专题17 圆的一般方程-【暑假衔接讲义】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（含答案）（人教A版2019选择性必修第一册）

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知识点01：圆的一般方程
1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程．
其中为圆心，为半径．
2、一般方程与标准方程关系：
对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知：
（1）当时，方程只有实数解.它表示一个点．
（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．
注：圆的一般式方程特点：
①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；
②没有项；③.
知识点02：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点和圆的一般式方程：（），
则点与圆的位置关系：
①点在外
②点在上
③点在内
知识点03：轨迹与轨迹方程
1、轨迹方程和轨迹的定义
已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
2、“轨迹”与“轨迹方程”有区别：
（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；
（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
3、坐标法求轨迹方程的步骤
（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；
（2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标；
（3）列式：列出关于的方程；
（4）化简：把方程化为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．


【题型01：对圆的一般方程的理解】
一、单选题
1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，1B．，1
C．，D．，
【答案】B
【分析】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径.
【详解】，
故圆心为，半径为1.
故选：B
2．（23-24高二上·福建福州·期中）已知圆的方程，半径为4，则实数为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可.
【详解】圆的方程，即，
因为半径为4，所以，解得.
故选：C.
3．（24-25高二上·四川眉山·期末）若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的一般方程，由求解.
【详解】解：因为方程表示圆，
所以，
解得，
故选：B
4．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求.
【详解】若方程表示一个圆，则，
方程可化为，
所以，解得，且不等于0，
所以或.
故选：D
5．（24-25高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得.
【详解】由，配方得，
则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得，
故实数的取值范围是.
故选：A.
6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解.
【详解】由题意知，由可得，
所以，即，解得或，
当时，方程为，可化为，不合题意；
当时，方程为，可化为，符合题意，
所以.
故选：.
【题型02：求圆的一般方程】
一、单选题
1．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可.
【详解】设的外接圆方程为，
因为，，，
所以，解得，
所以的外接圆方程为.
故选：D.
2．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程.
【详解】设圆C的方程为，则圆心，
则有，解之得,
则有圆C的方程为，即
故选：C
3．（23-24高二上·安徽合肥·期中）关于圆有四个命题：①点在圆内；②点在圆上；③圆心为；④圆的半径为3.若只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】根据圆的一般方程式及圆的几何知识，对所给的条件分情况讨论，从而判断求解.
【详解】若②③正确，则得：，故，
所以圆的方程为：，显然点在圆内，
①正确，圆的半径为，④错误，符合题意；
若③④正确，则可求得圆的方程为：，
显然点不在圆上，②错误，点在圆外，①错误，不合题意；
其他四种命题组合①②，①④，②④，①③无法确定圆的方程，无法对剩余命题判断真伪.
综上所述：故④为假命题，故D项错误.
故选：D.
二、填空题
4．（2024高二上·全国·专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 .
【答案】
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为，
圆过点，和，所以，解得，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
5．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点外接圆的方程是
【答案】
【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程.
【详解】设所求圆的方程为．
由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程，
可得关于的三元一次方程组，
解方程组得，
于是得到所求圆的一般方程为．
故答案为：.
【题型03：一般方程下点与圆的位置关系】
一、单选题
1．（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（ ）
A．外部B．内部C．圆周上D．无法确定
【答案】A
【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断.
【详解】因为，所以点在圆的外部．
故选：A.
2．（24-25高二上·浙江·期中）若点在圆内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点与圆的位置关系求参数范围即可.
【详解】由题可知，，解得.
故选：D
3．（24-25高二上·福建泉州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可．
【详解】由已知圆，则，
又点在圆的外部，
则，
即，解得，
故选：C．
4．（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得.
【详解】由坐标原点在圆的外部可得，即且，
故“”是“且”的必要不充分条件，
故选：B
【题型04：圆过定点问题】
一、单选题
1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【详解】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
故选：D．
2．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.
