高中2.3.3 直线与圆的位置关系评优课ppt课件

课程目标

学科素养

A.能熟练地解二元方程组,并能运用解方程或方程组来解决直线与圆的位置关系问题.

B.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系.

C.掌握求圆的切线方程的方法.

1.数学抽象：代数法判断直线与圆的位置关系

2.逻辑推理：两种方法判断直线与圆的位置关系

3.数学运算：求圆的切线方程

4.数学建模：直线与圆的位置关系的判断

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    问题导学

在日常生活中可以见到很多有关直线与圆位置关系的形象，如图所示，

    我们已经知道在平面直角坐标系中，直线与圆都可以用方程来表示，一个点是否在直线上或圆上，只要看这个点的坐标是否满足它们的方程即可，那么能否利用直线与圆的方程来研究它们之间的位置关系呢？

二、    探究新知

      初中几何中曾介绍过，直线与圆有两个公共点时称直线与圆相交，且称直线为圆的割线，直线与圆只有一个公共点时称直线与圆相切，并称直线为圆的切线，称公共点为切点，直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。

温故知新

判断直线: 圆+的位置关系，并说明理由。

直线与圆的位置关系

直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直线的距离是d,

d=,则有:

1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　　)

A.相切　　　　　　　　　　B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心  D.相离

解析:∵圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=<1,

∴直线与圆x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,∴直线不过圆心.

答案:B

二、典例解析

例1求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:

①相交;②相切;③相离.

解:圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4,

故圆心(3,0)到直线x-my+3=0的距离为d=,圆的半径为r=2.

①若相交,则d<r,即<2,所以m<-2或m>2,故m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞);

②若相切,则d=r,即=2,所以m=±2;

③若相离,则d>r,即>2,所以-2<m<2,故m的取值范围为(-2,2).

直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.

(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.

(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.

跟踪训练1(1)(多选)已知ab≠0,O为坐标原点,点P(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,过点P作直线l⊥OP,直线m的方程是ax+by=r2,则下列结论正确的是(　　)

A.m∥l B.m⊥l                  

C.m与圆相离            D.m与圆相交

解析:∵直线OP的斜率为,∴直线l的斜率为-,∴直线l的方程为ax+by=a2+b2,故m∥l;

又P(a,b)在圆外,∴a2+b2>r2,圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离d==|r|,故m与圆相交.

(2)已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.

解:方法一(代数法)

由方程组消去y后整理,

得5x2-50x+61=0.

∵Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,

∴该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.

方法二(几何法)

圆心(7,1)到直线l的距离为

d==2.

∵d<r=6,∴直线l与圆C相交.

例2. 过点M(1,2)是圆+上一点，求圆的过点M的切线方程.

解:(方法一)设切线方程是y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,

所以切线方程为

因此所求方程为：x+2y-5=0.

由于直线与圆相切,故=,解得k=,

解:(方法二)圆的圆心为O，而且OM是与切线垂直的，

如图所示，

因为所以切线的斜率为-

从而可知切线的点斜式方程为

因此所求方程为

求圆的切线方程的三种方法

(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.

(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.

(3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.

跟踪训练2. 过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.

解:由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.

当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,

所以切线方程为24x-7y-20=0.

又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.

由于直线与圆相切,故=1,解得k=,

通过对直线与圆的位置关系的回顾，提出运用方程的方法解决直线与圆的位置关系的判断问题。

通过对直线与圆的位置关系的探究和推导，理解代数法和几何法判断直线与圆的位置关系的基本方法。让学生进一步体会方程与曲线的关系，发对展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中让学生掌握直线与圆的位置关系的判断方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

在典例分析和练习中让学生掌握求圆的切线方程的基本方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

三、达标检测

1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为(　　)

A.相切                              B.相交

C.相离                              D.相离或相切

答案:C

2.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(　)

A.相离                      B.相切                                              

C.相交但直线不过圆心   D.相交且直线过圆心

解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,知直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线y=kx+1不过圆心(0,0),则位置关系是相交但直线不过圆心,故选C.

答案:C

3.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(　　)

A.[-3,-1]  B.[-1,3]

C.[-3,1]  D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

解析:圆(x-a)2+y2=2的圆心(a,0)到直线x-y+1=0的距离为d,

则d≤r=,即,解得-3≤a≤1.

答案:C

4.由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则该切线长的最小值为(　　)

A.1 B.2 C. D.3

解析:圆心C(3,0)到y=x+1的距离d==2.所以切线长的最小值为.

答案:C

5.(多选)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是(　　)

A.1 B.2        C.3  D.4

解析:圆C的方程为x2+y2-4x=0,

则圆心为C(2,0),半径r=2.设两个切点分别为A,B,

则由题意可得四边形PACB为正方形,

故有|PC|=r=2,

∴圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于PC,

即≤2,解得k2≤8,可得-2≤k≤2,

∴实数k的取值可以是1,2.

答案:A  B

6.过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线的方程为　　　. 

解：P(2,3)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,

∴过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有两条.当斜率存在时,设切线的斜率为k,

∴=1,∴k=0,∴切线方程为y=3;

则切线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,

当斜率不存在时,切线方程为x=2.

答案:x=2或y=3

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。