专题16 圆的标准方程-【暑假衔接讲义】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（含答案）（人教A版2019选择性必修第一册）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
知识点02：圆的标准方程
1、圆的标准方程：我们把 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程．
注：圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程．
2、圆的标准方程的推导过程
（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为．
（2）写点集：根据定义，圆就是集合．
（3）列方程：由两点间的距离公式得．
（4）化简方程：将上式两边平方得．
知识点03：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
1、几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
2、代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
1、若点在外，则;
2、若点在上，则;
3、若点在内，则;


【题型01：由标准方程确定圆心和半径】
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·福建福州·期中）给定圆的方程，则过坐标原点和圆心的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二上·陕西西安·月考）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
4．（23-24高二上·广东广州·期中）曲线与轴所围成区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型02：求圆的标准方程】
一、单选题
1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二上·海南·月考）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高二上·天津河北·期末）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【题型03：点与圆的位置关系判断】
一、单选题
1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．无法确定
2．（24-25高二上·福建泉州·月考）点与圆的位置关系是（ ）
A．在外B．在上C．在内D．不确定，与的取值有关
3．（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆上
C．在圆内D．与a的值有关
4．（24-25高二上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
5．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型04：点与圆的位置关系中的最值问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·湖北·期中）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（24-25高二上·辽宁·月考）已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（ ）
A．1B．7C．13D．15
【题型05：圆的标准方程中对称条件的突破】
一、单选题
1．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·云南昆明·月考）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（24-25高二上·北京·期中）圆心为，且半径为的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024高二·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（ ）
A．1B．2
C．3D．5
3．（24-25高二上·浙江杭州·月考）若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．25D．36
7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）点与圆（）的位置关系为（ ）.
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．与的取值有关，无法确定
8．（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（24-25高二上·江苏苏州·期中）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高二上·广东惠州·月考）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
二、多选题
11．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（ ）
A．在圆上B．在圆外
C．在圆内D．在圆外
12．（23-24高二上·福建福州·期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（ ）
A．B．
C．D．
13．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．