九年级人教版数学上册预习 专题06一元二次方程的应用（8大类型精准练+过关检测）（解析版）

这是一份九年级人教版数学上册预习 专题06一元二次方程的应用（8大类型精准练+过关检测）（解析版），共35页。试卷主要包含了传播问题，增长率问题，面积问题，数字问题，2元，所以不合题意，应舍去．等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：8大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：列一元二次方程解应用题
审→设→列→解→验→答.即：
(1)审：审清题目的各量之间的关系：
(2)设：恰当地设出未知数，可直接设也可间接设：
(3)列：根据问题中的等量关系，列出方程；
(4)解：求出未知数的值：
(5)验：检验方程的解的正确性及是否符合实际情况；
(6)答：写出应用题的答案
知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法
1.传播问题
比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．
2.增长率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3.面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
4.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
题型5：利润（销售）问题
利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
【课前热身】
1．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为，则根据题意列出符合题意的方程是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据“该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子”列出一元二次方程即可．
【解答】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为，
根据经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子得：
，
故选：．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论不正确的是
A．第一轮后共有个人患了流感
B．第二轮后又增加个人患流感
C．依题意可以列方程
D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有1000人患流感
【答案】
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了个人，可得出第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，结合“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值，代入中，可求出“按照这样的传染速度，经过三轮传染后患流感的人数”，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：每轮传染中平均一个人传染了个人，
第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染．
根据题意得：，
解得：，，
，
第一轮后共有个人患了流感，选项不符合题意；
第二轮后又增加个人患流感，选项不符合题意；
所列方程为，选项不符合题意；
按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有1331人患流感，选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为 ，那么满足的方程是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由于剪去的正方形边长为 ，那么长方体纸盒的底面的长为，宽为，然后根据底面积是即可列出方程．
【解答】解：设剪去的正方形边长为 ，
依题意得，
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
4．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同，所有公司共签定了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有家公司参加，则每个公司要签份合同，签订合同共有份．
【解答】解：设有家公司参加，依题意，得
．
整理得：．
解得：，（舍去）
答：共有10公司参加商品交易会．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数．解答中注意舍去不符合题意的解．
5．两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少，求这两个正方形的边长．
【答案】大正方形的边长为，小正方形的边长为．
【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，接下来结根据题目信息可得，然后解方程求出的值，进而求出小正方形的边长，据此进行解答即可．
【解答】解：设大正方形的边长为，则小正方形的边长为．
，
得，即，
解得或（舍去），
小正方形的边长为．
故大正方形的边长为，小正方形的边长为．
【点评】本题是一道关于一元二次方程应用的题目，解答本题的关键是找出题目中的数量关系．
6．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
【分析】先设个位数字为，那么十位数字是，这个两位数是，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可．
【解答】解：设个位数字为，那么十位数字是，这个两位数是，
依题意得：，
，
，，
或3．
答：这个两位数是25或36．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
【分析】由销售问题的数量关系总利润单件利润数量建立方程求出其解即可．
【解答】解：根据题意，得
整理，得
解得，
因为，即售价不能超过25.2元，所以不合题意，应舍去．
故，从而卖出件，
答：需要卖出100件商品，每件售价是25元．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系总利润单件利润数量的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．
【题型1】传播问题
1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人B．9人C．10人D．11人
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
，
整理得：，
解得：，（舍），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人，
故选：A．
2．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（ ）根小分支
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
故每个支干长出个小分支，
故选：C．
3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)第三轮将又有448人被传染
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可．
【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得
，
解得或(舍)．
答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染．
那么第三轮被传染的人数为人．
答：第三轮将又有448人被传染．
4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值．
【答案】的值为6
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键．
小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得（不符合题意，舍去），
答：的值为6．
【题型2】握手、循环比赛问题
5．（21-22九年级上·广东惠州·阶段练习）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请个队参赛，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设应邀请个队参赛，
根据题意得，，
即，
故选：．
6．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（ ）
A．7B．10C．12D．20
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设这次会议参加的人数是x人，
根据题意，得，
解得，
故这次会议参加的人数是10人，
故选：B．
7．（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？
【答案】5个
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键．
设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得：
整理，得：
