数学必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦优秀同步测试题

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题型一 两角和与差余弦求值
1．（21-22高一上·云南·期末）已知角θ的终边经过点P2,−7，则csθ+π3=( )
A．6+76B．6−76
C．2−216D．2+216
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出sinθ和csθ，用余弦和角公式展开csθ+π3即可计算.
【详解】∵角θ的终边经过点P2,−7，则P到原点距离为22+−72=3，∴csθ=23，sinθ=−73，
∴csθ+π3=12csθ−32sinθ=2+216.
故选：D.
2．（多选）（22-23高一下·江苏南京·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．存在α，β的值，使cs(α+β)=csαcsβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α，β的值，使cs(α+β)=csαcsβ+sinαsinβ
C．对于任意的α，β，都有cs(α+β)=csαcsβ+sinαsinβ
D．不存在α，β的值，使cs(α+β)≠csαcsβ−sinαsinβ
【答案】AD
【分析】根据两角和的余弦公式，结合特值法判断即可.
【详解】令α=β=0，则cs(α+β)=1，csαcsβ+sinαsinβ=1，此时cs(α+β)=csαcsβ+sinαsinβ，故A正确；
令α=β=2kπ(k∈Z)，cs(α+β)=1，csαcsβ+sinαsinβ=1，此时cs(α+β)=csαcsβ+sinαsinβ，故B错误；
由两角和的余弦公式可知，对于任意的α和β，cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ，故C错误；
不存在α，β的值，使cs(α+β)≠csαcsβ−sinαsinβ，若存在α和β，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确.
故选：AD.
3．（21-22高一下·江苏徐州·阶段练习）已知csα+β=45,csα−β=−45，则csαcsβ的值为 .
【答案】0
【分析】根据两角和与差的余弦公式展开,联立方程即可解得.
【详解】∵csα+β=csαcsβ−sinαsinβ=45……（1）
csα−β=csαcsβ+sinαsinβ=−45……（2）
由（1）+（2）得：2csαcsβ=45+−45=0
∴csαcsβ=0
故答案为：0
4.（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，角α的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P513,1213，将角α的边绕着原点O逆时针旋转π4得到角β，则csβ= ．

【答案】−7226
【分析】由题意可求出sinα=1213,csα=513，进而利用两角和的余弦公式，即可求得答案.
【详解】由题意知角α的始边与单位圆相交于点P513,1213，
故sinα=1213,csα=513，
将角α的边绕着原点O逆时针旋转π4得到角β，
则csβ=cs(α+π4)=csαcsπ4−sinαsinπ4
=513×22−1213×22=−7226，
故答案为：−7226
题型二 两角和与差余弦公式逆用
1．（2023高一下·甘肃兰州·期中）cs10°cs20°−sin10°sin20°等于（ ）
A．32B．−32
C．12D．−12
【答案】A
【分析】根据余弦的两角和公式可得.
【详解】由余弦的两角和公式可得cs10°cs20°−sin10°sin20°=cs30°=32.
故选：A
2．（23-24高一上·福建·期末）cs105°cs45°+sin105°sin45°=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】C
【分析】由两角差的余弦公式逆用即可求解.
【详解】由题意cs105°cs45°+sin105°sin45°=cs105°−45°=cs60°=12.
故选：C.
3．（23-24高一上·广东深圳·期末）计算：sin20°sin80°+cs20°sin170°=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【答案】A
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可.
【详解】sin20°sin80°+cs20°sin170°
=sin20°sin80°+cs20°cs80°
=cs80°−20°=12.
故选：A.
4．（23-24高一下·上海·假期作业）计算：cs20°cs25°−sin20°sin25°= .
【答案】22/122
【分析】由两角和的余弦公式即可得.
【详解】cs20°cs25°−sin20°sin25°=cs20°+25°=cs45°=22.
故答案为：22.
题型三 化简求值
1．（21-22高一下·四川成都·阶段练习）化简cs(x+y)cs(x−y)−sin(x+y)sin(x−y)的结果为（ ）
A．sin2xxB．cs2x
C．−cs2xD．−cs2y
【答案】B
【分析】根据两角和的余弦公式计算可得；
【详解】解：cs(x+y)cs(x−y)−sin(x+y)sin(x−y)
=cs(x+y)+(x−y)=cs2x
故选：B
2．（19-20高一·四川成都·期末）化简cs50°+cs70°−cs10°的结果为（ ）
A．0B．2cs10°C．−2cs10°D．2sin10°
【答案】A
【分析】利用cs70°=cs(40°+30°),cs10∘=cs(40°−30°)结合和差角的余弦公式化简即得解.
