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    数学人教B版 (2019)7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案及答案

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    这是一份数学人教B版 (2019)7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案及答案,共5页。学案主要包含了教学过程等内容,欢迎下载使用。

    【教学过程】
    一、问题导入
    我们已经学习了正弦、余弦、正切的定义和三角函数线,那么同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系?
    这节课就让我们来学习——同角三角函数的基本关系式。
    二、新知探究
    1.应用同角三角函数关系求值
    【例1】(1)若sin α=-eq \f(4,5),且α是第三象限角,求cs α,tan α的值;
    (2)若cs α=eq \f(8,17),求tan α的值;
    (3)若tan α=-eq \f(15,8),求sin α的值。
    [思路探究]对(1)中明确α是第三象限角,所以只有一种结果。对(2),(3)中未指出角α所在象限的情况,需按α所在象限讨论,分类求解,一般有两种结果。
    【解】(1)∵sin α=-eq \f(4,5),α是第三象限角,
    ∴cs α=-eq \r(1-sin2α)=-eq \f(3,5),
    tan α=eq \f(sin α,cs α)=-eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(5,3)))=eq \f(4,3)。
    (2)∵cs α=eq \f(8,17)>0,
    ∴α是第一、四象限角。
    当α是第一象限角时,
    sin α=eq \r(1-cs2α)=eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)))2)=eq \f(15,17),
    ∴tan α=eq \f(sin α,cs α)=eq \f(15,8);
    当α是第四象限角时,
    sin α=-eq \r(1-cs2α)=-eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,17)))eq \s\up24(2))=-eq \f(15,17),
    ∴tan α=-eq \f(15,8)。
    (3)∵tan α=-eq \f(15,8)<0,
    ∴α是第二、四象限角。
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α=\f(sin α,cs α)=-\f(15,8),,sin2α+cs2α=1,))
    可得sin2α=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,17)))eq \s\up24(2)。
    当α是第二象限角时,sin α=eq \f(15,17);
    当α是第四象限角时,sin α=-eq \f(15,17)。
    [教师小结]
    利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法:
    (1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系;
    (2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果。
    2.应用同角三角函数关系化简
    【例2】若sin α·tan α<0,化简eq \r(\f(1-sin α,1+sin α))+eq \r(\f(1+sin α,1-sin α))。
    【解】∵sin α·tan α<0,∴cs α<0.
    原式=eq \r(\f(1-sin α1+sin α,1+sin α2))+eq \r(\f(1+sin α1-sin α,1-sin α2))
    =eq \f(|cs α|,|1+sin α|)+eq \f(|cs α|,|1-sin α|)=eq \f(-cs α,1+sin α)+eq \f(-cs α,1-sin α)=eq \f(-2cs α,1-sin2α)=-eq \f(2,cs α)。
    [教师小结]解答此类题目常用的方法有:
    (1)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的。
    (2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的。
    (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cs2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的。
    3.三角恒等式的证明
    [探究问题]
    (1)证明三角恒等式常用哪些方法?
    【提示】(1)从右证到左。
    (2)从左证到右。
    (3)证明左右归一。
    (4)变更命题法。如:欲证明eq \f(M,N)=eq \f(P,Q),则可证MQ=NP,或证eq \f(Q,N)=eq \f(P,M)等。
    (2)在三角函数的化简和证明问题中,常利用“1”的代换求解,常见的代换形式有哪些?
    【提示】sin2α+cs2α=1,tan eq \f(π,4)=1.
    【例3】求证:(1)eq \f(sin α-cs α+1,sin α+cs α-1)=eq \f(1+sin α,cs α);
    (2)2(sin6 θ+cs6 θ)-3(sin4 θ+cs4 θ)+1=0.
