专题18 直线与圆的位置关系-【暑假衔接讲义】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（含答案）（人教A版2019选择性必修第一册）

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第二步：记
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第三步：测
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知识点01：直线与圆的三种位置关系
知识点02：判断直线与圆的位置关系的两种方法
1、几何法（优先推荐）
2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
①直线与圆相交
②直线与圆相切
③直线与圆相离
知识点03：直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
知识点04：直线与圆相切
1、圆的切线条数
①过圆外一点，可以作圆的两条切线
②过圆上一点，可以作圆的一条切线
③过圆内一点，不能作圆的切线
2、过一点的圆的切线方程（）
①点在圆上
步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则
步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点）
②点在圆外
记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出
（注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为）
3、切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；


【题型01：判断直线与圆的位置关系】
一、单选题
1．（24-25高二上·四川成都·月考）直线l：与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
【答案】A
【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案.
【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为，
圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
2．（23-24高二上·广东·期末）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】A
【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】由题意知，圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离.
故选：A.
3．（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相交或相切
【答案】D
【分析】由题意可求出直线所过定点，代入圆中即可判断出答案.
【详解】由题意，直线可化为：，
直线过定点，代入圆中，
易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切.
故选：D.
4．（23-24高二上·陕西西安·期中）如果，那么直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
【答案】C
【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断.
【详解】因为圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
即直线与圆相离.
故选：C
5．（2025高二·全国·专题练习）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相离
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心到直线的距离求解.
【详解】圆心到直线的距离,
若点在圆上，则，
所以，则直线与圆相切，故A正确；
若点在圆内，则，
所以，则直线与圆相离，故B正确；
若点在圆外，则，
所以，则直线与圆相交，故C错误；
若点在直线上，则，
即，所以，
直线与圆相切，故D正确．
故选：C.
【题型02：由直线与圆的位置关系求参数】
一、单选题
1．（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线与圆相切，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】利用直线和圆相切的条件及点线距离公式列方程可得答案.
【详解】因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得.
故选：A
2．（24-25高二下·江苏南京·月考）设、，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆上B．点在圆外
C．点在圆内D．不能确定
【答案】C
【分析】利用直线与圆相切可得出，再利用点与圆的位置关系可得出结论.
【详解】圆的圆心为原点，半径为，
因为直线与圆相切，则，即，
即，因此，点在圆内.
故选：C.
3．（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知经过点且倾斜角为的直线与圆：相离，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先写出直线的方程，再应用点到直线距离与半径比较即可列式即可求解.
【详解】经过点且倾斜角为的直线，则直线的方程为.
因为圆心为半径为，所以由题意得
解得.
故选：C.
4．（24-25高二下·广西南宁·期中）直线与圆相交的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由圆心到直线的距离小于半径，求得的范围即可求解.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为1，
由直线与圆相交，得，即，得，
结合选项可知：直线与圆相交的充分不必要条件可以是.
故选：C.
5．（24-25高二上·天津和平·月考）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围.
【详解】
作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，
且到直线的距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为，
又圆上有4个点到直线的距离为1，
两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交.
由此可得圆的半径，
即，实数r的取值范围是.
故选：A.
二、填空题
6．（23-24高二上·四川南充·月考）已知圆，直线，若圆上至少有3个不同的点到直线的距离都等于，则的取值范围是
【答案】
【分析】数形结合，找到满足题意的临界状态，再利用点到直线的距离公式，列出不等式，即可求得范围.
【详解】根据题意，作图如下所示：
因为圆的半径为，故当圆心到直线的距离小于等于时，满足题意，
也即当直线与平行，且介于之间（也可与重合）时，满足题意；
则圆心到直线的距离，解得.
故答案为：.
【题型03：求切线方程及参数问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，
因为，所以，点在圆上，则，
所以，所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为.
故选：D.
2．（24-25高二上·北京·月考）若圆与直线只有一个公共点，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得.
【详解】因圆与直线只有一个公共点，
则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1，
即，而，则有，
所以的值为2.
故选：C
3．（24-25高二上·云南临沧·月考）过点作圆的切线，则的斜率为（ ）
A．0B．C．0或D．0或
【答案】C
【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得.
