人教A版高二数学选修第一册 第08讲 拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）（5类热点题型讲练）（原卷版+解析版）

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知识点一：曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
知识点二：求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
知识点三：求轨迹方程的方法：
1、定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2、直译法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3、参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，
，进而通过消参化为轨迹的普通方程.
4、代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
5、点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
题型01直接法
【典例1】（23-24高二上·天津北辰·阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．（）B．
C．D．（）
【答案】A
【分析】首先设点，根据条件列式，再化简求解.
【详解】设，，
所以，整理为：，，
故选：A
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知点，，直线相交于点M，且它们的斜率之积是1．求点M的轨迹E的方程；
【答案】
【分析】设，,利用得到轨迹E的方程.
【详解】设，．
∵，，，
∴，整理得，即.
故点M的轨迹E的方程为．
【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状．
【答案】点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.
【分析】设，根据斜率之积是即可得出方程，判定形状.
【详解】设，因为，
所以，整理得，
故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.
【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为
【答案】
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式，再化简即得.
【详解】设顶点A的坐标为，依题意，，整理得，
所以顶点A的轨迹方程为.
故答案为：
【变式2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程 ．
【答案】
【分析】设，根据斜率的乘积为列式运算可得轨迹方程.
【详解】设，则，，，
所以，即，整理得，
所以点的轨迹方程为，.
故答案为：，.
【变式3】（23-24高二上·广东东莞·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，动点M的轨与经过点且倾斜角为的直线交于D、E两点．
(1)求动点M的轨迹方程；
【答案】(1)
【分析】（1）设，得，整理得M的轨迹方程；
（2）直线方程为代入得由弦长公式求.
【详解】（1）设，由已知得，
整理得，即动点M的轨迹方程为；
题型02相关点法
【典例1】（23-24高二上·福建厦门·期中）在圆的上任取一点，过作轴的垂线段，垂足为D，并延长至M，使得，则点M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设，则，然后代入圆的方程，化简即可得到结果.
【详解】

设，则，又点在圆上，所以，
化简可得，所以点M的轨迹方程是.
故选：C
【典例2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆．
(1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）当斜率不存在时，直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆的弦长公式有，和点到直线距离公式，可求得，故可得直线l的方程；
（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.利用已知，代入点的坐标化简得，.而，代入可得的轨迹方程.
【详解】（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即.
设圆心到此直线的距离为，则，得，
∴，，
故所求直线方程为.
综上所述，所求直线方程为或.
（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.
∵，∴，即，.
又∵，∴.
由已知，直线轴，∴，
∴点的轨迹方程是.
【典例3】（23-24高二下·云南昭通·开学考试）求满足下列条件的曲线方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点；
(2)若动点P在上移动，求点P与点连线的中点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设双曲线的方程为：，再根据离心率为和双曲线经过点求解；
（2）设，，根据题意得到，从而，代入求解.
【详解】（1）因为双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为：，
因为离心率为，所以，解得，
又因为双曲线经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为：；
（2）设，中点为，
由题意得，则，
因为动点P在上，
所以，即，化简得.
【变式1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，根据点在椭圆上可得，继而根据，设，求出，代入中，即可求得答案.
【详解】由于点是椭圆上的动点，设，则，
又于点，则；
设，由，得，
则，代入，得，
即点的轨迹方程为，
故选：A
【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆和点，动圆M经过点A且与圆C内切，
(1)求动圆圆心M的轨迹方程；
(2)作轴于P，点Q满足﹐求点Q的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，根据椭圆的定义可得解；
（2）设出点，点，根据坐标化可得，再由点在上代入可得解.
【详解】（1）
设动圆的半径为R，圆C的方程可变为，
可得圆心，半径，
由动圆经过点且与圆C内切，则，，
即得，又，
所以圆心是以点为左右焦点的椭圆，其方程为.
（2）设点，点，则，
又，得，整理得，
又，代入运算得，
所以点的轨迹方程为.
题型03定义法
【典例1】（多选）（2024高二上·全国·专题练习）已知圆，，动圆与，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】先得到圆内含于圆，故圆与外切或内切，与圆一定内切，分两种情况，结合椭圆定义，求出轨迹方程.
