专题15 直线的交点坐标与距离公式-【暑假衔接讲义】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（含答案）（人教A版2019选择性必修第一册）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：6大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01：两条直线的交点坐标
1、点与坐标的一一对应关系
2、直线的交点与方程的解
求两直线与的交点坐标，
只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．
若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有，则方程组无解，此时两直线平行；
若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标．
知识点02：两点间的距离公式
1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：.
特别地，原点与任一点的距离.
注：公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：．
知识点03：点到直线的距离公式
1、平面上任意一点到直线：的距离.
知识点04：两条平行线间的距离
1、一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
注：在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等．
2、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离．


【题型01：两条直线的交点及参数问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A．20B．C．0D．24
5．（24-25高二上·广东东莞·月考）直线上到点距离最近的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高二上·广东东莞·月考）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、解答题
7．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系．
(1)和；
(2)和；
(3)和．
【题型02：三条直线的交点及参数问题】
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（ ）
A．B．1
C．D．
2．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（ ）
A．2组B．3组C．4组D．5组
二、多选题
4．（23-24高二上·河南焦作·月考）若三条直线，，交于一点，则a的值可为（ ）
A．B．3C．1D．
5．（23-24高二上·浙江台州·月考）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（ ）
A．B．C．D．0
三、填空题
6．（23-24高二上·黑龙江鸡西·月考）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为 ．
【题型03：过两直线交点的直线方程】
一、单选题
1．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
3．（23-24高二上·吉林白山·期末）经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 .
4．（2024高二上·全国·专题练习）求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ．
5．（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）经过直线和的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
【题型04：两点间的距离公式】
一、单选题
1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（ ）
A．2B．3C．D．5
2．（24-25高二上·广东阳江·月考）直线和直线分别过定点和，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知三点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（ ）.
A．平行四边形B．正方形C．菱形D．矩形
二、填空题
5．（24-25高二上·江苏常州·月考）若直线与在第二象限相交于点，且点到原点的距离为，则的值为 .
6．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 .
【题型05：点到直线的距离公式】
一、单选题
1．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（ ）
A．B．2C．D．1
2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
3．（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、填空题
4．（23-24高二上·广西南宁·月考）已知到直线的距离等于3，则a的值为 .
5．（24-25高二上·上海·月考）过点且和原点距离是2的直线方程是 .
【题型06：平行线间的距离公式】
一、单选题
1．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知直线，，两直线之间的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（ ）
A．B．C．1D．
3．（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高二上·河南·期中）已知两平行直线与之间的距离为，则（ ）
A．B．23C．13或23D．或
5．（24-25高二上·重庆·期中）若直线与平行，则两直线间的距离为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）点到直线的距离等于（ ）
A．10B．7C．5D．2
2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）
A．24B．0C．20D．
3．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（ ）
A．4B．C．4或D．或
4．（23-24高二上·广东广州·月考）直线与直线相交，则实数的值为（ ）
A．或B．或
C．且D．且
5．（23-24高二上·河北邯郸·月考）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、多选题
7．（23-24高二上·贵州铜仁·月考）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A．B．C．12D．14
三、填空题
8．（24-25高二上·江西九江·期末）两平行直线，之间的距离为 ．
9．（24-25高二上·广东湛江·月考）斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ．
10．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 .
11．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ．
12．（24-25高二上·江苏泰州·月考）在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 .
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点是直线上一点，点与点间的距离为5，则点的坐标为 ．
14．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 .
15．（24-25高二上·辽宁抚顺·月考）已知，若直线与线段有公共点，则的取值范围是 ．
16．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ．
17．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
四、解答题
18．（24-25高二上·天津河西·月考）已知直线．
(1)经过点且与直线平行的直线；
(2)经过点且与直线垂直的直线；
(3)经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．
19．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知直线 过直线 和 的交点 .
(1)若直线 与直线 垂直，求直线 的方程;
(2)若直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为原点. 若 的面积为 ，求直线 的方程.
20．（24-25高二上·江西抚州·期末）设直线与.
(1)若，求、之间的距离；
(2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值.
21．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：
(1)点和点的坐标：
(2)在边上是否存在一点，使得平分，若存在请求出点坐标，若不存在，请说明理由.
几何元素及关系
代数表示
点
直线
点在直线上
直线与的交点是
方程组的解是