高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.3 同角三角函数的基本关系式学案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。
同角三角函数的基本关系  【学习目标】1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式： ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【学习重难点】公式的灵活运用【学习过程】要点梳理要点一：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：（3）倒数关系：，，要点诠释：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；（2）是的简写；（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形：，2．商数关系式的变形。典型例题类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．若，且是第三象限角，求cos，tan的值。思路点拨：由求，可利用公式，同时要注意角所在的象限。答案   解析 ： ∵，是第三象限，∴，。总结升华：解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。变式1：已知，求cos，tan的值。解析：因为，所以是第三或第四象限角。由sin2+coS2=1得。当是第三象限角时，cos＜0，于是，从而；当是第四象限角时，cos＞0，于是，从而。类型二：利用同角关系求值例2．已知：求：（1）的值；（2）的值；（3）的值；（4）及的值思路点拨：同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。答案：（1）（2）（3）0（4）或解析：（1）由已知 （2）（3）（4）由，解得或总结升华：本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。举一反三：变式1：已知，求下列各式的值：（1）tan+cot；（2）sin3－coS3。解析： 由两边平方得。（1）。（2）    。例3．已知：，求：（1）；（2）；（3）。解析：（1）原式=（2）原式=（3）原式=         =       ==总结升华:已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c coS2的值，注意将分母的1化为1=sin2+coS2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三：变式1:已知，求下列各式的值。（1）（2）解析:类型三：利用同角关系化简三角函数式例4．化简：（1）；（2）若，化简。思路点拨:把根号下面的式子化成完全平方式，开方去掉根号。解析  （1）原式               。（2）∵，∴sin＜0，∴原式      ∵sin＜0，∴原式。总结升华:解答此题目常用的方法有：（1）化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的。（2）对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2+coS2=1，以降低函数次数，达到化简的目的。    举一反三：变式1:化简（1）；  （2）；答案:（1）－1（2）解析（1）原式=（2）原式=类型四：利用同角关系证明三角恒等式例5．求证：（1）；（2）。思路点拨:利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。证明（1）左边               =右边，∴原等式成立。（2）左边                  =右边，∴原等式成立。总结升华:（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本题也可从右到左证明。举一反三：变式:求证：。解析:证法一：由题意知，所以。∴左边=右边。∴原式成立。证法二：由题意知，所以。又∵，∴。证法三：由题意知，所以。，∴。