人教B版高中数学选修1 2-3-1《圆及其方程课时1-标准方程》教学设计

这是一份人教B版高中数学选修1 2-3-1《圆及其方程课时1-标准方程》教学设计，共15页。
《圆及其方程》教学设计课时1圆的标准方程一、本节内容分析圆是最常见、最简单、最重要的曲线之一,这节教材安排在学习了直线之后,学习三大圆锥曲线之前,旨在熟悉曲线和方程的理论为后续学习作好准备.同时有关圆的问题,特别是直线与圆的位置关系问题,也是解析几何中的基本问题,这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法.因此教学中应加强练习,使学生确实掌握这单元的知识和方法.在学习中使学生进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力,是进一步学习圆锥曲线的基础,对于后续知识的学习具有相当重要的意义.另外,本部分的学习是通过由特殊到一般逐步展开的,可以进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及灵活处理问题的能力.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,本节之前又学习了建立平面直角坐标系求直线方程的方法,这些都为本节课的学习奠定了必要的基础.高一时,学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解,具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力.通过五种直线方程的学习,对坐标系下建立方程进行了反复训练,这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备.当然,由于学生对坐标法以及圆的标准方程认识还不深刻,在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难,在教学中一定要关注学生反馈的信息,循序渐进地开展教学.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.圆的标准方程2.圆的一般方程3.直线与圆的位置关系4.圆与圆的位置关系【教学目标设计】1.运用待定系数法求圆的方程.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.3.在探索圆和圆的位置关系的过程中,学会运用数形结合的思想解决问题.【教学策略设计】新课程下的教学,力求知识的形成过程,为克服课堂时间不足,需要学生做好课前预习,在教师的引导下,学生已经具备一定探究与研究问题的能力.所以在设计问题时应考虑周全和灵活性,师生共同探讨,共同研究,让学生积极思考,主动学习.在教学过程中采用讨论法,向学生提供具备启发式和思考性的问题.因此,要求学生在课上讨论,提高学生的探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,力求体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,讨论法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.能运用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程.2.直线与圆的位置关系的代数判别法和几何判别法3.探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系.难点1.会根据不同的已知条件求圆的标准方程和圆的一般方程2.用待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.3.用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题4.通过平移实验直观地探究圆和圆的位置关系,发展识图能力和动手操作能力.【教学材料准备】1.常规材料:圆规、多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:在我们的实际生活中有这样的一些物体,如摩天轮、汽车的轮子、呼啦圈、圆形钟表的表盘.【情境设置】圆的引入师:请大家思考一下,老师列举的这些物体,它们抽象出来的平面图形是什么？生:是圆形师:我们知道,平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆,其中定点是圆心定长是圆的半径,在平面直角坐标系中,每一条直线都可以用一个二元一次方程来表示,平面直角坐标系中的一个圆,是否也可以用方程来表示呢？下面我们就来解决这个问题.【设计意图】利用多媒体,展示学生常见的圆形状的物品,让学生从感性上认识圆.感受现实生活中处处有圆,激发学生的学习兴趣.教学精讲探究1 圆的标准方程【情境设置】探究圆的标准方程如图所示,设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C(1,2),且半径为2.(1)判断点A(3,2)是否在⊙C上;(2)设M(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,那么,点M在⊙C上的充要条件是什么？此时x,y要满足什么关系式？生:(1)因为,所以点A在圆上.师:很好,就是利用圆的定义判断|CA|是否等于半径2.那么问题(2)呢？生:(2)因为点M在圆上,所以|CM|=2,用两点间距离公式的坐标表示就是,因此x,y要满足(x−1)2+(y−2)2=4.师:非常好,那么能否由此一般化,得到平面上的任意一个圆的标准方程呢？【以学定教】通过情境设置,让学生经历从特殊到一般的思维过程,借助具体实例,进行两方面的思考:如何判断一个已知点A是否在已知圆上？若,点M(x,y)在已知圆上,点M应满足什么条件？这里要紧扣曲线与方程的概念,让学生体会“曲线的方程”和“方程的曲线”之间的对应关系,尽管在下一节才正式学习曲线与方程,但在教学中可以借助具体的问题逐步渗透.【要点知识】探究圆的方程一般地,如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0).设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则点M在⊙C上的充要条件是________;点M坐标满足的关系是______.生:因为点M在圆上,所以|CM|=r:因为|CM|=r,所以点M在圆上.所以点M在圆上的充要条件是|CM|=r.于是,通过两点间距离公式的坐标表示就可以得到点M坐标满足的关系.师:很好！这个充要条件表明两个问题:(1)⊙C上任意一点M(x,y)的坐标满足上述方程:(2)若平面直角坐标系中任意一点M(x,y)的坐标满足上述方程,可得|CM|=r,从而点M在⊙C上.因此,这个方程能够表示以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆.于是我们通常称上述方程为圆的标准方程.为了方便起见,同直线中的情形一样,我们把代数形式的方程(x−a)2+(y−b)2=r2和几何形式的圆建立关系,不再区分,当我们称圆(x−a)2+(y−b)2= r2时,指的就是以(x−a)2+(y−b)2=r2为方程的圆.