【详解】当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离，故不符；
当直线斜率存在时，设切线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
解得或.
故选：C.
4．（23-24高二下·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解.
【详解】由得，
所以圆心为，半径为，
设切点分别为，连接，则为两切线的夹角，
由于，
所以，
由二倍角公式可得，
故选：B.
二、填空题
5．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆C的圆心，且与直线相切于点，则圆C方程为 .
【答案】
【分析】根据圆心与切点连线垂直于切线求出，由求得半径，根据圆的标准方程求得答案．
【详解】∵圆C的圆心，且与直线相切于点，
∴直线与直线垂直，
∴，即，解得，
∴圆心，圆的半径，
∴圆C方程为.
故答案为：.
6．（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 .
【答案】或
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】当切线的斜率存在时，可设直线：，
即，
圆心到直线的距离为，解得，
故直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线：，圆心到直线的距离为1，符合题意；
所以直线l的方程为或.
故答案为：或.
7．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 .
【答案】或
【分析】由已知可设圆心为，半径，再根据直线与圆相切，可得解.
【详解】由已知圆的圆心在直线上，
则设，
又圆与轴相切，
所以半径，
圆的方程为
因为圆与直线相切，
所以，
化简得，解得或，
所以圆的方程为或，
故答案为：或.
【题型04：切线长（切点弦）问题】
一、单选题
1．（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求.
【详解】由题意有，即.
故选：B.
2．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.
【详解】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有，
由圆的几何性质可得，
又由，
所以当时，取得最小值．
故选：C.
二、填空题
3．（2024高二·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程.
【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为:
，
化简得：.
故答案为：.
4．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ．
【答案】
【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可.
【详解】设,，易知
由平面向量数量积的几何意义可知，
所以有
所以点在直线上
故直线的方程为，过定点
故答案为：
三、解答题
5．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分斜率存在或不存在两种情况，若不存在，设直线的方程，利用即可；
（2）在中勾股定理即可.
【详解】（1）圆的方程可化为，
则圆的圆心为，半径，
①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意；
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即，
由圆心到直线l的距离，解得，
此时直线的方程是，
综上，直线的方程是或.
（2）由（1）得直线的方程是，
则,
所以.
6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点.
(1)求外接圆的标准方程；
(2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
(3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
(3)
【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入三点坐标解方程组可得一般式方程，再配方得标准方程；
（2）由弦长求法求得圆心到直线的距离，按直线斜率存在与不存在分类讨论求直线方程，斜率存在时，设直线方程，由点到直线距离公式求参数值．
（3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值,
求出以为直径的圆方程，与圆方程相减可得切点弦所在直线方程．
【详解】（1）设圆的方程为，，
则，解得，
则圆的方程为，
即圆的标准方程为；
（2）由（1）得圆心，半径，
又，可知圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，则直线方程为，即；
综上，直线方程为或.
（3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值,
此时的中点为，,
所以以为直径的圆的方程为,
即①,
又圆M的方程为②,
①②：,
所以直线的方程为.
【题型05：弦长及参数问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·甘肃·期末）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用弦长公式即可求得结果.
【详解】圆C的圆心为，半径为3，圆心到直线l的距离，
所以直线l被圆C截得的弦长为.
故选：D
2．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）直线与圆相交于M、N两点，若，则等于（ ）
A．0B．-2C．2或0D．-2或0
【答案】A
【分析】根据圆的方程及弦长，可以求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式即可求得.
【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，又因为弦长，所以，
即，解得.
故选：A
3．（24-25高二下·云南·月考）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，由垂径定理得到，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.
【详解】由题意知直线的斜率存在，且
∴，
∵，∴，
直线的方程为，即，
故选：C.
4．（24-25高二上·山东·月考）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可.
【详解】点到直线的距离为，
所以圆C的半径为，
则圆C的方程为.
故选：A.
5．（2025·云南大理·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用点到直线和圆上的点到直线的距离公式求解即可.
【详解】圆的圆心到直线的距离为，

所以，
记点到直线的距离为，则的面积，
所以，
又圆心到直线的距离为，所以，
又，所以，
故选：B
二、解答题
6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程；
先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可.