【详解】圆的圆心，半径为1，
圆的圆心，半径为9，
由于，故圆内含于圆，
故动圆与，都相切，则圆与外切或内切，与圆一定内切，
设动圆的半径为，
当圆与圆外切时，可得，当圆与圆内切时，可得，
故，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且长轴长为10，焦距为6，短轴长为8，可得方程为；
当圆与圆内切时，可得，当圆与圆内切时可得，
故，可得的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且长轴长为8，焦距为6，短轴长为，
可得方程为.
综上，轨迹方程为或.
故选：AB.
【典例2】（22-23高二·全国·课后作业）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】由题知，进而根据双曲线的定义求解即可.
【详解】解：设动圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为动圆过点，且与圆外切，
所以，，，
所以，
所以，由双曲线的定义得的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支，
因为实轴长为，焦点为，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，即
故答案为：
【典例3】（2024高二上·全国·专题练习）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.求曲线的方程.
【答案】
【分析】法一：根据条件，得到点到的距离与它到直线的距离相等，再利用抛物线的定义即可求出结果；法二：根据定义直接列方程，化简即可得出结果.
【详解】解法一：设为曲线上任意一点，
依题意，点到的距离与它到直线的距离相等，
所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
解法二：设为曲线上任意一点，
则，
依题意，点只能在直线的上方，所以，
所以，
化简得，曲线的方程为.
【变式1】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得.
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得，
则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设方程为，则，
所以M的轨迹方程为.
故答案为：.
【变式2】（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解.
【详解】由题意得，直线l：，且圆N：，
设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为．
故答案为：
【变式3】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知平面内的一动点满足方程．
(1)求动点P的轨迹C的标准方程；
(2)已知点，过的直线交轨迹C于A、B两点，若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据椭圆的定义判断轨迹并求出轨迹方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出，即可得出三角形的面积.
【详解】（1）方程，
表示平面内到定点的距离的和是常数的点的轨迹，
∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆．
，
∴轨迹C的方程是．
（2）当直线的斜率不存在时，则，显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去y整理得，
显然，所以，① ，②
因为，所以，代入①得，
代入②得，所以，即，
因为，所以，
所以，
所以的面积为．
题型04参数法
【典例1】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．
(1)求的方程；
(2)已知，过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且，求点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)（且）．
【分析】（1）根据题意求出焦点的坐标，然后即可求得p的值,即可求得方程；
（2）利用直线的方程与抛物线方程联立，应用韦达定理和已知等式，确定点的横坐标与直线斜率的关系，再利用点在直线上，建立起方程，从而得到轨迹方程，注意剔除不符合题意的点.
【详解】（1）因为抛物线的对称轴为轴，所以的焦点在轴上，直线与轴的交点为，
所以，所以，解得，所以抛物线的方程为：．
（2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，
设，联立直线与抛物线方程：，可得：，
且，解得：且，
因为，即，则有，
整理可得：，即，
所以，又点在直线上，
所以，消得，
由且得且，
所以的轨迹方程为：（且）．
【典例2】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）过点的直线与抛物线交于点M，N，且当直线恰好过抛物线C的焦点F时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点Q在线段MN上（异于端点），且，求点Q的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)且.
【分析】（1）根据题意设过焦点的直线的方程，与抛物线联立计算弦长，求解即可求出抛物线方程；
（2）将转化为进而再转化为纵坐标比，联立直线与抛物线，解出点坐标，设点坐标，代入关系式，求解点坐标，消去参数，则可求出轨迹方程.
【详解】（1）当直线恰好过抛物线C的焦点时，设直线的方程为：，其中，设，
联立直线与抛物线方程：，可得：
，此时，
化简可得：，解得：，
所以抛物线C的方程为：.
（2）设直线的方程为： ，设，，
联立直线与抛物线方程：，可得：，
且，解得：且，
，
因为，即，则有，
整理可得：，
即，，所以，
即的轨迹方程为：且.
【变式1】（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与，两点.点的坐标为，当点的坐标为时，点坐标为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
【答案】(1)
(2)点的轨迹方程为，轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.