【详解】cs50°+cs70°−cs10° =cs50°+cs(40°+30°)−cs(40°−30°)
=cs50°+cs40°cs30°−sin40°sin30°−cs40°cs30°−sin40°sin30°
=cs50°−sin40°=cs50°−cs50°=0．
故选：A
【点睛】本题主要考查和角差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3. （20-21高一下·上海黄浦·期中）化简sinαsinβ+12csα+β−csα−β= .
【答案】0
【分析】由两角和与差的余弦公式化简，
【详解】cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ，cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ，
化简原式=sinαsinβ+12×(−2sinαsinβ)=0
故答案为：0
4．（22-23高一上·甘肃张掖·开学考试）化简：2cs80°−sin70°cs70°值是 ．
【答案】−3
【分析】利用和差角的余弦公式和诱导公式进行化简即可
【详解】解：2cs80°−sin70°cs70°=2cs60°+20°−sin90°−20°cs90°−20°
=2cs60°cs20°−sin60°sin20°−cs20°sin20°=−3sin20°sin20°=−3，
故答案为：−3
题型四 加减型凑角求值
1．（19-20高一下·湖北武汉·阶段练习）已知csα=255，sinα−β=−1010，α、β ∈0,π2，则csβ的值为（ ）
A．22B．6−24
C．32D．12
【答案】A
【分析】由α、β的范围求出α−β的范围，由题意，利用平方关系求出sinα和csα−β，由两角和与差的余弦公式求出csβ的值即可.
【详解】解：∵ α、β ∈0,π2，−β∈−π2,0，
∴ sinα=1−2552=55，α−β∈−π2,π2
∵ sinα−β=−1010<0，
∴ α−β∈−π2,0.
∴ csα−β=1−10102=31010.
∴ csβ=csα−α−β
=csα⋅csα−β+sinα⋅sinα−β
=255×31010+55×−1010=22.
故选：A.
【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.
2．（2021高一下·全国·专题练习）若cs(α－β)＝55，cs 2α＝1010，并且α为锐角，β为钝角，则α＋β的值为 .
【答案】3π4
【分析】求得csα+β的值，由此求得α+β.
【详解】π2<α+β<3π2,−π<α−β<0,0<2α<π,sinα−β=−255,sin2α=31010，
∴sin(α＋β)＝sin[2α－(α－β)]
＝sin2αcs(α－β)-cs2αsin(α－β)
=31010×55−1010×−255=22，
所以α+β=3π4.
故答案为：3π4
3．（2024高一下·江苏·专题练习）已知α,β∈π2,π，且sinα=45,cs(α+β)=−1665，求csβ的值.
【答案】−204325
【分析】根据同角三角函数基本关系式及两角差的余弦公式可得结果.
【详解】因为α,β∈π2,π，所以π<α+β<2π,因为sinα=45,cs(α+β)=−1665<0，
所以π<α+β<3π2，又csα=−1−sin2α=−35，
sinα+β=−1−cs2α+β=−6365，
所以csβ=csα+β−α=csα+βcsα+sinα+βsinα
=−1665×−35+−6365×45=−204325，
故csβ的值为−204325.
4．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知α,β∈0,π2，且csα+β=35,sinα=55，则csβ=（ ）
A．−55B．2525C．255D．11525
【答案】C
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π，
因此sin2α+β=1−cs2α+β=45,csα=1−sinα=255，
于是有csβ=csα+β−α=csα+βcsα+sinα+βsinα
=35×255+45×55=255，
故选：C
题型五 已知一个角型凑角求值
1．（22-23高一下·全国·课时练习）已知csα=17，α∈0,π，则csα+π3= ．
【答案】−1114
【分析】首先根据正余弦的平方关系求出sinα的值，再利用余弦两角和公式化简csα+π3，把得到的sinα，csα代入即可．
【详解】∵ csα=17，α∈0,π，
∴sinα=1−cs2α=1−149=437，
∴csα+π3=csαcsπ3−sinαsinπ3=17×12−437×32=−1114
故答案为：−1114.
2．（21-22高一下·上海虹口·期末）已知sin2β+π6=35，π6≤β≤5π12，则cs2β= .
【答案】3−4310
【分析】根据β的取值范围，利用平方关系得cs2β+π6=−45，利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】解：因为π6≤β≤5π12，所以π2≤2β+π6≤π，
又sin2β+π6=35，则cs2β+π6=−45，
则cs2β=cs2β+π6−π6 =cs2β+π6csπ6+sin2β+π6sinπ6=−45×32+35×12=3−4310.
故答案为：3−4310.
