专题14 直线的一般式方程-【暑假衔接讲义】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（含答案）（人教A版2019选择性必修第一册）

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知识点01：直线的一般式方程
1、定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0（）叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：（1）、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
（2）在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
（3）解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
（1）一般式化为斜截式的步骤
①移项得；
②当时，得斜截式方程．
（2）一般式化为截距式的步骤
（1）把常数项移到方程右边，得；
①当，方程两边同时除以，得；
②化为截距式方程：．
知识点03：一般式方程下的平行与垂直
1、平行与垂直的系数关系
已知直线的方程分别是（不同时为0），
（不同时为0）
（1）若 （2）若
2、平行与垂直的直线系方程
（1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为
（2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为


【题型01：直线的一般式方程及辨析】
一、单选题
1．（24-25高二上·贵州黔南·月考）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小.
【详解】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值，
结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为.
故选：C
2．（24-25高二上·河南南阳·期末）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】根据已知直线方程确定倾斜角即可.
【详解】因为直线与x轴垂直，所以倾斜角为．
故选：C
3．（24-25高二上·四川雅安·期中）若方程表示一条直线，则实数满足（ ）
A．B．
C．，，D．
【答案】D
【分析】由题意与不同时为零，由此即可得解.
【详解】当时，或，当时，或，
若方程表示一条直线，
则与不同时为零，所以.
故选：D.
4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知直线（A，B不同时为），则下列说法中错误的是（ ）
A．当时，直线l总与x轴相交
B．当时，直线l经过坐标原点O
C．当时，直线l是x轴所在直线
D．当时，直线l不可能与两坐标轴同时相交
【答案】D
【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，直线（A，B不同时为）.
A选项，当时，，直线方程可化为，
此时直线总与轴有交点，A选项正确.
B选项，当时，直线方程为，
此时直线经过原点，B选项正确.
C选项，当时，，直线方程可化为，
此时直线l是x轴所在直线，C选项正确.
D选项，当时，如，
直线过点，即直线与两坐标轴同时相交，D选项错误.
故选：D.
二、多选题
5．（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，过坐标原点
B．当时，的倾斜角为锐角
C．当时，和轴平行
D．若直线过点，直线的方程可化为
【答案】AD
【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为可知；选项D，由直线过点，得，代入直线方程可得.
【详解】选项A，当时，是方程的解，
即过坐标原点，故A正确；
选项B，当时，直线的方程可化为，
则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误；
选项C，当时，由不全为0，，
直线的方程可化为，
故直线和轴垂直，不平行，故C错误；
选项D，直线过点，则，
可得，代入直线方程，
得，即，故D正确.
故选：AD.
【题型02：直线的一般式方程的图像】
SJ直线的一般式方程图像辨析
一、单选题
1．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（ ）
A．若，则，B．若，则，
C．若，则，D．若，则，
【答案】C
【分析】将直线方程化为斜截式，则由图象可得，，从而分析判断.
【详解】易知，由直线，可得，
根据图象可得，，
若，则，；
若，则，．
故选：C
2．（24-25高二上·浙江嘉兴·月考）如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解.
【详解】由且，得直线的横截距为，纵截距为，
所以直线不经过第四象限.
故选：D
3．（24-25高二上·上海·课后作业）直线过第一、二、四象限的充要条件是（ ）
A．，B．C．，D．，
【答案】A
【分析】由直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，列不等式求解，即得答案.
