人教B版高中数学选修1 2-2-3《直线及其方程课时2》教学设计

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《直线及其方程》教学设计课时2直线的方向向量和法向量一、本节内容分析“直线及其方程”作为高中平面解析几何的第二节,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆及其方程”“曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难、由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,作为平面解析几何的基本思想,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿于平面解析几何始末.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发地参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线的平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方向向量与法向量3.直线的点斜式方程与斜截式方程4.直线的两点式方程与一般式方程5.两条直线的相交、平行与重合6.两条直线的垂直7.点到直线的距离公式【教学目标设计】1.通过“回顾与梳理”理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识.2.通过知识的再现与延展理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构.3.体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.【教学策略设计】高中数学的课堂,一定要让学生成为课堂教学的主体,首先让学生参与到知识的生成过程中来,引导学生进行深入的剖析,积累活动经验和方法,教师可以适当提问,创设情境,设计问题链,层层递进,引发学生有方向的思考,体会其中所包含的数学思想,让获取知识的途径变成双向性、主动性,增强学生对研学的积极性、严谨性.通过揭示数学知识的本质,让学生养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍追求真理的精神.数学好玩,数学好学,数学有用.要让学生体会发现和创造的快乐,就要让学生真切看到通过自己思考和发现所形成的知识,激发学生探究新知识的兴趣,充分发挥学生思维的多样性和创造性.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.难点体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:直线的倾斜角和斜率都是确定直线位置的几何要素,因为并不是任何直线都有斜率,所以在解决一些与直线斜率相关的问题时,就不得不分斜率存在和不存在两种情况进行讨论,有时会有繁杂的讨论,本节课我们可以通过直线的方向向量来避免这些.教学精讲探究1 直线的方向向量给定平面直角坐标系中的一条直线,在直线上任意取两个不同的点,显然,向量也能够描述直线的倾斜程度,如图所示,我们称是直线的一个方向向量.【设活动深探究】设计了让学生找到能描述直线的倾斜程度的其他向量的活动,从特殊到一般让学生探究直线的方向向量.师:在平面直角坐标系中,还能找到其他向量也能描述直线的倾斜程度吗?如果能,总结一下这些向量之间的关系.生:在直线上任意取两个不同的点,向量也可以描述直线的倾斜程度,在平面直角坐标系中与向量平行的向量也可以描述直线的倾斜程度,这些向量是共线向量.师:这些向量所在的直线与直线有什么关系?生:这些向量所在的直线与直线平行或重合.师:由此我们得到直线的方向向量.【要点知识】直线的方向向量一般地,如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合,则称向量为直线的一个方向向量,记作.【观察记忆能力】通过观察这些向量所在的直线与直线的位置关系,加深学生对方向向量的理解和掌握,提高学生的观察记忆能力.师:可见直线上的向量及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量.请同学们给出倾斜角为的直线的一个方向向量.生:如图所示,是所有倾斜角为(即与轴垂直)的直线的一个方向向量,是所有倾斜角为(即与轴垂直)的直线的一个方向向量,是所有倾斜角为的直线的一个方向向量.师:所有直线都有倾斜角和方向向量吗?生:任意直线都有倾斜角和方向向量.【概括理解能力】通过对几个倾斜角为特殊角的直线的方向向量的探究,进一步加深对直线的方向向量的理解和掌握提升概括理解能力.师:对直线的方向向量我们有如下理解.【归纳总结】对直线的方向向量的理解1.直线的方向向量是一个非零向量.2.任意直线都有方向向量.3.