人教A版高二数学选修第一册 第07讲 拓展一：中点弦问题（5类热点题型讲练）（原卷版+解析版）

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知识点01：相交弦中点（点差法）：
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
知识点02：点差法：
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
题型01求直线方程
【典例1】（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 .
【典例3】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ．
【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．
【变式3】（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为是上的点，且.
(1)求的方程；
(2)已知直线交于两点，且的中点为，求的方程.
题型02处理存在性问题
【典例1】（23-24高三上·福建福州·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
【典例2】（23-24高二上·河南·期中）已知双曲线M：与抛物线有相同的焦点，且M的虚轴长为4.
(1)求M的方程；
(2)是否存在直线l，使得直线l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.
【变式1】（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线
(1)求的方程；
(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
【变式2】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
题型03求弦中点的轨迹方程
【典例1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知线段的端点B的坐标是，端点A在抛物线上运动，则线段的中点的轨迹为（ ）
A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆
【典例2】（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆的方程为.
(1)求过点，且与圆相切的直线的方程；
(2)是圆上一动点，点的坐标为.若点为的中点，求动点的轨迹方程.
【典例3】（2024·浙江温州·三模）已知直线与双曲线相切于点.
(1)试在集合中选择一个数作为的值，使得相应的的值存在，并求出相应的的值；
(2)过点与垂直的直线分别交轴于两点，是线段的中点，求点的轨迹方程.
【变式1】（2024高二·全国）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 .
【变式2】（2024·江苏南通·二模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
【变式3】（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足．
(1)试求动点P的轨迹方程
(2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．
题型04确定参数的取值范围
【典例1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
【典例2】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于，两点，且为的中点，则 ．
【典例3】（23-24高二上·四川德阳·期末）已知为圆上的动点，是圆内一点，线段的中垂线交于点，当在圆上运动时，点所成的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线交于、两点，为线段的中点，求、的值．
【变式1】（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．
【变式2】（23-24高三下·四川巴中·期末）若直线y=kx+1与双曲线交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k= ．
【变式3】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为 ．
题型05定值定点问题
【典例1】（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，椭圆（）过点，直线与椭圆相交于不同于点的，两点，为线段的中点，当直线斜率为时，直线的倾斜角等于
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，分别与直线相交于，两点.线段，的中点为，若的纵坐标为定值，判断直线是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由.
【典例2】（23-24高二上·吉林四平·期中）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【变式1】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知斜率为的的直线与椭圆交于点 ，线段中点为，直线 在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点 ，设直线的斜率分别为， ，线段PQ,MN的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.
【变式2】（23-24高三·全国·阶段练习）已知点在椭圆：上，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，若椭圆的某条弦的中点为，试问的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.