3．（23-24高一下·河南·开学考试）已知sinα+π3=35,α∈0,π2，则csα−5π12=（ ）
A．7210B．−210C．210D．−210或7210
【答案】A
【分析】由sinα+π3，计算csα+π3，由csα−5π12=csα+π3−3π4，利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由α∈0,π2，得α+π3∈π3,5π6，因为sinα+π3=35<32，所以α+π3∈2π3,5π6，则csα+π3=−45，
csα−5π12=csα+π3−3π4=csα+π3cs3π4+sinα+π3sin3π4 =−45×−22+35×22=7210.
故选：A
4．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知角α∈(0,π)，且csα=−35.
(1)求sin(π−α)的值;
(2)求cs(α−π4)的值.
【答案】(1)45
(2)210
【分析】根据同角三角函数的关系求得sinα=45，结合诱导公式和两角差的余弦公式分别计算即可求解.
【详解】（1）由题意知，sinα=1−cs2α=45，
所以sin(π−α)=sinα=45；
（2）由（1）知，sinα=45，
所以cs(α−π4)=22csα+22sinα=22×15=210.
题型六 平方型凑角求值
1．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）已知csα+csβ=12，sinα−sinβ=14，则cs(α+β)的值为（ ）
A．−516B．516C．−2732D．2732
【答案】C
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式，计算求得cs(α+β)的值．
【详解】∵csα+csβ=12，sinα−sinβ=14，
∴平方相加可得2+2csα⋅csβ−2sinα⋅sinβ=516，
求得2cs(α+β)=−2716，即cs(α+β)=−2732．
故选：C．
2．（22-23高一下·江苏徐州·期中）已知csα−csβ=12，sinα+sinβ=13，则csα+β的值为（ ）
A．−1372B．1372C．−5972D．5972
【答案】D
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】csα−csβ2=cs2α−2csαcsβ+cs2β=14，
sinα+sinβ2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=19，
两式相加得2−2csαcsβ−sinαsinβ=2−2csα+β=14+19=1336，
∴csα+β=5972.
故选：D.
3．（20-21高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知sinα+sinβ=13,csα+csβ=−23，则csα−β= .
【答案】−56
【分析】利用三角函数的平方关系，结合余弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为sinα+sinβ=13,csα+csβ=−23，
所以sin2α+2sinαsinβ+sin2β=19cs2α+2csαcsβ+cs2β=29，
两相加得2+2csα−β=13，得csα−β=−56.
故答案为：−56.
4．（2023高一上·全国·专题练习）设α,β,γ∈0,π2，且sinβ+sinγ=sinα,csα+csγ=csβ，则β−α等于（ ）
A．−π3B．π6C．π3或−π3D．π3
【答案】A
【分析】由条件消掉γ，利用两角和差的余弦公式即可得到结论.
【详解】由sinβ+sinγ=sinα,csα+csγ=csβ，
得sinγ=sinα−sinβ,csγ=csβ−csα，
平方得sinγ2=sinα−sinβ2=sinα2+sinβ2−2sinαsinβ，
csγ2=csβ−csα2=csα2+csβ2−2csαcsβ，
相加得1=2−2csβ−α，
即csβ−α=12，
又由α,β,γ∈0,π2，sinγ=sinα−sinβ>0知sinα>sinβ，则α>β，即β−α<0，
故β−α=−π3，
故选：A．
题型七 两角和与差在三角形中的应用
1．（20-21高一上·全国·课时练习）在△ABC中，sinA=45,csB=−1213，则csA−B= .
【答案】−1665
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sinA，csB，再利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】因为csB=−1213，且0所以sinB=1−cs2B=513，且0所以csA=1−sin2A=35，
所以cs(A-B)=csAcsB+sinAsinB=35×−1213+45×513=−1665.
故答案为：−1665
2．（20-21高一上·浙江台州·期末）在△ABC中，若A=π3，csB=13，则csC= ．
【答案】26−16
【解析】由C=π−(A+B)，可得csC=−cs(A+B)，结合两角和的余弦公式，即可求解.
【详解】在△ABC中，由csB=13，可得sinB=223，
又由C=π−(A+B)，可得csC=−cs(A+B)，
因为cs(A+B)=csAcsB−sinAsinB=12×13−32×223=1−266,
所以csC=26−16.
故答案为：26−16.
3．（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）在△ABC中，若sinAsinBA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
【答案】C
【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得csC<0，即可判断C为钝角.