【详解】（1）由题意圆心在弦的中垂线上，
又中点，，
则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即，
联立可得，，即，
故圆的半径.
故圆的方程：
（2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交；
当直线斜率存在时，设方程，
因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离.
则到的距离，
则，即，解得或.
故方程，即或.
7．（24-25高二上·四川巴中·期末）已知直线，圆（点为圆心）.
(1)若直线与圆相切，求实数的值；
(2)当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，并求的面积，如果不相交，请说明理由.
【答案】(1)或；
(2)直线与圆相交于不同的两点，
【分析】（1）借助切线定义计算即可得；
（2）计算点到直线的距离，比较半径即可得直线与圆是否相交于不同的两点，再借助垂径定理可计算，即可的的面积.
【详解】（1）由可得，即、半径，
由可得，
由直线与圆相切，则有，化简得，
即或；
（2）当时，，此时点到直线的距离为，
故直线与圆相交，即直线与圆相交于不同的两点，
由，则，
则.
8．（24-25高二上·广东肇庆·月考）已知圆C：，点.点在圆上运动，为线段的中点.
(1)求点的轨迹方程，并说明其轨迹；
(2)若过点的直线l被曲线（点为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线的一般方程.
【答案】(1)，轨迹为以为圆心，以为半径的圆.
(2)或
【分析】（1）设，，根据为线段的中点，可得，再结合点在圆上可得点轨迹方程，再进一步分析其轨迹.
（2）结合（1）的结论，按直线的斜率是否存在分类，结合弦心距求直线方程.
【详解】（1）如图：
设，，因为为线段的中点，
所以.
又点在圆：上，所以.
所以，即.
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.
（2）由（1）可知，点到直线的距离：.
点到直线的距离为2，因此直线的方程可以为；
当直线的斜率存在时，设其方程为：，即.
由，
此时直线的方程为：.
故直线的方程为或.
9．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知圆关于直线对称.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆相交于、两点，求；
(3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，分析可知，直线过圆心，求出的值，即可得出圆的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得弦的长；
（3）求出点到直线的距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）圆的方程可化为，圆心为，
因为圆关于直线对称，
则直线过圆心，所以，得.
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）得圆心为，半径，
又直线的方程为，
则圆心到直线的距离，直线与圆相交，
所以.
（3）圆的圆心为，半径长为，
则点到直线的距离为，
所以点到直线距离的最大值为，
所以面积的最大值为.
【题型06：直线与半圆相交的问题】
一、单选题
1．（24-25高二上·江西吉安·月考）直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解.
【详解】曲线，即，
表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），
如图，
设、、，
当直线经过点A时，，
当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意；
所以当时，直线与曲线有一个公共点；
当直线和半圆相切时，
则圆心到直线的距离等于半径，
即，求得或（舍去），
即时，只有一个公共点，符合题意，
综上得，实数的取值范围为或，
故选：D．
2．（24-25高二上·山东济南·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据直线l的方程得到直线l恒过定点，根据曲线C的方程曲线C表示半圆，然后结合图形求k的范围即可.
【详解】直线l恒过定点，
曲线C的方程可整理为，
所以曲线C表示以为圆心，半径为2的半圆，图象如下所示：
，为两种临界情况，由题意得，则，
令圆心到直线l的距离，解得，则，
所以当时，直线l与曲线C有两个不同的交点.
故选：D.
3．（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作出曲线的图象，数形结合可得解.
【详解】直线恒过定点，
由，得到（），
所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，），
如下图所示：

当直线经过点时，与曲线有一个交点，此时，
当与半圆相切时，由，得，
由图可知，当时，与曲线至少有一个公共点，
故选：B.
4．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】作出图形，利用代数式的几何意义可求答案.
【详解】由曲线，得，则，
所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.

设直线：，因为，所以，
所以表示点到直线的距离为，
即只有2个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，解得，
结合选项发现只有B选项符合题意.
故选：B
【题型07：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题】
一、单选题
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【分析】原点在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径.
【详解】圆，即，圆心坐标，半径为1，
直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1，
原点在圆上，所以原点到直线距离的最大值为.
故选：B
2．（24-25高二上·北京·月考）圆上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解.
