人教B版高中数学选修1 2-2-4《直线及其方程课时7》教学设计

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《直线及其方程》教学设计 课时7点到直线的距离公式 一、本节内容分析 “直线及其方程”作为高中平面解析几何的第二节,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆及其方程”“曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难、由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,作为平面解析几何的基本思想,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿于平面解析几何始末. 本节包含的核心知识和体现的核心素养如下: 二、学情整体分析 从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发地参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线的平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识. 学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备 【任务专题设计】 1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方向向量与法向量 3.直线的点斜式方程与斜截式方程 4.直线的两点式方程与一般式方程 5.两条直线的相交、平行与重合 6.两条直线的垂直 7.点到直线的距离公式 【教学目标设计】 1.通过“回顾与梳理”理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识. 2.通过知识的再现与延展理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构. 3.体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识. 【教学策略设计】 高中数学的课堂,一定要让学生成为课堂教学的主体,首先让学生参与到知识的生成过程中来,引导学生进行深入的剖析,积累活动经验和方法,教师可以适当提问,创设情境,设计问题链,层层递进,引发学生有方向的思考,体会其中所包含的数学思想,让获取知识的途径变成双向性、主动性,增强学生对研学的积极性、严谨性. 通过揭示数学知识的本质,让学生养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍追求真理的精神.数学好玩,数学好学,数学有用.要让学生体会发现和创造的快乐,就要让学生真切看到通过自己思考和发现所形成的知识,激发学生探究新知识的兴趣,充分发挥学生思维的多样性和创造性. 【教学方法建议】 情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________ 【教学重点难点】 重点 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系. 5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 难点 体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用. 【教学材料准备】 1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________ 2.其他材料:_____________________________________________________________ 四、教学活动设计 教学导入 师:我们知道,平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.那么,如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程,能不能快速地求出点到直线的距离呢? 【设活动深探究】 通过对初中平面几何点到直线距离问题的回顾开门见山,提出直角坐标系中点到直线距离问题,由特殊问题入手,为后面探究点到直线的距离公式做铺垫. 教学精讲 探究1 点到直线的距离 师:你能想办法求出到直线的距离吗? 生解:(方法一)过点作,垂足为,则到的距离即为的长度. 设直线的方程为,又因为直线过点, 所以,解得,所以直线的方程为. 联立方程组解得即, 所以, 即点到直线的距离为. 师:用上面的方法能得出求到直线的距离的一般性结论吗? 【师生共同推导,教师板书】 师:垂线到直线垂直,直线的斜率为,可得垂线的斜率. 由此,求得垂线方程为, 整理得. 消去可得, 解得, 即. 又因为是直线上的点,所以, 即, 【分析计算能力】 通过运算,对问题进行推广,检查学生对问题实质的理解和掌握,使学生体会解决问题的方法—从特殊到一般,提高学生的归纳概括、分析计算的能力. 从而, , 所以. 由此,求得点到直线的距离为. 生解:(方法二)如图所示,设是直线上的点,且,则到的距离等于的长. 注意到,而且是直线的一个法向量,因此与共线, 从而, 整理得.(1) 又因为是直线上的点, 所以.(2) 联立(1)与(2),解方程组可得. 即,所以. 因此, 即所求距离为. 师:你能用方法二的思路得到求到直线的距离一般的结论吗？ 生:可以得到点到直线的距离的一般结论,但该方法也要求出点的坐标,计算量较大. 师:我们可不可以借助向量数量积的几何意义来求点到直线的距离呢? 【发现创新能力】 通过对点到直线距离公式的推导,启发学生多角度思考,同时注意运用向量方法,从而获得点到直线的距离公式,发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养. 生解:(方法三)是直线上的一点,是直线的一个法向量, 则到直线的距离满足. 师:你能用方法三的思路得到求到直线的距离一般的结论吗? 