【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，
由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，
由得：，以为直径的圆恒过定点.
故选：D.
二、填空题
3．（23-24高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ．
【答案】或
【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．
【详解】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
4．（24-25高二下·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点
【答案】和
【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解.
【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为，
则以为直径的圆过定点和，
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
联立，解得，即.
所以以为直径的圆经过定点和.
故答案为：和
【题型05：与圆有关的轨迹问题】
一、单选题
1．（24-25高二下·湖南·月考）已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，从而的最大值为，得到答案.
【详解】点的坐标为，动点满足，
故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
圆的方程为，
圆心与原点的距离为，
则的最大值为.
故选：B
2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（ ）
A．（且）B．（且）
C．（且）D．（且）
【答案】B
【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可.
【详解】设，根据题意可知且三点不共线，
可得，
因此，
若三点共线，易知斜率存在，所以；
即，可得；
联立，解得或；
又因为三点不共线，所以且，
因此端点的轨迹方程为（且）.
故选：B
二、填空题
3．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】运用直接法，设点，依题意列出方程，化简即得.
【详解】设点，依题意，,
代入点的坐标，可得：，
化简得：.
即点的轨迹方程为.
故答案为：.
4．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设，根据中点坐标得到，代入圆中，求出轨迹方程.
【详解】设，因为线段的中点C的坐标是，
所以，
将代入中得，
化简得.
故答案为：
三、解答题
5．（24-25高二下·四川眉山·开学考试）已知圆C的圆心为，且过点
(1)求圆C的半径及标准方程；
(2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出圆的半径，即可求圆C的标准方程；
（2）设，则由题意可得，化简可得结论．
【详解】（1）由题意，圆心为，过点，
则半径，
所以圆C的标准方程为；
（2）设，则由题意可得，
化简可得
6．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆过点A.
(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，进而求得圆的半径，可求圆的方程；
（2）设，根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程.
【详解】（1）由，解得，则圆心为
，
圆的标准方程为
（2）设.由，可得，
则，
又点在圆上，所以，即，
化简得，
点的轨迹方程为.
7．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足．
(1)试求动点P的轨迹方程
(2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程.
（2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解.
【详解】（1）由动点满足，得，化简得，
所以动点P的轨迹方程是.
（2）设点，由轴于点，且是中点，得，即，
由（1）知，，
因此，整理得.
所以点M的轨迹方程是.
【题型06：圆的一般方程中对称条件的突破】
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽淮北·月考）如果圆关于直线对称，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】圆心在直线上，代入计算即可得解.
【详解】因为圆的圆心为，
由圆的对称性知，圆心在直线上，故有，即.
故选：B.
2．（24-25高二上·重庆长寿·期末）圆关于直线对称，则实数（ ）
A．B．4C．或4D．2或
【答案】C
【分析】先得出圆的圆心，再根据圆关于直线对称得出圆心在直线上计算求参.
【详解】圆的圆心为，
且，即，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，则，
化简得，
所以或，满足.
故选：C.
3．（24-25高二上·陕西安康·期中）若存在点，使得圆与圆关于点对称，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】由两圆关于点对称可得圆的半径相等即可得解.
【详解】由题意，两圆半径相等，
所以，解得，
故选：A
4．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圆与圆的对称性可得，再利用几何关系，求点的轨迹方程.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由圆与圆关于直线对称，
可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上，所以，解得，
经检验，满足题意，则点的坐标为，
设圆心为坐标为，则，整理得，
即圆心的轨迹方程为.
故选：D.
二、解答题
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆过两点且圆关于直线对称，求的的方程．
【答案】
【分析】根据对称性可得圆心在直线上，再由一般方程代入点解方程组可得结果.
【详解】设圆的方程为，则圆心是，
因为圆关于直线对称，则直线经过圆心，即圆心在直线上，
可得，即．
又圆过点，由此可得，
解得，
故的一般方程是．
6．（23-24高二上·北京房山·期中）已知圆：和直线：．
(1)写出圆的圆心和半径；
(2)若在圆上存在两点A，B关于直线对称，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．
【答案】(1)圆心为，半径为
(2)或
【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径；
（2）推出直线即为的垂直平分线，过圆心，从而得到，直线的斜率为，再结合图形，得到当过点和过原点时，满足要求，得到答案.
【详解】（1）变形为，
故圆的圆心为，半径为；
（2）由垂径定理可知，线段的垂直平分线一定过圆心，
又A，B关于直线对称，故直线即为的垂直平分线，
所以直线过点，将其代入中得，，
解得，
故直线的斜率为，
又以线段为直径的圆经过原点，圆也经过原点，
故当过点时满足要求，此时直线的方程为，
即，
当当过原点时，也满足要求，此时直线的方程为，
即，