【详解】因为圆，所以其圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
则所求距离的最小值为.
故选：A.
3．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.
【详解】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有，
由圆的几何性质可得，
又由，
所以当时，取得最小值．
故选：C.
4．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
四边形的面积，
则当最小时，四边形的面积最小，
点到直线的距离，
，
此时.
故选：A
5．（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解.
【详解】直线l：，
令，解得，所以直线l恒过定点，
圆C：的圆心为，半径为，
且，即P在圆内，
当时，圆心C到直线l的距离最大为，
此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为．
故选：A．
6．（24-25高二下·河南周口·月考）已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，由圆的几何性质得点的轨迹是以为直径的圆，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围.
【详解】
圆的标准方程为，则圆心为，半径，
直线恒过定点，记为，且点在圆内，轴，
又直线的斜率不为0，所以点的轨迹是以为直径的圆，且不为点，所以点轨迹方程为，.
圆的圆心为，半径，
又，所以，
即，即的取值范围为.
故选：D.
一、单选题
1．（2025高二·全国·专题练习）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆上，直线与圆相切B．点在圆内，直线与圆相离
C．点在圆外，直线与圆相切D．点在圆上，直线与圆相交
【答案】A
【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，
因为，故点在圆上.
故选：A.
2．（23-24高二上·北京·期中）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出圆的半径即可得解.
【详解】由直线为圆的切线，得圆的半径，
所以所求圆的方程为.
故选：A
3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A．或3B．2C．或5D．4
【答案】C
【分析】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案.
【详解】，
则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为，
则圆心到弦距离满足.
则由点到直线距离公式可得：或.
故选：C
4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解.
【详解】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上，
∴，且，
∴，即，
∴直线，
∵圆，即，
∴圆心，半径，且，
∴圆心到直线的距离，
∵直线与圆相离，
∴，即，又，解得.
故选：C.
5．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（ ）
A．3B．4C．D．5
【答案】B
【分析】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出.
【详解】圆心，半径，
，
由勾股定理得.
故选：B.
6．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.
【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为，
显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意；
设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切，
所以，所以解得，
所以满足题意的直线方程为或.
故选：D.
7．（24-25高二下·安徽·月考）“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为，
若点在圆外，则，
则圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相交，
即“点在圆外”“直线与圆相交”；
若直线与圆相交，则，可得，
不妨取，，则，此时，点在圆内，
所以，“点在圆外”“直线与圆相交”.
因此，“点在圆外”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（24-25高二上·北京通州·期中）过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设切点为、，求出圆的半径，根据锐角三角函数可得，进而可得 .
【详解】过点作圆的两条切线，设切点为、，
而圆，即，则圆的半径为2，圆心,
,
故，故，进而可得，
故选：C．
9．（2024高二·全国·专题练习）若直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出直线过的定点以及圆的圆心和半径，根据弦长问题可求得最值.
【详解】第1步：求解直线恒过的定点及圆的圆心、半径，
直线的方程可化为，故恒过定点，
又的圆心，半径为4．
，
第2步：求解直线与圆相交的弦长，
点到圆心的距离为，
故在的内部，如图，设到的距离为，则，
第3步：判断弦长最小时的位置，并求解
要使最小，只需最大，
当时，有最大值，且，
故的最小值为．
故选：C.
10．（24-25高二下·安徽安庆·月考）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合图象，将四边形的面积用表示出来，从而将求面积最小值转化成求的最小值，易得此最小值即点到直线的距离.
【详解】
如图，由可得，则其圆心为，半径.
因为直线与圆相切，所以，且，
则四边形面积，
又，则.
故当取最小值时，四边形面积取最小值，
由图象可得，取得的最小值即为点到直线的距离，
即，
故四边形面积的最小值为.
故选：B.
二、多选题
11．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ）
A．圆上有两个点到直线的距离为2
B．圆上只有一个点到直线的距离为2
C．
D．从点向圆引切线，切线长的最小值是
【答案】BC
【分析】求出圆的圆心及半径，求出点到直线的距离判断AB；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，
对于AB，圆心到直线的距离，
则，故A错误，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由切线的性质，得切线长为，D错误.
