人教B版高中数学选修1 2-2-3《直线及其方程课时6》教学设计

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《直线及其方程》教学设计课时6两条直线的垂直一、本节内容分析“直线及其方程”作为高中平面解析几何的第二节,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆及其方程”“曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难、由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,作为平面解析几何的基本思想,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿于平面解析几何始末.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发地参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线的平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方向向量与法向量3.直线的点斜式方程与斜截式方程4.直线的两点式方程与一般式方程5.两条直线的相交、平行与重合6.两条直线的垂直7.点到直线的距离公式【教学目标设计】1.通过“回顾与梳理”理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识.2.通过知识的再现与延展理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构.3.体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.【教学策略设计】高中数学的课堂,一定要让学生成为课堂教学的主体,首先让学生参与到知识的生成过程中来,引导学生进行深入的剖析,积累活动经验和方法,教师可以适当提问,创设情境,设计问题链,层层递进,引发学生有方向的思考,体会其中所包含的数学思想,让获取知识的途径变成双向性、主动性,增强学生对研学的积极性、严谨性.通过揭示数学知识的本质,让学生养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍追求真理的精神.数学好玩,数学好学,数学有用.要让学生体会发现和创造的快乐,就要让学生真切看到通过自己思考和发现所形成的知识,激发学生探究新知识的兴趣,充分发挥学生思维的多样性和创造性.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.难点体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:我们知道,平面内的两条相交直线,如果相交所得的角是四个直角,则它们互相垂直,因此,两条直线垂直是两条直线相交的一种特殊情形,能否根据直线的方程来判断两条直线是否垂直呢?这就是下面我们要讨论的问题.教学精讲生:因为直线的方程给定之后,直线的法向量、斜率、倾斜角都能确定,所以至少可以从这些方面进行考虑.师:用你想到的方法判断直线和直线是否垂直.生:在平面直角坐标系中画出这两条直线,直线的倾斜角是,直线的倾斜角是,所以直线和直线垂直.师:用你想到的方法判断直线与是否垂直.生:由直线和的倾斜角不是特殊角,考虑用直线的法向量来判断.直线和的法向量分别为,因为0,即,所以.师:反之,如果直线和垂直,是否它们法向量的数量积为0?生:如果直线和垂直,那么它们的法向量一定垂直,可知数量积一定是0.【整体设计分步落实】引入两条直线垂直的判定方法时,要由形到数,避免没有背景的直接推导,先让学生直观感知两条直线的垂直关系,接着引导学生去研究两条直线垂直时,这两条直线的倾斜程度有什么关系.师:下面为两条直线垂直的充要条件.【归纳总结】两条直线垂直的充要条件两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直.师:如果设直线和直线的倾斜角分别为和,如图所示,则和满足什么关系?由倾斜角的关系能否得到两条直线的斜率和的关系?【发现创新能力】直线的倾斜角虽然直观,但不要忽略直线的方向向量和法向量这两种方法的研究.由于从直线的一般式方程可以快速地得到直线的法向量,这里也体现了法向量的好处,也可以培养学生的发现创新能力.生:由于,从而,即,故.因为,所以和垂直.师:反之,如果直线和直线垂直,是否有它们斜率乘积一定为?生:不一定,还会有一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0的情况,当两条直线的斜率都存在的条件下,直线和直线垂直,它们斜率乘积一定为.师:下面请看两条直线垂直的判定.【归纳总结】两条直线垂直的判定11.一般地,若已知平面直角坐标系中的直线,有,如图(1).与中的一条斜率不存在,另一条斜率为0,则与的位置关系是,如图(2).【深度学习】类比两直线平行的特殊情况,让学生自主发现两直线垂直的特殊情况,加深理解与记忆.师:对于直线和直线,我们能否给出判断两条直线是否垂直的方法?生:因为是直线的一个法向量,是直线的一个法向量,如图所示,不难看出,与垂直的充要条件是与垂直,即,因此.师:回答正确.【概括理解能力】通过直观图形,建立学生直观想象核心素养,培养学生的观察、猜想、归纳的数学能力,通过归纳两条直线垂直的判定,提升概括理解能力.【归纳总结】两条直线垂直的判定2对于直线和直线,则师:由此可知,在平面直角坐标系中,直线与直线一定是垂直的.下面运用上面的判定解题.【典型例题】判断两条直线是否垂直例1判断下列各对直线是否垂直:(1);(2).【学生思考讨论,教师板书解题过程】师解:(方法一)(1)将的方程化为斜截式为,因此的斜率为,又因为的斜率为2,而且,从而可知与不垂直.(2)显然,的倾斜角为的倾斜角为,从而可知与垂直.(方法二)(1)直线和的法向量分别为,因为,即与不垂直,所以与不垂直.(2)直线和的法向量分别为,因为,即,所以.【少教精教】让学生自己发现探索两条直线垂直的规律,教师适当予以提示点拨,发挥教师的主导作用,体现学生的主体地位.师:下面看例2.【典型例题】求直线的方程例2分别求下列直线的方程:(1)过点且与直线垂直的直线;(2)过点且与直线垂直的直线.【教师指导,学生独立解题】生解:(1)因为直线的斜率为3且与垂直,所以的斜率为,因此直线的点斜式方程为,整理得.(2)依题意可设的方程为.由于过点,因此,解得.因此直线的方程为.