人教B版高中数学选修1 2-2-2《直线及其方程课时3》教学设计

这是一份人教B版高中数学选修1 2-2-2《直线及其方程课时3》教学设计，共16页。
《直线及其方程》教学设计课时3直线的点斜式方程与斜截式方程一、本节内容分析“直线及其方程”作为高中平面解析几何的第二节,既是对初中所学“一次函数”的延展,又是后续学习“圆及其方程”“曲线与方程”的基石,它起着承上启下的作用.在用有序实数对表示点之后,直线作为平面中最简单的图形,它的坐标化既是自然延续,又是圆与圆锥曲线坐标化的前提,这体现了教材编排的系统性,以及由易到难、由浅入深的编排特点.而坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁,作为平面解析几何的基本思想,集中地体现了数形结合的数学思想,这种思想贯穿于平面解析几何始末.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析从认知水平和能力方面,高中二年级学生具有较强的观察、分析、概括能力,有着较丰富的学习经验及活动经验,形成了自发地参与意识和合作意识,可以很好地理解直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线的平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方向向量与法向量3.直线的点斜式方程与斜截式方程4.直线的两点式方程与一般式方程5.两条直线的相交、平行与重合6.两条直线的垂直7.点到直线的距离公式【教学目标设计】1.通过“回顾与梳理”理解倾斜角等基本概念,掌握距离公式等主要知识.2.通过知识的再现与延展理解知识间的内在联系,形成系统的知识结构.3.体会数形结合思想,初步形成主动在“数”与“形”之间进行转化的意识.【教学策略设计】高中数学的课堂,一定要让学生成为课堂教学的主体,首先让学生参与到知识的生成过程中来,引导学生进行深入的剖析,积累活动经验和方法,教师可以适当提问,创设情境,设计问题链,层层递进,引发学生有方向的思考,体会其中所包含的数学思想,让获取知识的途径变成双向性、主动性,增强学生对研学的积极性、严谨性.通过揭示数学知识的本质,让学生养成求实、说理、批判、质疑等理性思维的习惯和锲而不舍追求真理的精神.数学好玩,数学好学,数学有用.要让学生体会发现和创造的快乐,就要让学生真切看到通过自己思考和发现所形成的知识,激发学生探究新知识的兴趣,充分发挥学生思维的多样性和创造性.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.难点体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用.【教学材料准备】1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:设是平面直角坐标系中的直线,分别判断满足下列条件的是否唯一,如果唯一,作出相应的直线,并思考直线上任意一点的坐标应满足什么条件.(1)已知的斜率不存在;(2)已知的斜率不存在且过点;(3)已知的斜率为;(4)已知的斜率为且过点.【设情境巧激趣】使学生在已有知识和经验的基础上探索新知,为定义直线方程做了充足的铺垫,让学生理解和接受直线方程的概念变得水到渠成.【观察记忆能力】通过问题思考,引导学生发现,通过斜率和一个点可确定一条直线,开门见山,引出学习的课题.提升观察记忆能力.生:满足条件(1)的直线有无数条,但满足条件(2)的直线是唯一的,此时若为直线上的点,则必有,如图①所示.师:若的横坐标满足,则点与条件(2)中的直线什么关系?生:点一定都在满足条件(2)的直线上.满足条件(3)的直线,只要倾斜角为即可,因此也有无数条,但满足条件(4)的直线是唯一的,如图②所示.此时若为直线上不同于的点,则,即,化简可得,可以看出,的坐标也能使上式成立,满足条件(4)直线上任意一点的坐标应满足.师:反之,若点的坐标满足,那么点与条件(4)中的直线什么关系?生:如果点的坐标满足,则要么点就是点,要么,也就是说,点一定在直线上.师:一提到直线我们就会想到一次函数,上面我们找到的直线上任意一点的坐标满足的条件和是函数吗?生:不是函数,是函数.【深度学习】通过直线与方程的关系讨论,让学生体会曲线与方程的对应关系,进而推导出直线的点斜式方程的形式,进一步体会运用代数法和几何法解决问题的特点,发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.教学精讲探究1 直线的方程与方程的直线师:我们把和都看成关于的方程,方程的解记为,直线上的点的坐标为,那么方程的解和直线上的点之间是什么关系?