故选：BC
12．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆的方程为，过点的直线交该圆于，两点，则弦长的值可能为（ ）
A．6B．3
C．9D．11
【答案】AC
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，判断点在圆内，即可求出，，即可判断.
【详解】圆，即，
则圆心为，半径，又，
所以点在圆内，所以，，即，
又，即，
所以符合题意的有A、C.
故选：AC
13．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆心，半径为
B．点在圆外
C．过点且与圆相切的直线有且只有一条
D．设点是圆上住意一点，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，结合圆的标准方程即可判断，对于B和C选项，求出并和半径比较即可求解，对于D选项，根据的最小值为即可求解.
【详解】圆Q：的圆心，半径为，选项A正确；
因为，
所以点P在圆Q外，所以过点P且与圆Q相切的直线有2条，选项B正确，选项C错误；
设点M是圆Q上任意一点，
由题意可知的最小值为，选项D正确.
故选：ABD.
14．（24-25高二下·湖南·期中）已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则（ ）
A．圆心到直线的距离为
B．以为直径的圆与直线相离
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据条件，利用弦长公式，即可求解；对于B，利用选项A可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用圆的几何性质和直线与圆的位置关系的判定，即可求解；对于C，根据条件找到最大角，进而得最大角小于，即可求解；对于D，根据条件得到，再求出，即可求解.
【详解】对于选项A，设的中点为，如图1，连接，.

则，，
所以，故选项A正确；
对于选项B，由A知，点在以为圆心，为半径的圆上，又原点到的距离为，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，故以为直径的圆与直线相离，所以选项B正确；
对于选项C，如图2，当直线与直线平行，且，，共线时，为等腰三角形，
此时最小，最小值为，又，故此时最大，且，

则，所以，则，故选项C错误；
对于选项D，，
当，，，共线，且在，之间时取等号，，
所以的最小值为，所以选项D正确，
故选：ABD.
15．（24-25高二上·河北石家庄·月考）点A，B为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当，且AB为圆的直径时，面积的最大值为3
B．从点P向圆M引两条切线，切点分别为A，B，的最小值为
C．A，B为圆M上的任意两点，在直线l上存在一点P，使得
D．当时，的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A，确定，当AB垂直于x轴时，面积最大，即可判断，对于B，设，求出，结合余弦函数性质即可判断，对于C，结合正弦函数性质判断出，即可判断；对于D，设D为AB的中点，则，判断点D在以M为圆心，为半径的圆上，结合的最大值为即可判断.
【详解】对于A，当，且AB为圆的直径时，
此时，当AB垂直于x轴时，面积最大，
不妨取，则，A正确；
对于B，设，设交于N，
由圆的切线性质知∽，则，
故，当最大时，最小，
当位于时，最大，此时，
则，即的最小值为，B正确；
对于C，由B的分析可知当位于时，最大，此时，
即，则，故在直线l上不存在一点P，使得，C错误；
对于D，设D为AB的中点，则，
连接MD，则，则，
故点D在以M为圆心，为半径的圆上，结合，
可得的最大值为,
故的最大值为，D正确，
故选：ABD
三、填空题
16．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据点到直线距离公式和题意列出关于的不等式，求解即可.
【详解】由圆：，可知：圆心，半径.
直线方程的一般式为.
由点到直线距离公式和题意可得：
，解得：.
所以可以是.
故答案为：（答案不唯一）
17．（2025·北京丰台·一模）已知直线与圆有且仅有一个公共点，则 .
【答案】
【分析】先把有且仅有一个公共点转化应用点到直线距离等于半径求解.
【详解】直线与圆有且仅有一个公共点，
圆心为，半径为，
则，
所以.
故答案为：.
18．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据题给条件写出圆的圆心和方程，求得圆心到直线得距离，再根据圆截直线的弦长公式即可计算的值.
【详解】根据圆的方程可得圆心为，半径.
圆心到直线的距离，
圆截直线的弦长公式为，解得
因为，所以.
故答案为：.
19．（24-25高二上·上海松江·月考）若是圆上的动点，则到直线的最小距离是 .
【答案】5
【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，应用点线距离公式求圆心到直线距离，进而确定圆上点到直线距离的最小值.