师:每一问中所求得的直线只有一条,这实际上也能说明,通过平面上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.【分析计算能力】通过例题培养学生运用新知识解决问题的能力,巩固结论,加强思维意识的训练,提升分析计算能力.【方法策略】垂直直线的设法1.求与直线垂直的直线方程时,根据两直线垂直的条件可设为,然后通过待定系数法,求出.2.求与直线(不同时为零)垂直的直线时,由直线的法向量,可设方程为(不同时为零),然后用待定系数法,求出.师:下面看一道关于判断四边形形状的例题.【典型例题】两条直线垂直的应用例3已知,顺次连接四点,试判断四边形的形状.生解:由题意四点在平面直角坐标系内的位置如图,由斜率公式可得,.所以,由图可知与不重合,所以,由,知与不平行.又因为,所以,故四边形为直角梯形.【观察记忆能力】例3的设计帮助学生理解和掌握所学知识,提高学生的观察记忆能力.师:下面看一道关于求参数值的例题.【典型例题】两条直线垂直的综合应用例4已知直线与直线互相垂直,求实数的值.生解:(方法一)若,两条直线的斜率分别为,由条件得,无解.若,两条直线分别为和,此时两条直线互相垂直.因此,两条直线垂直时,的值为0.(方法二)由条件可知,解得.因此,两条直线垂直时,的值为0.【简单问题解决能力】通过例4,学生利用两种不同的判定方法,求参数的值,提升简单问题解决能力.师:下面进行一组巩固训练.【巩固练习】两条直线垂直的应用若点与点关于直线对称,则直线的方程是( )A.B.C.D.生解:由题可知,直线是线段的垂直平分线,的中点为,斜率为6,则直线过点,斜率为,所求直线方程为,即,答案D.【自主学习】在学习本节课知识之后,学生自主进行巩固训练.在训练过程中掌握两条直线垂直的充要条件.师:同学们回顾一下,本节课都学习了哪些知识呢?【课堂小结】两条直线的垂直【设计意图】两条直线的平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的,并且研究讨论的手段和方法也相类似,因此,在教学时采用对比方法,以便弄清垂直与平行之间的联系与区别.教学中应充分体现坐标法建立方程的一般思路,为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础,发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.教学评价直线方程的教学是在学生学习了直线的倾斜角和斜率公式之后推导的,本节课积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点,调动学生学习的积极性,提高知识的可接受程度,进而完成知识的转化,有效地提高了教学实效.本节课从具体实例出发,通过感知、抽象其共同本质属性,以学生为本,以相关问题为学习的起点,以问题为核心规划学习内容,让学生根据问题寻求解决方案,教师在此过程中是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者,目的是提高学生学习的主动性,提高学生在教学过程中的参与程度,激发其求知欲,活跃其思维.【设计意图】引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算等)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求1.已知直线倾斜角的范围,则此直线的斜率的取值范围是( )A.B.C.D.点拨:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图像可得.解析:因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或.故.答案:【分析计算能力】解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数图像的性质,利用几何法解题要比解析方法简捷,提升分析计算能力.2.已知直线与互相平行,则的值是_______.点拨:本题考查两条直线的平行与系数的关系,两条直线平行,则;两条直线垂直,则.解析:直线与互相平行,∴,整理得,解得或5.当时,直线,两条直线平行;当时,直线,两直线平行.因此,或5.答案:3或5【简单问题解决能力】通过学习及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升,锻炼简单问题解决能力.教学反思在本节的教学中,主要采用启发引导式教学方式,以学生所熟悉的情境导入课堂,以此激发学生探究的欲望;同时,运用多媒体平台辅助教学,让学生更直观地理解变化过程,使数学学习有趣味,更直观凸显知识的形成过程;进一步引导学生观察、思考、分析、归纳,化解问题,逐步培养各方面的数学能力,从而充分体现以教师为主导、学生为主体的教学理念.本节课通过强调对公式的探索过程,提高学生利用代数方法处理几何问题的能力.点到直线的距离的证明过程,含有大量的字母运算而比较抽象,如果没有整体步骤的分析,学生的思路会缺乏连贯性,所以本课重点分析了两种思想.让学生在明确步骤的前提下,再进行有效的公式证明和自学阅读;学生在练习中的“错误体验”将有助于加深记忆,所以在学生应用公式中容易忽略的环节,教师在补充的例题、习题中给予了设置,以达到强化训练的目的.【以学论教】理解解析几何的研究方法——坐标法,掌握数形结合思想方法,从学生已有的知识引导学生层层分析推导公式,鼓励学生克服心理的障碍和对字母计算的恐惧心理,逐步培养学生的推测解释和分析计算等学科能力.必备知识学科能力学科素养高考考向直线的倾斜角与斜率学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算逻辑推理【考查内容】1.掌握确定直线位置的几何要素2.掌握直线方程的五种形式3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离【考查题型】填空题,选择题,解答题直线的方程数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模两条直线的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模点到直线的距离数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模核心知识1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方程3.两条直线的位置关系4.点到直线的距离直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养