直线的方向向量可以有无穷多个;若向量是直线的一个方向向量,则也是的一个方向向量.4.若直线上有两个不同的点,则就是直线的一个方向向量.5.显然水平直线的方向向量可以用表示,竖直直线的方向向量可以用表示.6.直线的任意两个方向向量一定共线.师:如图所示,设是平面直角坐标系中的一条直线,且倾斜角为,设是直线的一个方向向量,且,你能写出的坐标吗?生:因为,所以点的横坐标为,纵坐标为,因此.【猜想探究能力】通过给出直线的方向向量得出向量的坐标,进一步通过给出直线的倾斜角得到直线的方向向量,探究直线的倾斜角与直线的方向向量之间的关系,提高学生的探究能力.师:如图(1)(2)所示,如果直线的倾斜角为,斜率为,你能写出直线的一个方向向量吗?生:当为直线的倾斜角时,如果是直线的一个方向向量,而且,则根据三角函数的定义可知点的坐标为.师:回答正确!当然,此时对于任意的实数也是直线的一个方向向量.当时,直线的斜率是存在的,而且,因此,此时如果令,则可知也一定是直线的一个方向向量.【深度学习】通过给出直线的斜率得到直线的方向向量,围绕直线上的两点、直线的倾斜角、直线的斜率这三个核心要素进行,有利于学生在头脑中构建条理清楚的知识网络.师:下面为求直线方向向量的基本方法.【归纳总结】求直线方向向量的基本方法1.已知直线上的两点,则直线的一个方向向量为.2.已知直线的倾斜角,则直线的一个方向向量为.3.已知直线的斜率为,则直线的一个方向向量为.特别地,当直线的斜率不存在时,直线的一个方向向量为.师:下面请看例1.【典型例题】求直线的一个方向向量例1(1)已知直线经过点和,求直线的一个方向向量.(2)已知直线的倾斜角为,求直线的一个方向向量.(3)已知直线与轴平行,求直线的一个方向向量.(4)已知三点,判断这三点是否共线.若共线,试求出这条直线的一个方向向量.【简单问题解决能力】通过例1进一步加深学生对直线的倾斜角、直线斜率以及直线的方向向量之间关系的理解和掌握,巩固学生对求解直线方向向量方法的掌握,培养了学生简单问题解决能力.【学生独立思考问题,并解答】生解:(1)直线的一个方向向量为.(2)直线的一个方向向量为.(3)直线的一个方向向量为.(4)因为,所以,则三点共线.此时直线的一个方向向量为.师:如图所示,如果为直线的一个方向向量,你能写出的斜率和倾斜角吗?生:在图中,当是的一个方向向量时,若直线的斜率为,则也是直线的一个方向向量,因此与共线.从而,从而可求得斜率.然后再根据可知.【以学定教】通过直线的方向向量探究直线的斜率和直线的倾斜角,加深了学生对刻画直线倾斜程度的量的理解和掌握师:一般地,如果已知为直线的一个方向向量,你能由此写出的斜率和倾斜角吗?生:一般地,如果已知为直线的一个方向向量,则:(1)当时,显然直线的斜率不存在,倾斜角为.(2)当时,直线的斜率是存在的,而且此时与都是直线的一个方向向量,由直线的任意两个方向向量共线可知,从而,因此可知倾斜角满足.【概括理解能力】让学生经历从特殊方向向量到一般的方向向量的思考过程,通过观察、类比、归纳得到结论,培养学生的数学思维,发展学生的核心素养,进一步培养学生的概括理解能力.师:下面请看例2.【典型例题】例2已知直线通过点与,求直线的一个方向向量,并确定直线的斜率与倾斜角.生解:由已知可得是直线的一个方向向量,因此,直线的斜率,直线的倾斜角满足,从而可知.师:由上可以看出,通过直线的方向向量能够确定直线的斜率与倾斜角,而且一条直线的所有方向向量都共线,因此也可得到:如果是平面直角坐标系中的三个不同的点,则这三点共线的充要条件是与共线.【整体学习】通过例2提醒学生,直线上的两点、直线的方向向量和直线的倾斜角、直线的斜率一样都是确定直线位置的几何要素.师:下面请看例3.【典型例题】例3已知,判断是否共线.生解:因为,,又因为,所以与不共线,从而不共线.师:下面我们共同总结一下解析几何中证明三点共线的常用方法.【方法策略】解析几何中证明三点共线的常用方法1.任意两点确定的直线的倾斜角相等,则三点共线.2.任意两点确定的直线的斜率,要么都不存在,要么存在且相等,则三点共线.3.利用向量共线,若或,则三点共线.4.利用三角形三边关系,若三点不能构成三角形,则三点共线.5.利用三角形面积为零,若三角形面积,其中为半周长,为三角形的三边长,则三点共线.【深度学习】通过例3进一步加深学生对直线上的两,点、直线的方向向量和直线的倾斜角、直线的斜率的认识.体会利用向量的方法证明三点共线探究2 直线的法向量师:下面我们看一下什么是直线的一个法向量.【要点知识】直线的法向量如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线垂直,则称向量为直线的一个法向量.记作.师:直线的方向向量和法向量是什么关系?生:相互垂直.师:当与不全为0时,直线的方向向量为,那么直线的法向量是什么?生:或者.师:例如,如果是直线的一个方向向量,则就是直线的一个法向量;如果是直线的一个法向量,则就是直线的一个方向向量.【发现创新能力】直线法向量的引入,为以后学习两条直线的位置关系,点与直线的位置关系的研究做好了铺垫,也有利于培养学生的发现创新能力.