【详解】圆的方程化为标准方程得，圆心为，半径，
∴圆心到直线的距离，
∴，则到直线的最小距离为5.
故答案为：5
20．（24-25高二上·广东深圳·月考）已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ．
【答案】
【分析】由求出直线过的定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，，由此即可求解．
【详解】将直线整理得，，
由得，，
则直线过定点，
由得，，圆心为，半径
因为，所以点在圆内部，
当直线截圆的弦长最短时，，
所以弦长为，
故答案为：．
21．（2025高二下·全国·专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先找到点关于直线的对称点，然后结合两点之间线段最短即可求解.
【详解】如图所示：

设点A于直线的对称点为，
则解得则，因为，
所以的最小值为．
故答案为：
22．（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围.
【详解】由直线l：，得直线l恒过定点，
由圆C：，得，圆心，半径为，
又，即点在圆内，
当直线l经过圆心时，，
当直线时，，则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
23．（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，准确画出曲线方程所表示曲线形状解决问题.
【详解】曲线即,
如图所示，当即时，直线与曲线有两个公共点，
直线向左上移动，当直线与曲线相切时，有一个公共点，
原点到直线的距离为半径，即，解得，
所以，当有两个公共点时.
故答案为：.
24．（24-25高二下·上海松江·月考）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ．
【答案】
【分析】圆的圆心为，结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解.
【详解】设圆的圆心为，半径为1，
由切线长定理可得，
又因为，，则，所以，
所以，则四边形面积为，
所以，
当的长最小时，弦长最小，
而的最小值为圆心到直线的距离，
所以，所以．
故答案为：.
25．（24-25高二下·安徽·月考）已知线段的长度为3，动点满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出的轨迹圆后可求的最大值.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，则，
故，即，
故的轨迹为圆，且圆心为，半径为，
当与圆相切时，最大且此时，
而为锐角，故最大为，
故答案为：
四、解答题
26．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，.
(1)求圆的标准方程；
(2)求过原点且与圆相切的直线方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解；
（2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案.
【详解】（1）线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线斜率为，方程为，即，
由，解得，，因此圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为，
即直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为，
解得，因此切线方程为，
所以经过原点且与圆相切的直线方程为或.
27．（24-25高二下·云南·月考）已知直线与圆交于，两点.
(1)写出直线恒过的定点，并求出过点且与圆相切的直线方程；
(2)求出满足“的面积为”的的所有值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）求出直线恒过的定点，判断该定点与圆的位置关系求出切线方程.
（2）利用点到直线距离公式求出弦长，表示出三角形面积求出值.
【详解】（1）直线，对任意实数，当时，恒成立，
所以直线恒过定点；
而定点在圆上，
所以过点且与圆相切的直线只有一条，方程为.
（2）圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
，
，解得或或或，
所以所求的所有值为.
28．（24-25高二下·上海·月考）已知的三个顶点坐标为 、 、
(1)求边 上的高所在的直线方程；
(2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求两点的斜率，再利用垂直关系求出高线的斜率，最后由点斜式求出直线方程；
（2）设利用待定系数法求出圆的一般方程，进一步化为标准方程，讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得，即答案可求．
【详解】（1）由可得，直线斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为：，
则边上的高所在直线方程为：，整理得；
（2）设圆的方程为，代入三点坐标可得：
则，解得，，．
圆的方程为，化为标准方程：；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
代入圆的方程得：，
此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即．
由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离
再由圆心到直线的距离公式得：，解得．
直线方程为．
即直线的方程为或．
29．（24-25高二上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，圆过，，三点．
(1)求圆的方程；
(2)若斜率小于0的直线与交于，两点，与直线交于点，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求出方程.
（2）设出直线的方程，借助弦长公式求出斜率，再把该直线方程与圆的方程联立求出点的横坐标，利用弦长公式求出长，求出点到的距离即可求得面积.
【详解】（1）设圆的标准方程为，
由圆过，得，解得，
所以圆的方程为.
（2）依题意，设直线的方程为，点在直线上，
由，得，又，则，
于是直线的方程为，
由消去得，解得点的横坐标，
于是，
而点到直线的距离，
所以的面积为.
直线与圆
的位置关
系的图象
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相交。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相切。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相离。