生:直线上的每一个点的坐标都是方程的解,以方程的每一组解为坐标的点都在直线上.师:下面看一组概念,【要点知识】直线的方程与方程的直线一般地,如果直线上点的坐标都是方程的解,而且以方程的解为坐标的点都在直线上,则称为直线的方程,而直线称为方程的直线.此时,为了简单起见,“直线”也可说成“直线”,并且记作.【概括理解能力】根据推导过程得出的结论使学生明确直线上的点的坐标与方程的解一一对应,提升概括理解能力.师:是否是过点且斜率为的直线的方程?说明理由.生:不是,虽然以方程的解为坐标的点都在直线上,但点在直线上,却不满足方程,不是方程的解,此时,直线上的点多了,方程的解少了.师:是否是过点且斜率不存在的直线的方程?说明理由.生:不是,虽然直线上的所有点的坐标都满足方程满足方程,但以为坐标的点却不在直线上,此时方程的解多了,直线上的点少了.师:是否是过点且斜率为的直线的方程?说明理由.生:是的,理由如下.①在直线上任取一点,则②如果点的坐标为,则点的坐标满足方程;(2)如果点的坐标不是,因为直线的斜率为,所以,则点的坐标也满足方程.所以直线上任取一点的坐标都满足方程,都是方程的解.(2)任取方程的一个解,则①如果,则点在直线上;②如果,因为是方程的解,所以满足,因为,所以满足,即与所在直线的斜率为,所以点在直线上,所以以方程的解为坐标的点一定在直线上.综上,是过点斜率为的直线的方程,直线也是方程的直线.【深度学重推理】通过直线与方程的关系讨论,让学生体会直线与方程的对应关系,进而为推导出直线的点斜式方程作铺垫,进一步体会运用代数法和几何法解决问题的特点,发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养师:下面请看直线与方程之间的关系.【归纳总结】直线的方程与方程之间的关系1.直线上的任意点是满足所找到的等量关系的.2.如果满足等量关系,那么以为坐标的点一定在直线上.同时满足上面的关系,方程的解和直线上的点之间是一一对应的关系,这时才能说方程是直线的方程,直线是方程的直线.【以学论教】学生根据斜率公式,可以得到,当时,,即,明确研究方向,使学生了解方程成为直线方程必须满足两个条件.师:下面我们看一道例题.【典型例题】对直线方程的理解例1判断下列说法是否正确.(1)如图所示,线段的方程为.( )(2)在平面直角坐标系中,轴所在直线方程为.( )(3)方程和表示同一条直线.( )生:(1)探究2 直线的点斜式方程师:如图①,直线经过点,且斜率为.设点是直线上的任意一点,请根据斜率公式建立与之间的关系.生:根据斜率公式,可以得到,当时,,即师:(1)由,斜率确定的直线上的任意点都满足方程吗?(2)满足方程(1)的点的坐标都在经过,斜率为的直线上吗?师:设点的坐标满足方程,即,若,则,说明点与点重合,可得点在直线上,如图②.若,则,这说明过点和点的直线的斜率为,可得点在过点,斜率为的直线上,如图③.【以学论教】进一步使学生理解直线的,点斜式方程的适用范围和作图方法,掌握特殊直线方程的表示形式【要点知识】直线的点斜式方程由直线上一定点及其斜率确定的方程叫做直线的点斜式方程.【先学后教】让学生知道直线方程由直线上一定点及其斜率确定,通过直线的点斜式方程的探究过程,培养学生自主探索的能力,并体会直线的方程,就是直线上任意一点的坐标满足的关系式,从而掌握根据条件求直线方程的方法.生:可以验证,直线上的每个点(包括点的坐标都是这个方程的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点都在直线上.师:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?生:当直线与轴垂直时,斜率不存在,其方程不能用点斜式表示.但因为上每一点的横坐标都等于,所以它的方程是,如图④.当直线与轴垂直时,斜率为0,其方程能用点斜式表示.但因为上每一点的纵坐标都等于,所以它的方程是,实际上可写为,如图⑤.师:特别地,轴,轴所在的直线的方程分别是什么?生:和.师总结:经过点的直线有无数条,可分为两类.(1)斜率存在的直线:方程为.(2)斜率不存在的直线:方程为.师:直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到:如果已知是直线上一点,而且的斜率为,则直线的一个方向向量为;另一方面,设为平面直角坐标系中任意一点,则在直线上的充要条件是与共线,又因为,,所以.下面利用点斜式求直线的方程.【深度学习】利用直线的方向向量推导了直线的点斜式方程,避免了对斜率存在与否的讨论,简化了思维和推导过程,让学生体会到了向量这一工具在解决问题时的优势,为学生以后积极寻求多种方法解决问题提供思路、引导方向,培养学生的发散性思雏,有利于提高学生对知识的应用意识.