【详解】由题意直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，
即，即，，
故选：A
4．（24-25高二上·全国·课后作业）直线：，：（，）在同一坐标系中的图形大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线的大致图象判断参数大小或符号，判断符合要求的答案.
【详解】将与的方程化为斜截式得，，
A：对应，又，则，显然不符合；
B：对应，而在y轴上截距为正，不符；
C：对应，结合易知，符合；
D：对应，而的斜率为正，不符；
故选：C
【题型03：一般式下的平行问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）下列选项中，与直线平行的直线是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况.
【详解】，
对于A：，可知两直线重合，不符合；
对于B：，所以不平行，不符合；
对于C：，所以不平行，不符合；
对于D：，，且，所以两直线平行，符合；
故选：D.
2．（23-24高二上·江苏扬州·月考）两直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．平行或重合
【答案】D
【分析】根据直线方程及直线平行的判定判断两直线的位置关系.
【详解】当时，直线与重合；
当时，直线与平行；
所以，题设两直线重合或平行.
故选：D
3．（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案.
【详解】设与直线平行的直线为：，
因为过点，所以，解得：.
故经过点且与直线平行的直线是，
即.
故选：A.
4．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（ ）
A．B．1或C．D．6
【答案】A
【分析】根据两直线平行列方程求解即可.
【详解】由题意，，解得或，
当时，，，满足；
当时，，即，，
两直线重合，不符合题意.
综上所述，.
故选：A.
二、填空题
5．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程.
【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为，
由直线经过点，得，解得，
所以直线的方程为.
故答案为：
6．（24-25高二上·广东·期中）已知直线，，若，则实数 ．
【答案】3
【分析】根据直线平行的判定列方程求参数值.
【详解】由，易知，
则，可得，经验证满足题设.
故答案为：3
【题型04：一般式下的垂直问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果.
【详解】∵，
∴，解得.
故选：C.
2．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用两直线的垂直的斜率关系结合点斜式计算即可.
【详解】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为，
由点斜式可知该直线方程为，故B正确.
故选：B
3．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】A
【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值.
【详解】直线与直线垂直，
则有，解得或，
故选：A．
4．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分性与必要性分析即可.
【详解】充分性：若，则，则直线，充分性满足；
必要性：若直线，则，
当时，不成立，则必要性不满足,
所以是直线的充分不必要条件.
故选：A
二、解答题
5．（23-24高二上·新疆·月考）已知直线与直线交于点．
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式）
(2)求过点且垂直于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设的方程为，将点代入求得，即可求解；
（2）设直线的方程为，将点代入求得，即可求解.
【详解】（1）解：由方程组，解得，即，
因为平行于直线，可设的方程为，
将点代入直线，可得，解得，
所以直线的方程为.
（2）解：由垂直于直线，可设直线的方程为，
将点代入直线，可得，解得，
所以直线的方程为.
【题型05：直线过定点问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·河北邯郸·月考）已知直线过定点，则定点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将直线化为，即可得定点.
【详解】直线可化为，则时有，即恒过定点．
故选：D
2．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将直线分离参数为，令，可得定点.
【详解】根据题意，直线，
即，
令，得，
故直线必过定点.
故选：B
3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点，，直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线的定点，再求出，数形结合，得出结果.
【详解】由直线，可得直线过定点，
的斜率，
的斜率，
直线的斜率，

