高中数学人教B版 (2019)必修 第三册同角三角函数的基本关系式教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册同角三角函数的基本关系式教案，共5页。教案主要包含了复习导入，探究新知，例题剖析，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、复习导入
1.在角的终边上任取一点，它与原点的距离为1，请分别写出角的正弦、余弦和正切值.
2.若角在第二象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线.
二、探究新知
1.大家请思考：同一个角的正弦、余弦和正切之间有什么关系呢？
大家不妨先看课前提出的几个特殊的例子：
（1）_________.
（2）_________.
（3）_________，_________.
我们通过计算发现（1）（2）的结果都是1，（3）两空都是，那么对于任意角，是否也会有与成立？如果成立，你能进行简单的证明吗？
师：我们已经知道，如果是终边上不同于坐标原点的点，记，则
.
由此可看出
2.探究：三角函数可以结合单位圆上点的坐标来定义，你能从圆的几何性质出发，讨论验证一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？
如图：以正弦线，余弦线和半径OP三者的长
构成直角三角形，而且.由勾股定理得，因此，即.
根据三角函数的定义，当时，有.
3.结论：同角三角函数的基本关系式：
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
注意：
（1）是的缩写，读作“的平方”，不能将写成.
（2）“同角”的概念与角的表达形式无关.
（3）据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式时，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）.
三、例题剖析
例1 已知，且在第二象限，求角的余弦与正切.
解：.
又在第二象限，.
例2 已知，且在第二象限，求角的余弦与正弦.
分析：我们把与看成两个未知数，这样只要列出关于与的两个独立的关系式，通过解关于这两个未知数的联立方程组，就可以求出与.
解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有：
由②得，代入①整理得，所以.因为在第二象限，所以，因此.
小结：
（1）如果已知某个角的一个三角函数值，且角所在的象限是确定的，那么只有一种结果.
（2）如果只给出了某个角的三角函数值，那么要按角所在的象限进行讨论.
例3 已知，求的值.
解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有
消去可得，解得或.
当时，；
当时，.
例4 化简.
解：原式.
例5 求证：（1）；
（2）；
（3）.
证明：（1）原式左边
右边，
因此
.
（2）原式右边
左边，
因此
.
（3）方法一（利用平方关系）：
由题知，因而，即，左边右边，等式成立.
方法二（利用比例关系）：
，且，
.
方法三（作差）：
，
.
小结证明三角恒等式的方法：
（1）从恒等式的一侧入手进行变换，使其和另一侧的形式一致.
（2）将恒等式两边作差，化简令其等于0，或将恒等式两边作商，化简令其等于1.
（3）恒等式两边都是分式形式时，可以采用两边交叉相乘看结果是否相等的方法，但要保证两边的分母均不为0.
四、课堂小结
1.同角三角函数基本关系式的前提是“同角”.
2.利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号.
五、布置作业
教材第26页练习A第1~3题.
板书设计
，
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，
.
7.2.3 同角三角函数的基本关系式
一、复习导入
二、探究新知
三、例题剖析
例1
例2 小结
例3
例4
例5 三种证明方法 小结
四、课堂小结
五、布置作业