高教版（2021·十四五）基础模块 上册4.7 余弦函数的图像和性质优秀教学设计及反思

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4.7 余弦函数的图像和性质
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
2 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课通过类比正弦函数的图像和性质，学习余弦函数的图像和性质，借助代数运算与几何直观，认识余弦函数的图像与性质，学习运用
“五点法”可以画出余弦函数在一个周期上的简图．
教学目标
学会借鉴正弦函数的图像与性质的研究方法，研究余弦函数的图像与性质，能根据余弦曲线理解余弦函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，逐步提升逻辑推理等核心素养；能用“五点法”作出余弦函数在［0，2π］上的图像；逐步提升直观想象等核心素养；能根据余弦函数的性质解决简单的相关问题，逐步提升逻辑推理和直观想象等核心
素养．
教学
重点
余弦函数的性质．
教学
难点
用五点作图法作出函数在一个周期内的图像．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
我们用描点法作出了正弦函数 y＝sinx 在[0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度)得到了正弦函数 y＝ sinx, x∈R 的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．
对于余弦函数 y＝csx, x∈R, 可否用同样
的方法来研究？
提问
启发
引导
思考
作答
交流
通过类比强调知识间的联系
探索新知
用描点法作出余弦函数 y＝csx 在 [0,2π]
上的图像.
(1)列表.把区间[0,2π]分成 12 等份, 分别求出函数 y=csx 在各分点及区间端点的正弦函数值.
讲解
理解
数形结合说明问题
借
图说
(2)描点作图.根据表中 x，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x, y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数 y＝csx 在 [0,2π]上的图像.
不难看出，下面五个点
(0,1) ，   ,0  ， ，1 ，   ，0  ， ，1 ,
 2 2

是确定余弦函数 y＝csx 在[0,2π]上的图像的关键点．因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图．
由诱导公式 cs(2kπ+x)＝csx (k∈Z)可知， 将函数
y＝csx 在[0,2π]上的图像沿 x 轴向左或向右平移 2π，4π，…，就得到了余弦函 y＝cs x，x∈ R 的图像．余弦函数的图像也称为余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内，可以看出：把正弦函数 y＝
学生通
过观察
思考参
与知识
形成过
助
观察
程感受
形
图形
探索和
明
思考
发现的
乐趣
强调函
讲解
领会
数周期
性在余
弦函数
作图中
说明
理解
的重要
作用
讲解
借助
图形
思考
说明
多角度
sinx，x∈R 的图像向左平移 个单位长度，就得
2
到余弦函数 y＝cs x，x∈R 的图像．
温馨提示
若将正弦函数 y＝sinx, x∈R 的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数 y＝cs x, x∈R 的图像, 如果是, 需平移多少？
观察余弦曲线，类比正弦函数 y＝sinx，x∈ R 的性质，得到余弦函数 y＝cs x，x∈R 的性质：
定义域.余弦函数的定义域是实数集 R.
值域. 余弦函数的值域是[-1, 1]. 当
x=2kπ(k∈Z)时, y 取最大值, ymax=1;当 x=π+2kπ(k
∈Z)时, y 取最小值, ymin=1.
周期性.余弦函数是周期为 2π 的周期函数．
奇偶性.由图像关于 y 轴对称和诱导公式
cs(−x)=csx 可知, 余弦函数是偶函数．
单调性.余弦函数 y＝cs x 在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1 增大到 1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从 1 减小到-1．
思考问
观察
题
图形
类比正
理解
弦函数
知识强
调知识
提出
之间的
问题
联系，用
已有知
思考
识解决
引导
交流
新问题
讲解
理解
举例
思考
交流
总结
结论
理解
记忆
例题辨析
例 1 利用五点法作出函数 y=-csx 在[0,2π]上的图像．
解(1)列表.
提问
思考
强化“五点法”作
余弦函
(2)根据表中 x，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点， 就得到函数 y=-csx 在[0,2π]上的图像.
例 2求函数 y＝3csx＋1 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时 x 的集合．
解由余弦函数的性质知，-1≤csx≤1 ，所以，
-3 ≤ 3csx ≤ 3 ，从而-2 ≤ 3csx+1 ≤ 4 ，即
-2≤y≤4．
故函数的最大值为 4，最小值为-2．
函数 y＝3csx＋1 取最大值时的 x 的集合， 就是函数 y=csx 取最大值时的 x 的集合
{x|x=2kπ, k∈Z}
函数 y＝3csx＋1 取最小值时的 x 的集合， 就是函数 y=csx 取得最小值时的 x 的集合
{x|x=2kπ+π, k∈Z}．
例 3 不求值，比较下列各组数值的大小：
(1) cs  与cs  ；
55
(2) cs     与cs     ．
 10 8 

解 根据余弦函数的图像和性质可知：
引导
分析
数图像
讲解
解决
强调
交流
余弦函
数性质
的简单
应用
提问
思考
引导
分析
讲解
解决
初步尝
试利用
强调
交流
余弦函
数图像
和性质
解决问
提问
思考
题
引导
分析
(1)因为0  2  4   ，余弦函数 y=csx
55
在区间[0, π]上是减函数，所以
cs   cs  ；
55
(2)因为      ，余弦函数
 
810
y=csx 在区间[-π，0]上是增函数，所以
cs      cs    
 10 8 

讲解
强调
解决
交流
练习 4.7
用五点法作出函数 y=csx-1 在[0, 2π]上的图像．
求下列函数的最大值、最小值，及取得最大值、最小值时 x 的集合：
(1) y=2csx-1 ；(2) y  1 cs x ．
2
不求值，比较下列各组数的大小：
(1) cs  与cs  ；
77
(2) cs     与cs     ．
8 7 

提问
思考
及时掌
握学生
的知识
掌握情
巩固
练习
巡视
动手
况，查漏
求解
补缺
指导
交流
引导
回忆
培养学
归纳
生总结
总结
提问
反思
学习过
程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
说明
记录
继续探
布置作业
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回
顾;
究
延伸学
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
习