【师生共同探究,教师板书】 【猜想探究能力】 前面两种做法计算量都很大,这时候就要寻找解析几何的方法,引导学生通过向量数量积的几何意义来解决此问题 师:设是直线上任意一点,是直线的一个法向量,则到直线的距离满足, 因为, , 又因为是直线上的点,所以, 即, 从而. 师:如图,如果直线平行于轴,点到直线的距离还满足上式吗? 生:此时,到直线的距离, 由也表示为. 【以学定教】 从学生实际出发,结合学生已有的知识,从特殊到一般地推导点到直线的距离公式,给学生充分的讨论和交流空间. 【猜想探究能力】 为了研究问题的完整性,还要考虑两种特殊的直线,以此验证当直线垂直于坐标轴时,点到直线的距离公式是否依然成立.提升猜想探究能力. 师:如果直线垂直于轴,到直线的距离还满足上式吗? 生:此时,到直线的距离, 点到直线距离也可表示为. 师:直接构造两点间距离法. 设,垂足的坐标为,则 可得 把①②两边分别平方后相加,得 , , 可以验证,当时仍成立,综上. 师:等面积法. 设,如图所示,过点作平行轴交于,过点作平行轴交于.由两点间距离公式可得. 在Rt中,是斜边上的高, . 易证当或时,上式亦成立. 【发现创新能力】 点到直线的距离公式是用代数方法解决几何问题的基本公式,点到直线的距离公式的推导技巧性比较强,需要学生明确运算目的,探究运算思路,选择好的运算方法,才能有效求得推导的结果.公式的推导过程是对学生应用解析几何方法解决几何问题的一次很好的训练,可以促进学生逻辑推理、数学运算核心素养的提升,培养发现创新能力. 【要点知识】 点到直线的距离公式 一般地,点到直线的距离. 【意义学习】 点到直线的距离公式是用代数方法解决几何问题的基本公式,因此要熟练掌握此公式的结构特征,以达到熟练应用的目的 师:例如,到直线的距离. 师:公式有什么结构特征? 生:公式的分子保留了直线方程一般式的结构,只是把点的坐标代入到了直线方程中,体现了公式与直线方程的关系.特别地,如果点在直线上,点到直线的距离为0,此时,式子中的分子为0,整个式子也等于0.运算结果与实际相符.因此,这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离. 师:注意,因为所求的是距离,所以要加绝对值保证结果为正. 师:比较上述推导点到直线的距离公式的坐标法和向量法两种方法,它们各有什么特点? 【师生共同总结】坐标法是通过寻找所求量的坐标表示再经过一系列运算最终得到点到直线的距离公式.有时坐标法运算量较大,所以还要寻求简化运算的方法.这里就用到了设而不求再整体代换的手段.相比之下,向量法抓住了点到直线的距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征,借助投影向量、直线方向向量的概念,并将向量用坐标表 【以学定教】 通过推导点到直线的距离公式,师生共同总结坐标法和向量法的特点,体现以学定教的策略 示,再运算求解,这种方法体现了解析几何中形与数、数与形的转化,“技巧性”强,但是大大降低了运算量.其实向量法只是用到了向量的“壳”,本质上还是在用点的坐标运算. 师:我们不是常说“解析几何就是用代数方法研究几何问题”吗?这里的代数方法就是把图形放的坐标系中,用点的坐标来刻画图形间的关系,这就是解析几何的本质. 下面练习一道例题. 【典型例题】 点到直线的距离公式的应用 例1已知的三个顶点,求的边上的高. 【观察记忆能力】 通过,点到直线的距离公式的直接应用,让学生加深公式结构特征的把握,使学生进一步理解和记忆公式,提升观察记忆能力. 生解:如图所示,直线的方程为, 整理为一般式方程为, 因此所求高为. 师:下面看一下例2. 【典型例题】 点到直线的距离公式的应用 例2求经过点,且与原点距离等于3的直线的方程. 生解:当直线的斜率不存在时,直线方程为满足题意. 当直线的斜率存在时,设所求直线方程为,整理,得. 所以原点到该直线的距离.所以. 故所求直线方程为,即. 故满足题意的直线的方程为或. 师:在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解. 【简单问题解决能力】 把本节课所学的内容与之前所学过的知识结合在一起,培养学生对知识的综合运用能力.在本题中,设直线的点斜式方程就要分类讨论,通过解决问题,提升学生简单问题解决能力, 探究2 两条平行线之间的距离 师:我们知道,两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,因此,可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的距离. 【典型例题】 两条平行线之间的距离 例3求平行线与之间的距离. 生解:在的方程中,令,则可得,因此是直线上一点. 又因为到的距离为,所以所求距离为. 师:请大家思考:已知两条平行直线和,如何求两条直线间的距离? 【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以点拨】 生:在直线上任取一点,点到直线的距离就是两条平行直线间的距离. 故,① 因为在直线上,因此将代入①, 则. 师:回答正确. 【推测解释能力】 通过例3引出两条平行线之间的距离问题,这里重点让学生体会如何将未知问题转化为已知问题的思想通过解题,提升推测解释能力. 【要点知识】 两条平行直线之间的距离公式 两条平行直线与之间的距离. 【深度学习】 从点到直线的距离公式出发,引导学生推出两平行线间的距离公式,发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养 师:公式有什么结构特征? 生:观察发现公式的分子是两条直线方程常数项差的绝对值,分母是直线方程中两个未知数的系数的平方和再开方. 师:两条平行直线间的距离公式写成时对两条直线应有什么要求? 生:两条平行直线的方程都是一般式,且的系数应分别相等. 【观察记忆能力】 两条平行线间的距离公式是用代数方法解决几何问题的基本公式,因此要熟练掌握此公式的结构特征,以达到熟练应用的目的锻炼观察记忆能力. 【典型例题】 求两条平行直线之间的距离 例4求下列两条平行直线之间的距离: (1); (2). 【教师逐题讲解,学生听讲】 师解:(1)使用两条平行直线间的距离公式需将直线方程化为一般式. 将直线化为一般式为. 由两条平行直线之间的距离公式知. 所以直线与之间的距离为2. (2)与平行,但是未知数系数不等,无法直接用两条平行直线间的距离公式.可将的系数扩大3倍,即. 由两条平行直线间的距离公式知. 