外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项C正确；选项D直接求出的周长为，判断选项D正确.
【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，，则，
因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，
选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；
选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；
选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；
选项D：因为的周长为，所以选项D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查抛物线的定义的几何意义，双曲线的通径长，
16．AC
【解析】A．根据抛物线性质，结合角度之间的关系，求解出的度数；B．利用抛物线的焦半径结合，判断为等腰直角三角形的可能性；C．根据，设出直线方程完成直线斜率的求解；D．取直线的方程，联立抛物线方程求解出的值，根据求解出三角形面积.
【详解】过点向准线作垂线，垂足为，，设，
如下图所示：
A．因为，所以，
又因为，所以，所以平分，
同理可知平分，所以，故结论正确；
B．假设为等腰直角三角形，所以，
所以四点共圆且圆的半径为，
又因为，所以，
所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；
C．设直线的方程为，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；
D．取，由上可知，所以，
所以，故结论错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质的综合应用，对于图形分析和计算能力要求较高，难度较难.抛物线焦点弦的性质的另一种表示形式：过抛物线焦点的直线的倾斜角为，焦点弦与抛物线的交点为(在轴的上方，在轴的下方)，此时，.
17．BD
【解析】根据得到故，错误，，正确，计算中点在抛物线上，错误，计算，正确，得到答案.
【详解】，故，，故，错误；
过作垂直于准线于，则，当共线时等号成立，故正确；
设，，设中点则，，
相减得到，即，故，故，点在抛物线上，不成立，故不存在，错误；
如图所示：为中点，故，故为直径的圆与轴相切，故正确；
故选：.
【点睛】本题考查了抛物线方程，最值，对称，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.
18．BCD
【分析】解法一：设出直线方程，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理与抛物线的定义进而逐项分析即可，其中D选项需要结合均值不等式；解法二：对A选项首先假设，然后推出矛盾即可判断，B，C，D选项则同解法一一样.
【详解】解法一：由已知条件可得
由抛物线的对称性，不妨设直线的方程为
依题意，由整理，得
当，即时，由韦达定理，
得.
对于选项，因为直线的斜率为，
所以，即
又，所以，解得，所以
所以，
故，故错误；
对于选项，易得，所以
当三点共线时，，
所以
由和，解得，
所以故正确
对于选项，过作，垂足为由已知可得，
所以.
又，所以.
由抛物线的定义，得
因此故正确；
对于选项，因为，
所以，又，
故成立.故正确.
故选：BCD.
解法二：对于选项，假设成立，则为等腰直角三角形，
，所以为等腰直角三角形，则点在轴上，这与已知条件显然矛盾，故
故错误，其他选项同解法一进行判断.
故选：BCD.
【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系一般需要设出直线方程，然后与抛物线联立，进而利用根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
19．
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
20．
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
21．
【分析】由题意可得过左焦点的直线为，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去，由可求得，再由直线与抛物线的渐近线平行，可得，进而可求出双曲线的离心率
【详解】由题意得，双曲线右焦点为，则，
由双曲线的方程得其渐近线方程为，
设过左焦点的直线为，
由，得，
因为直线与抛物线相切，所以，
即，解得，
因为直线与抛物线的渐近线平行，所以，
所以，
故答案为：
22．2
【分析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】详解：设
则
所以
所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,
，
因为M’为AB中点，
所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)
所以，则即
故答案为2.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．
23．
【分析】设抛物线的方程为得到，把代入椭圆的方程化简即得解.
【详解】
设抛物线的方程为.
由题得，代入椭圆的方程得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（根据已知求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到关于离心率的方程解方程即得解）. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
24．
【分析】根据抛物线的定义可得，是等边三角形，由的面积为可得从而得进而可得结果.
【详解】因为以为圆心，为半径的圆交于两点，，
由抛物线的定义可得
，
是等边三角形，
，
的面积为，
到准线的距离为
此抛物线的方程为，故答案为.
点睛：本题主要考查抛物线的标准方程、定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
25．（1），；（2）
【解析】（1）因为在抛物线上，可得，由抛物线的性质即可求出结果；
（2）由抛物线的定义可知，根据点斜式可求直线的方程为 ，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积.
【详解】（1）∵在抛物线上，，
∴点的坐标为，抛物线的准线方程为；
（2）设 的坐标分别为，则，
，∴直线的方程为 ，
点到直线的距离，
.
【点睛】本题主要考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.
26．（1）；（2）.
【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立得：
则
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则
，
，
则
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
27．（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
28．（1）．（2）见解析．
【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；
（2）设过点P（3，﹣1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．
【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为．
（2）设，，直线MN的方程为，
代入抛物线方程得．
所以，，．
所以,
所以，是定值．
【点睛】求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
29．（1）；（2）.
【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出，；
（2）设直线方程为，联立直线与圆的方程可以求出，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．
【详解】（1）焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），
，解得，＝1，＝1，
（Ⅱ）由已知，可设直线方程为，，
联立得，易知△＞0，则
＝＝
＝
因为，所以＝1，解得
联立 ，得，△＝8＞0
设，则
【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．
30．(1)4
(2)．
【分析】（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得的值；
（2）设直线方程为，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值．
（1）
在椭圆中，， 所以，；
（2）
设直线方程为，代入抛物线方程得，
设，中点为，则，，
，，
设，则，两式相减得，
所以，，，
所以，解得，
点在椭圆内部，所以，得，
因为，所以或，
，
时，，时，，
所以面积的最大值为．
【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．