由图可知，或，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
4．（23-24高二上·湖北武汉·月考）当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到到直线的最远距离为，此时直线垂直于，即可求出直线方程．
【详解】因为直线，
所以可将直线方程变形为，
，解得，，
由此可得直线系恒过点
到直线的最远距离为，此时直线垂直于，，
直线的斜率为，
，，
直线的一般方程为．
故选：A
5．（23-24高二上·江苏南通·月考）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值.
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，
有，
故,当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为
故选:
一、单选题
1．（24-25高二上·河北邯郸·月考）直线的斜率为（ ）
A．不存在B．0C．D．
【答案】A
【分析】根据直线方程为，则得到其斜率不存在.
【详解】，即，则其斜率不存在，
故选：A．
2．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直
【答案】D
【分析】求得两直线的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系.
【详解】由直线得，,
由直线得，,
因为，故两直线相交但不垂直.
故选：D.
3．（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示一条直线，则实数满足（ ）
A．B．
C．D．，，
【答案】C
【分析】根据二元一次方程表示一条直线的条件可得答案.
【详解】因为方程表示一条直线，
所以，，不能同时成立，解得．
故选：C.
4．（24-25高二上·广东阳江·月考）已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用斜率与倾斜角的正切函数关系，根据斜率取值来确定角的范围即可.
【详解】当时，可知直线为，故倾斜角，
当时，由直线方程可知斜率，
所以，即倾斜角，
综上可知：，
故选：C.
5．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知两条直线，若，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求解.
【详解】由两条直线平行，得，
所以或.
故选：D.
6．（24-25高二上·安徽阜阳·月考）若，在同一平面直角坐标系中作出直线与直线，则下列图中能表示上述两条直线的位置的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析给定方程对应直线的斜率正负及过的定点，再结合图形判断即可.
【详解】由，得直线的斜率，纵截距为，B不满足；
直线的斜率，横截距为，ABD不满足；
选项C中两条直线符合要求.
故选：C
7．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，直线 的倾斜角为
B．当 时，
C．若 ，则
D．直线 的纵截距为 a
【答案】D
【分析】由直线的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断B和C；求出的纵截距后可判断D．
【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误；
对于B，等价于，解得，故B错误；
对于C，若，则且，故，故C错误；
对于D，，当时，直线 的纵截距为，故D正确.
故选： D.
8．（24-25高二上·四川宜宾·月考）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若直线与直线平行，
则，解得或，
当时，直线与直线平行，符合题意；
当时，直线与直线平行，符合题意；
综上所述：或.
显然是的真子集，
所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
9．（24-25高二上·广东·期中）已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出直线所过定点，再由题意转化为直线与线段相交，求出过端点对应的斜率，数形结合得解.
【详解】由，可得，
所以直线恒过点，
则，
由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可，
故的取值范围为.
故选：B
10．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值．
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，
又是两条直线的交点，
则有，
．
故当且仅当时取等
故选：C.
二、多选题
11．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（ ）
A．若，则斜率不存在B．若不经过第三象限，则
C．若，则或D．若，则
【答案】BC
【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可.
【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误；
对于B，由，可得，
若不经过第三象限，则，故B正确；
对于C，若，则，解得或，故C正确；
对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误．
故选：BC.
12．（23-24高二上·山东枣庄·月考）若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据直线的斜率及截距分析满足条件的图象即可得解.
【详解】由可知直线斜率，
直线在轴上的截距，满足条件的只有B，
所以不可能是ACD.
故选：ACD
13．（24-25高二下·四川内江·开学考试）设直线，则（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．直线与直线：一定垂直
C．直线过定点
D．当点在直线的右下方时，
【答案】CD
【分析】令计算直线在轴上的截距可得选项A错误；利用两直线垂直公式可得选项B错误；直线方程变形可得选项C正确；数形结合可得选项D正确.
【详解】A.令得，，
当时，直线在轴上无截距，当时，，直线在轴上的截距为，A错误.
B.，当时，直线与直线不垂直，B错误.
C.直线可化为，
由得，，故直线过定点，C正确.
D.由点在直线的右下方得，.
由得，
∴，解得，D正确.
故选：CD.
14．（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知直线l的方程是（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则直线l过定点
C．若且，则直线l不过第二象限
D．若，则直线l必过第二、三象限
【答案】BCD
【分析】对于A：举例分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于CD：根据直线斜率和截距分析判断.
【详解】选项A：例如（x轴），可得，则，故A错误；
选项B：若，则，
当时，式子恒成立，
所以直线l过定点，故B正确；
选项C：若且，则，且，
即直线l的斜率大于0，纵截距小于0，
所以直线l经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确；
选项D：若，则，且，
即直线l的斜率不为0，横截距小于0，
所以直线l必过第二、三象限，故D正确；
故选：BCD．
三、解答题
15．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
(1)求经过点，且与直线平行的直线方程；
(2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程；
(3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【答案】(1)
(2)
(3)和
【分析】根据题给条件设直线方程即可.
（1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解.
（2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可.
（3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可.
【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为.
（2）因为点，，中点为，，
则垂直平分线的斜率，则，
直线方程为，所以直线的一般方程为.
（3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过
当截距时，直线过，，则，即；
当截距时，直线斜率，则，即.
所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和.
16．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线．
(1)求直线所过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.
【详解】（1）由，即，
则，解得，所以直线过定点.
（2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以，
此时，直线的方程可化为，记点，则，

由图可得，解得，因此，实数的取值范围是.
（3）已知直线，且由题意知，

令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，取最小值，
此时直线的方程为，即.