所以直线与之间的距离为. 【分析计算能力】 通过例4使学生进步理解和巩固公式,培养学生观察、发现问题异同的能力,总结升华,收获解决问题的思想和方法,提升分析计算能力. 师:通过上面的例题,我们可以得到以下结论. 【归纳总结】 求两条平行直线之间距离的两种思路 1.利用“化归”法将两条平行线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2.直接利用两平行线之间的距离公式,当直线,且时,;当直线,且时,.必须注意两直线方程中的系数对应相等. 【概括理解能力】 对问题进行推广,检查学生对所学公式的实质的理解和掌握,使学生进一步体会解决问题的方法——从特殊到一般.提高学生的概括理解能力 师:下面进行巩固训练. 【巩固训练】 求直线的方程 已知直线经过点,且两点到直线的距离相等,求直线的方程. 【教师引导学生分析思路,学生独立解决,教师进行点拨】 【简单问题解决能力】 在例题分析和练习中让学生熟悉求距离的基本问题,掌握求解距离中综合问题的方法,发展学生逻辑推理、数学运算的核心素养提升简单问题解决能力. 生解:(方法一)∵点与到轴的距离不相等, ∴直线的斜率存在,设为. 又直线在轴上的截距为2,则直线的方程为,即. 由点与到直线的距离相等, 得,解得或. ∴直线的方程是或. (方法二)当直线过线段的中点时,两点到直线的距离相等. ∵的中点是,又直线过点直线的方程是. 当直线时,两点到直线的距离相等. ∵直线的斜率为直线的斜率为直线的方程为. 综上所述,满足条件的直线的方程是或. 师:通过本节课,你学到了哪些知识? 【学生回忆总结,教师补充】 【课堂小结】 点到直线的距离公式 【设计意图】 本节课让学生充分地讨论和交流,用各种不同的方法经历公式的推导过程,体会解析几何的思想方法,让学生逐步感受利用代数研究几何问题的方法和步骤,提升了学生分析问题、解决问题的能力,也为后续解析几何的学习打下坚实的基础. 教学评价 直线方程的教学是在学生学习了直线的倾斜角和斜率公式之后推导的,本节课积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点,调动学生学习的积极性,提高知识的可接受程度,进而完成知识的转化,有效地提高了教学实效.本节课从具体实例出发,通过感知、抽象其共同本质属性,以学生为本,以相关问题为学习的起点,以问题为核心规划学习内容,让学生根据问题寻求解决方案,教师在此过程中是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者,目的是提高学生学习的主动性,提高学生在教学过程中的参与程度,激发其求知欲,活跃其思维. 【设计意图】 引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算等)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求 1.已知直线倾斜角的范围,则此直线的斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 点拨:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图像可得. 解析:因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或. 故. 答案: 【分析计算能力】 解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数图像的性质,利用几何法解题要比解析方法简捷,提升分析计算能力. 2.已知直线与互相平行,则的值是_______. 点拨:本题考查两条直线的平行与系数的关系,两条直线平行,则;两条直线垂直,则. 解析:直线与互相平行, ∴, 整理得,解得或5. 当时,直线,两条直线平行; 当时,直线,两直线平行. 因此,或5. 答案:3或5 【简单问题解决能力】 通过学习及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升,锻炼简单问题解决能力. 教学反思 在本节的教学中,主要采用启发引导式教学方式,以学生所熟悉的情境导入课堂,以此激发学生探究的欲望;同时,运用多媒体平台辅助教学,让学生更直观地理解变化过程,使数学学习有趣味,更直观凸显知识的形成过程;进一步引导学生观察、思考、分析、归纳,化解问题,逐步培养各方面的数学能力,从而充分体现以教师为主导、学生为主体的教学理念. 本节课通过强调对公式的探索过程,提高学生利用代数方法处理几何问题的能力.点到直线的距离的证明过程,含有大量的字母运算而比较抽象,如果没有整体步骤的分析,学生的思路会缺乏连贯性,所以本课重点分析了两种思想.让学生在明确步骤的前提下,再进行有效的公式证明和自学阅读;学生在练习中的“错误体验”将有助于加深记忆,所以在学生应用公式中容易忽略的环节,教师在补充的例题、习题中给予了设置,以达到强化训练的目的. 【以学论教】 理解解析几何的研究方法——坐标法,掌握数形结合思想方法,从学生已有的知识引导学生层层分析推导公式,鼓励学生克服心理的障碍和对字母计算的恐惧心理,逐步培养学生的推测解释和分析计算等学科能力.必备知识学科能力学科素养高考考向直线的倾斜角与斜率学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新数学抽象直观想象数学运算逻辑推理【考查内容】 1.掌握确定直线位置的几何要素 2.掌握直线方程的五种形式 3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离 【考查题型】 填空题,选择题,解答题直线的方程数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模两条直线的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模点到直线的距离数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模核心知识1.直线的倾斜角与斜率 2.直线的方程 3.两条直线的位置关系 4.点到直线的距离直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模核心素养