    [思路探究]解答本例题可以从左边推到右边,也可以作差比较。关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧。
    【证明】(1)左边
    =eq \f(sin α-cs α+1sin α+cs α+1,sin α+cs α-1sin α+cs α+1)
    =eq \f(sin α+12-cs2α,sin α+cs α2-1)=eq \f(sin2α+2sin α+1-1-sin2α,sin2α+cs2α+2sin αcs α-1)
    =eq \f(2sin2α+2sin α,1+2sin αcs α-1)=eq \f(2sin αsin α+1,2sin αcs α)=eq \f(1+sin α, cs α)=右边,
    ∴原等式成立。
    (2)左边=2[(sin2θ)3+(cs2θ)3]-3(sin4θ+cs4θ)+1
    =2(sin2θ+cs2θ)(sin4 θ-sin2θcs2θ+cs4θ)
    -3(sin4θ+cs4θ)+1
    =(2sin4θ-2sin2θcs2θ+2cs4θ)-(3sin4θ+3cs4θ)+1
    =-(sin4θ+2sin2θcs2θ+cs4θ)+1
    =-(sin2θ+cs2θ)2+1=-1+1=0=右边,
    ∴原等式成立。
    [教师小结]
    (一)证明恒等式常用的思路是:
    (1)从一边证到另一边,一般由繁到简;(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;(3)比较法(作差,作比法)。
    (二)常用的技巧有:(1)巧用“1”的代换;(2)化切为弦;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)。
    (三)解决此类问题要有整体代换思想。
    三、课堂总结
    1.同角三角函数基本关系式的变形形式
    (1)平方关系:1-sin2 α=cs2 α,1-cs2 α=sin2 α。
    (2)商数关系:sin α=tan α·cs α,cs α=eq \f(sin α,tan α)。
    2.已知sin α±cs α,整体代入求值
    已知sin α±cs α求值的问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解。涉及的三角恒等式:
    (sin α+cs α)2=1+2sin α csα;
    (sin α-cs α)2=1-2sin α csα;
    (sin α+cs α)2+(sin α-cs α)2=2;
    (sin α-cs α)2=(sin α+cs α)2-4sin α cs α。
    所以知道sin α+cs α,sin α-cs α,sin α·cs α这三者中任何一个,另两个式子的值均可求出。
    3.应用平方关系式由sin α求cs α或由cs α求sin α时,注意α的范围,如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论,以便确定其符号。
    四、课堂检测
    1.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是( )。
    A.tan α=-eq \f(sin α,cs α)B、Cs α=-eq \r(1-sin2 α)
    C.sin α=-eq \r(1-cs2 α)D.tan α=eq \f(cs α,sin α)
    【答案】B
    【解析】由商数关系可知A,D项均不正确,当α为第二象限角时,cs α<0,sin α>0,故B项正确。
    2.已知α是第四象限角,cs α=eq \f(12,13),则sin α等于( )。
    A.eq \f(5,13)B.-eq \f(5,13)
    C.eq \f(5,12)D.-eq \f(5,12)
    【答案】B
    【解析】由条件知sin α=-eq \r(1-cs2α)
    =- eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))eq \s\up24(2))=-eq \f(5,13)。
    3.已知sin α+cs α=eq \f(1,2),则sin αcs α=________。
    【答案】-eq \f(3,8)
    【解析】∵sin α+cs α=eq \f(1,2),
    ∴(sin α+cs α)2=eq \f(1,4)。
    ∴sin2α+2sin αcs α+cs2α=eq \f(1,4)。
    ∴1+2sin αcs α=eq \f(1,4)。
    ∴sin αcs α=-eq \f(3,8)。
    4.已知tan α=eq \f(4,3),且α是第三象限的角,求sin α,cs α的值。
    【解】由tan α=eq \f(sin α,cs α)=eq \f(4,3)得
    sin α=eq \f(4,3)cs α。①
    又∵sin2α+cs2α=1,②
    由①②得eq \f(16,9)cs2α+cs2α=1.
    ∴cs2α=eq \f(9,25)。
    又∵α是第三象限的角,
    ∴cs α=-eq \f(3,5)。
    ∴sin α=eq \f(4,3)cs α=-eq \f(4,5)。教学目标
    核心素养
    1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用。(重点)
    2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。(难点)
    1.通过同角三角函数基本关系式推理,培养学生的逻辑推理素养。
    2.借助同角三角函数基本关系式的应用,提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养。
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