综上，直线的方程为或.
【题型07：圆的方程在实际问题中的应用】
一、单选题
1．（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】根据题意，建立直角坐标系，设圆的半径为，求得圆的方程为，结合圆的方程，即可求解.
【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直线为轴，建立直角坐标系，
设圆心为，水面所在弦的端点为，则由已知可得，
再设圆的半径为，则圆心，即圆的方程为，
将点代入圆的方程，可得，即圆的方程为，
当水面下降1米后，可得，
代入圆的方程，可得，所以当水面下降1米后，水面宽度为米.
故选：D.
2．（23-24高二下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（ ）

A．B．
C．D．不确定
【答案】A
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程，求解圆的方程，代入点，得解
【详解】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为，，．

设圆拱所在的圆的方程是．
因为A，B，P在此圆上，故有
解得
故圆拱所在圆的方程是．
将点的横坐标代入上式，
结合图形解得.
故支柱的长为．
3．（23-24高二上·四川乐山·月考）某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，现有一船宽10米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）
A．2.40米B．2.66米C．2.80米D．3.00米
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的方程，令，求出相应的y值，即可求得答案.
【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为x轴，过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设图中矩形为船刚好能通过桥下时的位置，
则，
设圆拱桥所在圆的方程为，
将坐标代入，得，解得，
即圆的方程为，
令，则，
结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为（米），
故选：B
二、解答题
4．（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2024年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
【答案】(1)
(2)可以从不桥下通过，理由见解析
【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案；
（2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案.
【详解】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，
因为该拱圆过，，，
所以，解得．
所以拱圆的一般方程为，
即．
（2）当时，，
得
所以该景区游船不可以从桥下通过．
一、单选题
1．（24-25高二上·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程.
【详解】由题意知，在圆上，圆心为，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为，
则一般方程为：，
故选：B.
2．（23-24高二上·陕西·期中）若圆的半径为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将圆的方程转化为标准式，可得半径，即可得解.
【详解】由圆的方程为，
即，
又圆的半径为，
所以，解得，
故选：A.
3．（24-25高二下·四川南充·月考）已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A．6B．4C．3D．7
【答案】C
【分析】根据圆心在直线上即可求解.
【详解】的圆心为，
故在直线上，故，解得，
故选：C
4．（24-25高二上·江苏泰州·月考）若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的一般方程满足，列式运算得解.
【详解】因为方程表示圆，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故选：C.
5．（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，结合中点坐标公式并由代入法即可求解.
【详解】设点，根据中点的坐标公式可得，
代入椭圆方程得，其中.
故选：B
6．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解.
【详解】设，则，由于在上运动，
故，化简得，
故选：D.
7．（23-24高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案.
【详解】将圆的方程化为标准方程可得，，
所以，圆心，半径.
设，
由已知可得，，解得，
所以，圆的圆心为，半径，
所以，圆的方程为.
故选：D.
8．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知点和，若动点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由点和，动点P满足，得到点P的轨迹方程，再求距离最大值即可.
【详解】因为点和，动点P满足，
设点，所以，整理得，
所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
因为直线恒过点，
当直线和直线OC垂直时点P到直线的距离取得最大值，
所以最大值为,
故选：C
9．（23-24高二上·山西运城·月考）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知直线经过圆心，整理得（，），结合基本不等式运算求解.
【详解】由圆可得标准方程为，
即圆心为，
因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心，
即，整理得（，），
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：A．
二、填空题
10．（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解.
【详解】圆的标准方程为，
又点是圆外的一点，
所以，解得，即的取值范围是．
故答案为：
11．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 .
【答案】
【分析】分离参数，即可列方程组求解.
【详解】圆方程化为，
由解得故圆恒过点.
故答案为：
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）．
【答案】 外
【分析】设圆的一般方程为，利用待定系数法，即可求得圆的方程，把点带入圆的方程，进而得到点与圆的位置关系.
【详解】设圆的一般方程为，
因为圆过三点，可得，解得，
满足，所以圆的方程为，
将点代入方程得，所以点在圆外．
故答案为：；外.
13．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：

【答案】0.65
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长.
【详解】

以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，
易知点A，B，P的坐标分别为 ，
设圆拱所在的圆的方程是，
因为点A，B，P在所求的圆上，
所以，解得，
故圆拱所在的圆的方程是，
将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）；
即支柱的长约为0.65m．
故答案为：0.65
14．（23-24高二上·江西南昌·月考）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案.
【详解】设，且，
，
因为为定值，设，
化简得：，与点位置无关，
所以，
解得：或，
因为异于点，所以定点N为.
故答案为：.
三、解答题
15．（23-24高二上·河南郑州·月考）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：
①；
②．
（2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围.
【答案】（1）① 答案见解析；②答案见解析；（2）．
【分析】（1）①②化圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得.
（2）由点与圆的位置关系，列出不等式并求解即得.
【详解】（1）①标准方程为，圆心为，半径为3；
②圆的标准方程为，圆心为，半径为.
（2）由点在圆的内部，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
16．（23-24高二上·全国·单元测试）已知圆C过点.
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C关于直线对称圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的一般方程，代入点，得到方程组，解出即可；
（2）设所求圆的圆心为，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可.
【详解】（1）设圆C：，其中，
则，解得，
所以圆C的一般方程是：，
化为标准方程是：.
（2）设所求圆的圆心为，由（1）知圆的圆心，
则由已知得，解得，
故圆C关于直线对称圆的方程为.
17．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知圆过原点和点，圆心在轴上．
(1)求圆的方程；
(2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解，
（2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程.
【详解】（1）设圆心为，由题意可得，
则，解得，所以，圆的半径为，
故圆的方程为．
（2）设点，共中，则，设点，
因为，则，
可得，可得，
因为点在圆上，则，即．
故点的轨迹方程为．