【归纳总结】关于向量需要注意的两点1.直线的法向量为非零向量.2.直线的法向量不唯一师:这节课就上到这里,通过本节课你学到了哪些知识？【课堂小结】直线的方向向量和法向量【设计意图】直线的法向量在解析几何的研究中扮演了一个非常重要的角色,法向量的应用打破了几何的传统解法它可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象,通过深度学习、自主学习、活动学习、整体学习等学习方式的展开,促进学生观察记忆能力、概括理解能力、推测解释能力、简单问题和综合问题解决能力等各方面能力的提高.教学评价直线方程的教学是在学生学习了直线的倾斜角和斜率公式之后推导的,本节课积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点,调动学生学习的积极性,提高知识的可接受程度,进而完成知识的转化,有效地提高了教学实效.本节课从具体实例出发,通过感知、抽象其共同本质属性,以学生为本,以相关问题为学习的起点,以问题为核心规划学习内容,让学生根据问题寻求解决方案,教师在此过程中是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者,目的是提高学生学习的主动性,提高学生在教学过程中的参与程度,激发其求知欲,活跃其思维.【设计意图】引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算等)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求1.已知直线倾斜角的范围,则此直线的斜率的取值范围是( )A.B.C.D.点拨:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图像可得.解析:因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或.故.答案:【分析计算能力】解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数图像的性质,利用几何法解题要比解析方法简捷,提升分析计算能力.2.已知直线与互相平行,则的值是_______.点拨:本题考查两条直线的平行与系数的关系,两条直线平行,则;两条直线垂直,则.解析:直线与互相平行,∴,整理得,解得或5.当时,直线,两条直线平行;当时,直线,两直线平行.因此,或5.答案:3或5【简单问题解决能力】通过学习及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升,锻炼简单问题解决能力.教学反思在本节的教学中,主要采用启发引导式教学方式,以学生所熟悉的情境导入课堂,以此激发学生探究的欲望;同时,运用多媒体平台辅助教学,让学生更直观地理解变化过程,使数学学习有趣味,更直观凸显知识的形成过程;进一步引导学生观察、思考、分析、归纳,化解问题,逐步培养各方面的数学能力,从而充分体现以教师为主导、学生为主体的教学理念.本节课通过强调对公式的探索过程,提高学生利用代数方法处理几何问题的能力.点到直线的距离的证明过程,含有大量的字母运算而比较抽象,如果没有整体步骤的分析,学生的思路会缺乏连贯性,所以本课重点分析了两种思想.让学生在明确步骤的前提下,再进行有效的公式证明和自学阅读;学生在练习中的“错误体验”将有助于加深记忆,所以在学生应用公式中容易忽略的环节,教师在补充的例题、习题中给予了设置,以达到强化训练的目的.【以学论教】理解解析几何的研究方法——坐标法,掌握数形结合思想方法,从学生已有的知识引导学生层层分析推导公式,鼓励学生克服心理的障碍和对字母计算的恐惧心理,逐步培养学生的推测解释和分析计算等学科能力.必备知识学科能力学科素养高考考向直线的倾斜角与斜率学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算逻辑推理【考查内容】1.掌握确定直线位置的几何要素2.掌握直线方程的五种形式3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离【考查题型】填空题,选择题,解答题直线的方程数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模两条直线的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模点到直线的距离数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模核心知识1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方程3.两条直线的位置关系4.点到直线的距离直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养