中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 上册余弦函数的图像和性质教学设计

这是一份中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 上册余弦函数的图像和性质教学设计，共7页。教案主要包含了教学内容解析，教学目标设置，教学重难点设置，学生学情分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
本节内容是中职数学高教版基础模块的“余弦函数的图像和性质”。余弦函数作为三角函数的重要组成部分，其图像和性质的学习对于学生理解三角函数的整体概念、掌握函数的分析方法以及后续学习三角恒等变换等内容具有重要意义。通过本节课的学习，学生将能够掌握余弦函数的图像特征，理解其周期性、奇偶性、单调性等性质，并能够运用这些性质解决相关问题。
二、教学目标设置
知识与技能目标
学生能够使用“五点作图法”绘制并理解余弦函数的基本图像。
掌握余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性。
能够确定余弦函数的最大值和最小值以及对应的 x 值。
过程与方法目标
通过观察余弦函数的图像，培养学生分析问题和解决问题的能力。
通过对比正弦函数和余弦函数的图像，引导学生发现函数之间的联系与区别，提升学生的类比思维能力。
情感态度与价值观目标
激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的数学思维能力和数学素养。
通过小组合作探究，培养学生的团队协作精神和自主学习能力。
三、教学重难点设置
重点：
使用“五点作图法”绘制余弦函数的图像。
理解余弦函数的周期性、奇偶性和单调性。
确定余弦函数的最大值和最小值及对应的 x 值。
难点：
理解余弦函数的单调性，尤其是如何从图像中抽象出单调区间的规律。
运用余弦函数的性质解决实际问题，如求解复合函数的最大值和最小值。
四、学生学情分析
中职学生在数学学习上可能存在基础薄弱、学习兴趣不足等问题。在学习余弦函数之前，学生已经学习过正弦函数的图像和性质，对三角函数有一定的初步认识，但对余弦函数的理解可能还比较模糊。因此，在教学过程中，需要通过直观的图像展示、具体的实例分析和引导学生自主探究的方式，帮助学生逐步理解和掌握余弦函数的图像和性质。同时，要注意引导学生将正弦函数和余弦函数进行对比学习，帮助学生建立知识体系，提高学习效率。
五、教学过程设计
六、教学反思
在本节课的教学过程中，通过“五点作图法”引导学生绘制余弦函数的图像，学生能够积极参与并掌握基本的作图方法。在讲解余弦函数的性质时，通过对比正弦函数的性质，学生更容易理解和接受。但在讲解单调性时，部分学生对单调区间的规律理解不够透彻，需要在后续的教学中加强练习和引导。此外，在课堂互动环节，学生的参与度较高，但个别学生仍存在被动接受的情况，需要在今后的教学中进一步关注学生的个体差异，因材施教，提高教学效果。教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
第一环节：导入环节
仿照前面所学方法作出余弦函数 y=csx在[0,2π]上的图像
(1) 列表: 把区间[0, 2π]分成12等份, 分别求出y= csx在各点及区间端点的余弦函数值.
(2) 描点作图：根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到余弦函数y＝csx 在 [0,2π]上的图像.
观察函数y=csx在[0，2π]上的图像发现，在确定图像的形状时，起关 y=csx键作用的点有以下五个，描出这五个点后，余弦函数的图像就基本确定了.
(0, 1),π20,π−1,3π20,2π1
教师提出问题，引导学生思考并回答，共同探讨余弦函数与正弦函数的异同点。
通过提问和引导，帮助学生建立新旧知识之间的联系，为后续深入学习奠定基础。
第二环节：新课讲解环节
余弦函数 y=csx,x∈R的图像
因为余弦函数的周期也是2π，所以只要将函数y=c y=csx在[0, 2π]上的图像沿x轴向左或向右平移 2kπk∈Z,，就可得到余弦函数y： y=csx, x∈R的图像.
对比y＝sinx，y＝csx,x∈R的图像
把正弦函数 y=sinx,x∈R的图像向左平移 π2个单位长度，就得到余弦函数y=cs y=csx, x∈R的图像.
利用研究正弦函数的经验，可否从余弦函数的定义域、周期性、值域、奇偶性和单调性等方面来研究余弦函数的性质呢?
余弦函数的定义域为R
余弦函数的周期是2 2kπk∈Z,，最小正周期是2π.
余弦曲线分布在两条直线 y=−1和 y=1之间， 即对任意的x，都有 ∣csx∣≤1成立. 因此，余弦函数的值域是[1， 1].
当 x=2kπk∈Z时， y取最大值， ymax=1;
当 x=π+2kπk∈Z时， y取最小值， ymin=−1.
余弦曲线关于y轴对称，所以余弦函数是偶函数
也可由诱导公式 cs−x=csx符合偶函数的定义 f−x=fx得证
观察余弦函数的图像，请你写出它的单调增区间.
能否找一个形式将这些单调增区间统一起来?请观察你列出来的单调增区间，他们的左、右端点之间有关系吗?有何关系?你能得到单调增区间的一般结论吗?
余弦函数在每一个闭区间| 2kπ−π2kπk∈Z上都单调递增，其值从 −1增大到1.
余弦函数的单调性
余弦函数在每一个闭区间| 2kπ−π2kπk∈Z上都单调递增，其值从 −1增大到1.
余弦函数在每一个闭区间[ 2kπ2kπ+πk∈Z上都单调递减，其值从1减小到 −1.
教师提问，学生回答或发表看法，共同完成知识点的学习。
通过提问和讨论，增强学生的参与感和理解深度，促进知识的内化。
第三环节：例题讲解环节
例1 利用五点法作出函数y=-csx在[0, 2π]上的图像. y=−csx
解
(1)取点、列表
x
0
π2
π
3π2
2π
csx
1
0
−1
0
1
-csx
−1
0
1
0
−1
(2)描点、画图
例2 利用五点法作出函数 y=2csx在[0, 2π]上的图像.
解
(1)取点、列表
x
0
π2
π
3π2
2π
csx
1
0
−1
0
1
2csx
2
0
−2
0
2
(2)描点、画图
例2 求函数y=3csx＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合．
解 由余弦函数的性质知，−1≤csx≤1，所以−3≤3csx≤3，
从而 −2≤3csx+1≤4，即 −2≤y≤4 ．
故函数的最大值为4，最小值为−2 ．
函数y=3csx+1取最大值时的x的集合，就是函数y=csx取得最大值时的x的集合 {x|x=2kπ， k∈Z}；
函数y=3csx + 1取最小值时的x的集合，就是函数y=csx取得最小值时的x的集合 {x|x=2kπ+π， k∈Z}．
例3 不求值比较下列各组数值的大小：
（1）cs 2π/5与cs4π/5；（2）cs(−π/10)与cs(−π/8)．
解 （1）因为0< 2π/5 < 4π/5 cs4π/5 ．
（2）因为−π