解得，（不符合题意，舍去），
答：航空公司共有5个飞机场．
8．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题：
(1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展．
数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？
(2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军．
小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？
【答案】(1)平均增长率为
(2)此次参赛一共有8个球队
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
（1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值；
（2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可．
【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为，
可列方程：，解得（舍去）
答：平均增长率为．
（2）解：设此次参赛一共有个球队，
可列方程：，解得，（舍去）
答：此次参赛一共有8个球队．
【题型3】增长率问题
9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）11月28日起江苏省正式上线购买手机最高补贴的优惠活动，某品牌手机店为响应政府优惠政策，进行了两次降价，由3999元降为3399元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据：，列出方程即可．
【详解】解：由题意得：；
故选：D．
10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）目前，新能源汽车在中国市场已进入快速普及阶段，某企业2024年的电动汽车销量是20万辆，计划在两年内使电动汽车的年销量达到40万辆，设在这两年中销量的年平均增长率为，则可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是理解年平均增长率的含义，并根据其列出相应的方程．
根据初始销量，年平均增长率与增长后的销量之间的关系，结合题目中给定的2024年销量和计划达成的销量列出方程．
【详解】根据题意得：．
故答案为：．
11．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某种商品原价为元，经过连续两次降价，发现第二次降价后的价格为元．若两次降价的百分率相同，求降价的百分率．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．设降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设降价的百分率为，
由题意得：，
解得：，（舍去），
答：降价百分率为．
12．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）为丰富学生课后活动，学校成立了“课外阅读社团”，并且不断完善藏书数量，今年3月份课外阅读社团有藏书500册，到今年5月份藏书数量增长到720册．
(1)求课外阅读社团这两个月藏书的平均增长率．
(2)按照这样的增长方式，今年6月份课外阅读社团的藏书量是多少册？
【答案】(1)阅读公园这两个月藏书的平均增长率
(2)估算出今月6月份阅读公园的藏书量是864册
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；
（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．
【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x，
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）
该校这两个月藏书的月均增长率为；
（2）解；（册），
所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是册．
【题型4】面积问题
13．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使空白部分面积是，若设路宽为，则应满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查理解题意的能力，解题的关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程．
设路宽为，所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据要使观赏路面积是，可列方程求解．
【详解】解：设路宽为，则所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据题意得，
，
故选：B．
14．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米．
(1)的长为 米（用含x的代数式表示）
(2)当菜园的面积为时，求的长
(3)菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)8米
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键．
（1）因为设的长为米，则米，即可解答．
（2）根据题意得到，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论．
【详解】（1）解：设的长为米，
∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为28米长的木板(全部使用完），
∴米，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，，
解得：，，
当时，（不合题意舍去），
当时，，
∴米；
（3）解：根据题意得，，
∴
∴
则
该方程无实数解
∴仓库的面积不能为．
15．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）现有可建造围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为．
(1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，和的长分别为多少米？
(2)能否围成总面积为的仓库？说说你的理由．
【答案】(1)能，的长为，的长为；或的长为，的长为；
(2)不能围成面积为的仓库，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
（1）设，则，根据矩形面积公式列出方程求解即可；
（2）设，则，根据矩形面积公式列出方程，看方程是否有解即可得到答案．
【详解】（1）解：设，则，
根据题意得：，
解得：或，
∵，
∴和都满足题意，
∴当时，；
当时，；
∴当，能围成总面积为的仓库，的长为，的长为；或的长为，的长为；
（2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下：
设，则，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库．
16．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在矩形空地上，修建两条平行于 边、一条平行于边的小路，条路等宽，其余部分铺草坪．已知的长为，的长为，铺草坪的单价是元 ，铺草坪的总价为元，求每条小路的宽度.
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每条小路的宽度为，由平移的性质可得，解方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：设每条小路的宽度为，
由题意可得，，
整理得，，
解得，（不合，舍去），
答：每条小路的宽度为．
【题型5】销售问题
17．（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程．
【详解】解：设每盒应降价元，
∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒，
∴销量为：盒，
∵平均每天盈利2240元，
∴，
故选：B．
18．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）商场将进货价为30元/个的台灯以40元/个的价格销售，每月能售出600个，调查表明：这种台灯的销售单价每上涨1元，其月销售量就会减少10个．规定该台灯的销售单价不得低于40元且不得超过60元．为了实现这种台灯的月销售利润为10000元，则销售单价应定为多少元？
【答案】销售单价应定为50元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这种台灯的销售单价上涨x元，则每件的利润为元，销售量为件，再根据总利润为单价利润乘以销售量建立方程求解即可．
【详解】解：设这种台灯的销售单价上涨x元，
由题意得，，
整理得，
解得或（由于销售单价不得低于40元且不得超过60元，故舍去），
，
答：销售单价应定为50元．