【发现创新能力】使学生从代数的角度认识圆的标准方程是关于x,y的二元二次方程;明确确定了圆心的坐标和半径就能写出圆的标准方程.提升发现创新能力.【要点知识】圆的标准方程圆心坐标为(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0).师:圆的标准方程有哪些特点？生:(1)关于x,y的二元二次方程(不含xy项).(2)方程明确给出了圆心的坐标和半径的大小,即给出了a,b,r三个量.师:思考一下当圆心在原点、x轴上y轴上时,圆的方程分别是什么？生:当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2;当圆心在x轴上时,方程为(x−a)2+y2=r2(r≠0);当圆心在y轴上时,方程为x2+(y−b)2=r2(r≠0).师:(1)以点C(−2,0)为圆心,r=3为半径的圆的标准方程是什么？(2)写出圆(x−2)2+(y+1)2=5的圆心的坐标及半径.生:(1)因为a=−2,b=0,r=3,故所求圆的标准方程为(x+2)2+y2=9.(2)方程(x−2)2+(y+1)2=5即,所以a=2,b=−1,r=,故圆心的坐标为C(2,−1),半径为r=.师:下面请看例1.【典型例题】求圆的标准方程例1根据下列条件,求圆的标准方程:(1)圆心在点C(−2,1),且过点A(2,−2);(2)过点(0,1)和,点(2,1),半径为.【教师分析,学生独立解题】师分析:为了求得圆的标准方程,只要确定圆心坐标和半径就可以了.生解:(1)所求圆的半径.又因为圆心为(−2,1),所以所求圆的方程为(x+2)2+(y−1)2=25.(2)设圆心坐标为(a,b),则圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=5.因为(0,1),(2,1)是圆上的点,所以,解得或因此,所求圆的方程为(x−1)2+(y+1)2=5或(x−1)2+(y−3)2=5.生:下面进行巩固练习.【分析计算能力】通过例1巩固落实用代数法求圆的标准方程的方法.提升学生的分析计算能力.【巩固练习】求圆的标准方程如图所示,设⊙C的圆心C在直线l:2x−7y+8=0上,且A(6,0),B(1,5)都是⊙C上的点,求圆的标准方程.【分析计算能力】巩固落实求圆的标准方程的两种方法:解法一为代数法(待定系数法);解法二可以称为几何法(数形结合法).通过解题,锻炼分析计算能力.【学生独立解答,教师公布答案并进行总结】【典例解析】求圆的标准方程解:(方法一)设所求圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2,由题意得解得a=3,b=2,r2=13.因此所求圆的标准方程为(x−3)2+(y−2)2=13.(方法二)设线段AB的垂直平分线为m,则C既在直线m上,又在直线l上,所以C是直线m与l的交点.因为直线AB的斜率为,所以m的斜率为l;又因为AB中点的横坐标和纵坐标分别为,所以直线m的方程为即x−y−1=0.解方程组,得x=3,y=2.因此,圆心C的坐标为(3,2),又圆的半径为,从而所求圆的方程是(x−3)2+(y−2)2=13.【深度学习】从不同的角度思考问题,一题多解,深度学习圆的标准方程.培养学生思考问题、探究问题的能力.师:根据上面的应用举例,我们总结一下求圆的标准方程的方法.【归纳总结】求圆的标准方程的方法(1)直接法;(2)待定系数法;(3)数形结合法.【以学定教】通过对上述例题和巩固练习的概括,得出求圆的标准方程的三种方法.探究2 点与圆的位置关系师:下面请思考这样的问题.【情境设置】点与圆的位置关系已知三,点A(3,4),B(−2,3),C(−4,−2),圆O的标准方程为x2+y2=25,试判断A,B,C与圆O的位置关系.师:思考判断点和圆的位置关系的依据是什么？【学生思考,合作交流,回答问题,教师予以启发和肯定】生:是点到圆心的距离.通过计算可知,AO=5,即d=r,所以点在圆上;BO=,即dr,所以点在圆外.师:还可以如何判断点和圆的位置关系？生:判断点M0(x0,y0)与圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2的位置关系时,只需将点M(x0,y0)代入圆的标准方程中.若(x0−a)2+(y0−b)2=r2,则点在圆上;若(x0−a)2+(y0−b)2>r2,则点在圆外;若(x0−a)2+(y0−b)24,∴点M在圆C外部.当切线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x−3=0.又点C(1,2)到直线x−3=0的距离d=3−1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y−1=k(x−3),即kx−y+1−3k=0,则圆心C到切线的距离,解得.∴切线方程为,即3x−4y−5=0.∵,∴过点M的圆C的切线长为.【以学定教】通过探究圆的标准方程与一般方程,启发并引导学生理解直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,并解决一些简单的数学问题与实际问题,对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的地位.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.教学反思针对本节课的特点,在教法上,采用了以教师为主导、学生为主体的教学方法:在教学过程中,注重启发式引导、反馈式评价,充分调动学生的学习积极性,鼓励同学们动手计算,采用一题多变的形式,让学生体会由简单到复杂,由特殊到一般的题型及相应解题策略,教师在学生活动后,给予帮助,促进数学概念的建构和数学核心素养的形成:在教学手段上,运用黑板板书和多媒体展示,激发学生的创造力,活跃了气氛,加深了理解.注重提升学生逻辑推理、数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养【以学论教】根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中以教师为主导,学生为主体.教师积极启发引导,学生主动学习,增强动手能力,体会知识的生成和完善过程,达到理想的学习效果.必备知识学科能力学科素养高考考向圆的方程学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算【考查内容】1.掌握圆的标准方程和一般方程2.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法,能利用直线和圆的位置关系解决相关问题【考查题型】填空题,选择题,解答题直线与圆的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模圆与圆的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模核心知识1.圆的方程2.直线与圆的位置关系3.圆与圆的位置关系直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养位置关系几何条件代数条件点在圆上|M0C|=r(x0−a)2+(y0−b)2=r2点在圆外|M0C|>r(x0−a)2+(y0−b)2>r2点在圆内|M0C|