【详解】由题意，得csAcsB−sinAsinB>0．即cs(A+B)=−csC>0,
所以csC<0．
又0故选：C
4．（多选）（23-24高一上·广东深圳·期末）已知A,B,C是△ABC的三个内角，下列条件是“csAcsBcsC<0”的一个充分不必要条件的为（ ）
A．sinA+B>0B．csA+B>0
C．sinA−B<0D．csA−B<0
【答案】BD
【分析】根据题意要逐一判断由选项能否推出csAcsBcsC<0，推出△ABC为钝角三角形，其中A,C项都无从推出钝角，B项可以利用诱导公式判断C是钝角，D项利用两角差的余弦公式可推得csAcsB<0，从而得出钝角.
【详解】对于A选项，由sinA+B>0可得sinC>0，则C可以是锐角或者钝角，无法判断csAcsBcsC的符号，故A项错误；
对于B选项，由csA+B>0可得csC<0，因0反过来，由csAcsBcsC<0可得A,B,C中必有一个钝角，当A=60∘,B=100∘时,csA+B=cs160∘<0，故B项正确；
对于C选项，当 sinA−B<0时，如果取A=30∘,B=90∘,则C=60∘，此时csAcsBcsC=0，不合题意，故C项错误；
对于D选项，由csA−B<0可得csAcsB+sinAsinB<0,即csAcsB<−sinAsinB，因00,
则csAcsB<0，即A,B中必有一个是钝角，从而C是锐角，即csAcsBcsC<0必成立，
反过来，由csAcsBcsC<0可得A,B,C中必有一个钝角，当A=60∘,B=100∘时,csA−B=cs(−40∘)>0，故D项正确.
故选：BD.
1．（23-24高一上·广东广州·期末）在△ABC中，B=π3，且csA+csC=−22csAcsC，则csA−C2= ．
【答案】22
【分析】将A−C2设为α，然后把角A,C都用α表示，展开求解.
【详解】设α=A−C2，则A−C=2α，因为A+C=π−B=2π3，
所以A=π3+α,C=π3−α.
由已知可得csπ3+α+csπ3−α=−22csπ3+αcsπ3−α
所以2csπ3csα=−22csπ3csα2−sinπ3sinα2
所以22cs2α+csα−322=0，解得csα=22或csα=−324<−1（舍）
故答案为：22
2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P1csα,sinα,P2csα+π3,sinα+π3，P3csα−π6,sinα−π6，则下列说法错误的是（ ）
A．线段OP2与OP3的长均为1B．线段P2P3的长为1
C．当α=π3时，点P1,P2关于y轴对称D．当α=13π12时，点P1,P3关于x轴对称
【答案】B
【分析】结合同角三角函数的平方关系，计算线段OP2与OP3的长，判断A；利用两点间距离公式结合两角差的余弦公式，可判断B；根据三角函数特殊值求出P1,P2坐标，判断C；结合诱导公式化简可得P1,P3坐标，判断D.
【详解】对于A，|OP2|=cs2α+π3+sin2α+π3=1,
|OP3|=cs2α−π6+sin2α−π6=1，则线段OP2与OP3的长均为1，A说法正确；
对于B，|P2P3|=csα+π3−csα−π62+sinα+π3−sinα−π62
=2−2csα+π3csα−π6−2sinα+π3sinα−π6
=2−2csα+π3−α−π6=2−2csπ2=2，B说法错误；
对于C，当α=π3时，P1csπ3,sinπ3，即P112,32，
P2cs2π3,sin2π3，即P2−12,32，故点P1,P2关于y轴对称，C说法正确；
对于D，当α=13π12时，P1cs13π12,sin13π12，即P1−csπ12,−sinπ12
P3cs13π12−π6,sin13π12−π6，即P3−csπ12,sinπ12，
则点P1,P3关于x轴对称，D说法正确，
即说法错误的是B，
故选：B
3．（23-24高一上·广东广州·期末）已知cs40°−θ+cs40°+θ+cs80°−θ=0，则tanθ= ．
【答案】−3
【分析】利用三角函数两角和与差的余弦公式化简计算可得结果.
【详解】由cs40°−θ+cs40°+θ+cs80°−θ=0可得，
cs40∘csθ+sin40∘sinθ +cs40∘csθ−sin40∘sinθ +cs80∘csθ+sin80∘sinθ=0，
所以2cs40∘csθ+cs80∘csθ+sin80∘sinθ=0，
化简得2cs40∘+cs80∘+sin80∘tanθ=0，
故tanθ=−2cs40∘+cs80∘sin80∘ =−2cs120∘−80∘+cs80∘sin80∘
=−2cs120∘cs80∘+sin120∘sin80∘+cs80∘sin80∘
=−3sin80∘sin80∘
=−3
故答案为：−3.