【典型例题】求直线的方程例2已知直线经过点,且的斜率为,分别根据下列条件求直线的方程:(1);(2);(3).生解:(1)根据已知可得直线的点斜式方程为,化简得.(2)根据已知可得直线的点斜式方程为,化简得.【分析计算能力】由学生独立求出直线的方程,可以用斜率公式,也可以用点斜式的结论,巩固新学知识和运用,提升分析计算能力.(3)根据已知可得直线的点斜式方程为,化简得.师:下面我们总结利用点斜式求直线方程的一般步骤.【归纳总结】利用点斜式求直线方程的一般步骤1.确定直线要经过的定点.2.明确直线的斜率.3.由点斜式直接写出直线方程.注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在,当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为.探究3 直线的斜截式方程师:上面例题2中(1)和(2)的这两个点比较特殊,都是坐标轴上的点,此时点斜式方程可以很方便地化简为的形式.下面看一组概念.【活动学习】让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程,是点斜式方程的一种特殊情形,使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.【要点知识】截距的相关概念一般地,当直线既不是轴也不是轴时:若与轴的交点为,则称在轴上的截距为;若与轴的交点为,则称在轴上的截距为.一条直线在轴上的截距简称为截距.因此,如果已知直线的斜率为,截距为,则意味着这条直线过了这个点,从而可知直线的方程为,化简可得.师:截距和距离的区别是什么?生:的值可正可负,也可以是0.距离一定是大于等于0的数.师:方程由哪两个条件确定呢?生:由直线的斜率和截距确定.师:以下是直线的斜截式方程的定义.【要点知识】直线的斜截式方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定的方程叫做直线的斜截式方程.师:观察方程与,它们有什么联系?生:当换成时,即为.斜截式是点斜式的特殊情况.师:任何直线都能用斜截式表示吗?生:当直线的斜率不存在时,直线不能用斜截式表示,可以写成.直线的斜截式方程、点斜式方程适用范围:直线的斜率存在.师:由直线的斜截式方程可以联想到我们学习过的哪类函数?生:一次函数.师:你如何从直线方程的角度认识一次函数?一次函数中的和斜截式方程的有何区别?【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定】生:直线的斜截式方程与一次函数的表达式虽然有着相同的“面孔”,但有着本质的区别,前者的可以为0,后者的却不可为0.即集合一次函数的的图像是集合斜截式方程表示的直线的真子集.师:在同一平面直角坐标系中作出直线,这些方程表示的直线有什么共同特点?你能用一个方程表示出它们来吗?【说明论证能力】巩固新学知识和结论,让学生更加了解方程的结构特征,并总结直线的斜截式方程与点斜式方程、一次函数的关系,体会一次函数是直线的斜截式方程的真子集.【学生动手实践作图后,总结结论】生:方程.师:当取任意实数时,方程表示的直线都经过点,它们是一组共点直线.这组直线包括所有过点的直线吗?生:不含过点的直线.师:在同一平面直角坐标系中作出直线,这些方程表示的直线有什么共同特点?你能用一个方程表示出它们来吗?【学生动手实践作图后,总结结论】生:方程.【观察记忆能力】让学生动手画图,先做到直观感知,教师通过多媒体的演示,进行操作确认,体现观察记忆能力,提升直观想象核心素养师:当取任意实数时,方程表示的直线彼此平行,它们是一组平行直线,它们斜率相等,纵截距不等.【巩固练习】直线的点斜式方程与截距式方程当取任何实数值时.(1)直线恒过点________;(2)直线恒过点________;(3)直线恒过点________.生:(1)【概括理解能力】巩固新学知识和结论,部分同学会在一些问题上出现错误,适时强调斜截式的结构特征,并体会直线的斜截式方程和点斜式方程的区别.提升学生的概括理解能力.师:下面我们看例3题,如何求直线方程和它的截距.【典型例题】利用点斜式求直线的方程和截距例3已知直线经过点,且的倾斜角为,求直线的方程,并求直线的截距.【学生自主解决问题,教师总结】生解:因为直线的斜率,所以可知直线的方程为即.因此直线的截距为5.师:在求直线的方程时,如果直线的斜率存在,最后总可将直线的方程写成斜截式的形式.师:通过这节课,你学到了哪些知识和方法?【学生回答,教师补充总结】【课堂小结】直线的点斜式方程与斜截式方程1.直线的点斜式方程:.2.直线的斜截式方程:.