19．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件25元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件40元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该件吉祥物每降价1元，月销售量就会在6月的销量基础上增加5件．当该件吉祥物降价多少元时，月销售利润达4250元．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，列方程即可；
（2）设该件吉祥物降价元，则售价为元，每件的利润为元，销售量为件，列方程即可．
【详解】（1）解：设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据题意得，
解得，，（舍去）
∴该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该件吉祥物降价元，则售价为元，每件的利润为元，销售量为件，
根据题意得，，
解得，，（舍去），
所以，当该件吉祥物降价5元时，月销售利润达4250元．
20．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）重庆2023年马拉松于3月19日在南滨路开赛，为了重庆马拉松的顺利进行，组委会委托甲乙两个厂家共同生产纪念恤．根据调研统计，甲厂每小时生产恤80件，乙厂每小时生产恤100件．
(1)若甲、乙两厂一天一共工作20个小时，且共生产1820件恤，则乙厂生产恤多少小时？
(2)在（1）的条件下，为了满足组委会的需求，甲厂生产时间每减少1小时，该厂每小时的产量将增加10件，乙厂生产时间不变，产量也不变，这样一天两厂的总产量仍为1820件，求甲厂减少的生产时间．
【答案】(1)乙厂生产恤11小时
(2)甲厂减少1小时
【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
（1）设乙厂生产恤小时，根据共生产1820件恤得，即可解得答案；
（2）设甲厂减少小时，求出乙厂生产恤11小时，产量为1100件，故，即可解得答案．
【详解】（1）解：设乙厂生产恤小时，则甲厂生产恤小时，
根据题意得：，
解得：，
∴乙厂生产恤11小时；
（2）解：设甲厂减少小时，则每小时产量为件，
由（1）知，乙厂生产恤11小时，产量为1100件，
，
解得：或（舍去），
∴甲厂减少1小时．
【题型6】数字问题
21．（24-25九年级上·福建莆田·期中）第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制是，表示的举办年份．小婷设计了一个进制数，换算成十进制数是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
根据题意列出一元二次方程，解之取合适的值即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，（舍去），
故的值为，
故选：B．
22．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可．
【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，
这个两位数为，
又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数，
，
解得或（舍去），
．
故答案为： ．
23．（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．）
【答案】周瑜去世时年龄为36岁
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为，
则根据题意：，
整理得：，解得，，
由题意，而立之年督东吴，则舍去，
∴周瑜去世的年龄为岁，
24．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题．
(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)最小数为10
(2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题．
【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求，
答：最小数为10；
（2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下：
设最小数为，则另外三个数分别是，，，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80．
【题型7】几何动点问题
25．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（ ）秒后，的面积等于．
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键．
设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案．
【详解】解：设移动时间为秒，
秒，
，
根据题意得，
解得或（不符合题意，舍去），
秒后，的面积等于，
故选：A．
26．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可．
【详解】解：设运动时间为秒，
根据题意得：，，
，，，
，，
，
线段将分成面积的两部分，
或，
即或，
整理得：或（无实数解），
解得：，，
即线段将分成面积的两部分，运动时间为或秒．
故答案为：或．
27．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
【答案】不能，理由见详解
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围．
根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可．
【详解】解：不能，理由如下：
假设运动时间为，根据题意得，
即
整理得，
解得，或
，，所以自变量的取值范围为，
当时，不符合题意；
∴不存在这样的点，
∴四边形的面积不能等于．
28．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求：
(1)当t为多少时，的面积等于？
(2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？
【答案】(1)不存在某一时刻使得的面积等于
(2)当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案．
（2）用含的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值．
【详解】（1）解：不存在．
设出发秒时的面积等于．
，
，
，
，
原方程无实数根，
即不存在某一时刻使得的面积等于．
（2）解：，
，，，
是以为斜边的直角三角形，
，即，
整理得，
解之得，，
即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形．
【题型8行程问题】
29．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解．
根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可．
【详解】解：依题意得：
，
整理得，
解得(不合题意舍去)，，
即行驶需要．
故选：C.
30．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形：
设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，
则，，
由勾股定理得，，
．
故选：A．
31．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．
(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)汽车滑行20米时用了多长时间？
【答案】(1)15米/秒；2秒
(2)15米/秒
(3)秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
（1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米，
则在这段时间内的平均车速为米/秒；
从刹车到停车所用的时间是秒；
（2）从刹车到停车车速的减少值是，
从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，
则这段路程内的平均车速为米/秒，
所以，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒．
32．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时
(2)的值为
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度；
（2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（千米小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；
（2）根据题意得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为．
一、单选题
1．（22-23九年级上·广西河池·期末）我县2019年的平均房价为每平方米7000元，受疫情等因素的影响，2021年平均房价下降到每平方米6400元，设我县房价的年平均下降率为x．根据题意可得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】此题是一元二次方程实际应用类题目，考虑先根据题意找出合适的等量关系式；据题意可得关系式：降低前的房价(这两年房价平均降低率)降低后的房价，进而求解.