【分析】（1）根据直线和双曲线相切求出a,b即可写出双曲线的标准方程；
（2）相关点法求出P点的轨迹方程即可.
【详解】（1）设：
，，
，可得，
又因为直线：过，则，
所以：，
又因为与双曲线相切，所以，
，
，且，
即，
即，（1）
又因为点在双曲线上，所以，（2）
由（1）（2）式可得，
所以双曲线的标准方程为
（2）
，
是双曲线与直线的唯一公共点，
所以，即，（3）
解得，
即，其中
于是过点且与垂直的直线为，
可得，，，
所以
将（3）式代入可得：
即，其中，
所以，点的轨迹方程为，
轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知定点和抛物线，若过点P的直线l与抛物线有两个不同的交点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【答案】（或）
【分析】由题意，设出点的坐标以及直线方程，联立方程，由根的判别式以及韦达定理，表示出中点坐标，消去斜率，可得答案.
【详解】设点M的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为．
显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为，
由，得：，
，解得：或，则，，
而，因此点M的坐标为，
，消去参数k，得：．
由或，得：或．
综上，点M的轨迹方程（或）．
题型05点差法
【典例1】（23-24高二上·吉林长春·期中）已知曲线，过点且被点平分的弦所在的直线方程为 .
【答案】
【分析】设两个交点的坐标分别为，，，，利用点差法求得直线的斜率，进一步求出直线方程，然后验证直线与曲线方程由两个交点即可．
【详解】解：设两个交点的坐标分别为，
所以，，两式相减得，
，的中点为
，，，
所以直线的方程为，即．
由点在双曲线内部，直线方程满足题意．
所在直线的方程是．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．
【典例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知、，动点满足与所在直线的斜率之积为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据斜率公式化简可得出点的轨迹方程；
（2）设所求弦为，设点、，利用点差法可求得所求弦所在直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】（1）解：设，则，，其中，
因为，整理可得.
因此，点的轨迹方程为.
（2）解：设所求弦为，设点、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，则，，
因为，两个等式作差可得，
则，且，，
因此，所求直线的方程为，即.
【典例3】（23-24高二下·山西朔州·阶段练习）给出双曲线.
（1）求以为中点的弦所在的直线方程；
（2）若过点的直线l与所给双曲线交于，两点，求线段的中点P的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设是弦的中点，且，，利用点差法能求出以为中点的双曲线的弦所在的直线方程．
（2）设，，，则，，两式相减，利用是中点及斜率相等可求得轨迹方程，从而得到其轨迹．
【详解】（1）设弦的两端点为，，则，
两式相减得到，又，，
所以直线斜率.
以为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：，整理得．
故求得直线方程为.
（2）设，，，按照（1）的解法可得，①
由于，，P，A四点共线，得，②
由①②可得，整理得，检验当时，，也满足方程，故的中点P的轨迹方程是.
【点睛】本题考查点差法求中点弦的计算，动点的轨迹问题，属于中档题.
【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．
【答案】
【分析】将，两点代入椭圆方程，两式相减，根据点差法求得的值，得到椭圆方程.
【详解】设过A点的直线l与椭圆交于，，如图所示．
所以,
两式相减得,
∴.
∵A为的中点,
∴,，即.
由题意:,所以,即.
∴所求椭圆方程为.
【变式2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）经过点作直线，交椭圆于，两点，如果点恰好为线段的中点，求直线的方程.
【答案】
【分析】首先设，两点坐标分别为，代入椭圆方程作差整理可得直线的斜率，由点斜式可得直线的方程.
【详解】设，两点坐标分别为，，则，，
代入椭圆方程可得：
，，
两式相减可得：，
即，
，
设的斜率为，则，
所以直线的方程为：，即.
【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线方程为，求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程.
【答案】
【分析】设出双曲线弦的两个端点坐标，用“点差法”求出该弦所在直线斜率，然后用点斜式求出方程并验证即可作答.
【详解】设以为中点的弦的两端点为，，则，，
根据对称性知，由，在双曲线上，则有，，
两式相减得，，
过点且斜率的直线方程为，即，
由消去y并整理得：，，
从而得直线与双曲线相交，
所以以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为.