直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况.【设计意图】在求直线的方程中,直线方程的点斜式是基本的,直线方程的斜截式是由点斜式推出的.在引入过程中,要让学生弄清直线与方程的一一对应关系,理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手,充分体现坐标法建立方程的一般思路,为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础,发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养教学评价直线方程的教学是在学生学习了直线的倾斜角和斜率公式之后推导的,本节课积极创造机会让不同程度的学生发表自己的观点,调动学生学习的积极性,提高知识的可接受程度,进而完成知识的转化,有效地提高了教学实效.本节课从具体实例出发,通过感知、抽象其共同本质属性,以学生为本,以相关问题为学习的起点,以问题为核心规划学习内容,让学生根据问题寻求解决方案,教师在此过程中是问题的提出者、课程的设计者以及结果的评估者,目的是提高学生学习的主动性,提高学生在教学过程中的参与程度,激发其求知欲,活跃其思维.【设计意图】引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、简单问题解决、分析计算等)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求1.已知直线倾斜角的范围,则此直线的斜率的取值范围是( )A.B.C.D.点拨:根据直线的倾斜角和斜率的关系:,联系三角函数的正切函数图像可得.解析:因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率.故或.故.答案:【分析计算能力】解决直线的倾斜角与斜率的计算问题,明确二者的关系后要尽量充分地利用三角函数中正切函数图像的性质,利用几何法解题要比解析方法简捷,提升分析计算能力.2.已知直线与互相平行,则的值是_______.点拨:本题考查两条直线的平行与系数的关系,两条直线平行,则;两条直线垂直,则.解析:直线与互相平行,∴,整理得,解得或5.当时,直线,两条直线平行;当时,直线,两直线平行.因此,或5.答案:3或5【简单问题解决能力】通过学习及时进行总结,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升,锻炼简单问题解决能力.教学反思在本节的教学中,主要采用启发引导式教学方式,以学生所熟悉的情境导入课堂,以此激发学生探究的欲望;同时,运用多媒体平台辅助教学,让学生更直观地理解变化过程,使数学学习有趣味,更直观凸显知识的形成过程;进一步引导学生观察、思考、分析、归纳,化解问题,逐步培养各方面的数学能力,从而充分体现以教师为主导、学生为主体的教学理念.本节课通过强调对公式的探索过程,提高学生利用代数方法处理几何问题的能力.点到直线的距离的证明过程,含有大量的字母运算而比较抽象,如果没有整体步骤的分析,学生的思路会缺乏连贯性,所以本课重点分析了两种思想.让学生在明确步骤的前提下,再进行有效的公式证明和自学阅读;学生在练习中的“错误体验”将有助于加深记忆,所以在学生应用公式中容易忽略的环节,教师在补充的例题、习题中给予了设置,以达到强化训练的目的.【以学论教】理解解析几何的研究方法——坐标法,掌握数形结合思想方法,从学生已有的知识引导学生层层分析推导公式,鼓励学生克服心理的障碍和对字母计算的恐惧心理,逐步培养学生的推测解释和分析计算等学科能力.必备知识学科能力学科素养高考考向直线的倾斜角与斜率学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算逻辑推理【考查内容】1.掌握确定直线位置的几何要素2.掌握直线方程的五种形式3.通过直线的方程研究两条直线的位置关系,交点坐标和点到直线的距离【考查题型】填空题,选择题,解答题直线的方程数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模两条直线的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模点到直线的距离数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模核心知识1.直线的倾斜角与斜率2.直线的方程3.两条直线的位置关系4.点到直线的距离直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养