【详解】解：设我县房价的年平均下降率为x，
则根据题意有，
故选：A
2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（ ）
A．9B．10C．19D．20
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设参加聚会的人数为人，
由题意可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
故参加聚会的人数为10，
故选：B．
3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含x的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案．
【详解】解∶ 设矩形的边，则，
根据题意，得，
故选∶A．
4．（24-25九年级上·山东聊城·期末）葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】解：若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为，
故选：D
5．（24-25九年级上·河北保定·期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ）
A．26B．30C．32D．36
【答案】D
【分析】本题考查了方向角，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向，
∴，
设甲、乙的时间都是x，则，，
又∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴（舍去），，
∴甲走的路程为（步），
故选：D．
6．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：在中，，，，
∴，
．
当运动时间为时，，，，
依题意得：，即，
解得：（不合题意舍去），
∴点，的运动时间为．
故选：B．
二、填空题
7．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）兔热病是一种传播速度很快的人兽共患传染病，又称土拉菌病或鹿蝇热，一轮传染时间为一天．某养兔场某天发现一例，两天后发现共有169只兔子患有这种病，若每例病兔子传染健康兔子的只数均为x，则 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系(经过两天感染患病的兔一定)列出方程求解．设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染，所以经过两天的传染后感染患病的兔共有：只，根据经过两天的传染后使兔场感染患病的兔，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．
【详解】解：设每只病兔传染健康兔只，则第一天有只兔被传染，第二天有只兔被传染，
根据题意：，
整理得：，
解得：（舍去）或，
故答案为：12．
8．（24-25九年级上·湖南永州·期末）据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，则可列方程 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．据此列出一元二次方程即可．
【详解】解：设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，依题意得，
，
故答案为：．
9．（24-25九年级上·河南郑州·期中）为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米．
【答案】15
【分析】本题考查一元二次方程的应用，若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程．
【详解】解：根据题意，得．
整理，得．
解得（舍去），．
所以，该正方形空地的边长为15米，
故答案为：15．
10．（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的变化规律、一元二次方程的应用，解决本题的关键是结合图形，找出数字的运算规律，利用规律列出一元二次方程解决问题．
【详解】解：第一行有个点，第二行有个点第行有个点，
根据前行共有个点，
可得：，
整理得：，
分解因式可得：，
解得：，(舍去)，
的值为．
故答案为： ．
11．（24-25九年级上·山西大同·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元．
【答案】1250
【分析】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润．
【详解】解：解：设每个玩具售价下降了x元，商场每天的销售利润为y元．降价后商场平均每天可售出箱装小米数量为箱；
由题意得，
∴当时，y有最大值1250．
∴该商场每天获得的利润最大利润是1250元．
故答案为：1250．
12．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
整理得： ，
解得： (不符合题意，舍去)，
故答案为：．
三、解答题
13．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染9个人
(2)1000人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．
（1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解；
（2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
由题意得：，即：
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
答：每轮传染中平均一个人传染9个人．
（2）第一轮的患病人数为：人，
第二轮的患病人数为：人，
则，第三轮的患病人数为：人．
14．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件．
(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？
【答案】(1)平均下降率为
(2)单价应降低元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键：
（1）设平均下降率为，根据平均下降率的等量关系，列出等量关系，进行求解即可；
（2）设单价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设平均下降率为，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：平均下降率为．
（2）设单价应降低元，由题意，得：，
解得：，
∵要尽快减少库存，
∴；
答：单价应降低元．
15．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米．
(1)要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？
(2)鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由．
【答案】(1)鸡场的长应为20米；
(2)鸡场的面积不能达到210平方米，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设鸡场的长为x米，则宽为米，根据鸡场面积200平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）根据鸡场面积210平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
【详解】（1）解：设鸡场的长为x米，则宽为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
答：鸡场的长应为20米；
（2）解：鸡场的面积不能达到210平方米，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴方程无实数根，
∴鸡场的面积不能达到210平方米．
16．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题．
(1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）．
(2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数．
【答案】(1)
(2)最小的数为20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）观察日历表即可推出；
（2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理．
【详解】（1）解：观察图形可得，
故答案为：；
（2）解：设最小的数为，则．
由题意可得，整理得，
解得（舍去），
最小的数为20．
17．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．
(1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)时，的长度等于
(3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时，
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键．
（1）根据距离=速度×时间解答即可；
（2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案；
（3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案．
【详解】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，，，
∴当时，，
解得：或（舍去），
∴当时，的长度等于．
（3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积，
∴，
解得：，，
∵当点运动到点时，两点停止运动，，
∴，
∴，
∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，．
18．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【答案】(1)甲最多施工900米
(2)的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲施工米，
由题意可得：，
解得：．
答：甲最多施工900米．
（2）解：由题意可得：，
整理得，
解得．
答：的值为2．