专题24 多面体的外接球半径常见求法 讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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球作为特殊的旋转体，不仅在数学中，而且在物理学地理学中都是经常研究的对象，如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，多面体的与外接球直接的关系如何，球心的位置如何寻求呢？

题型一：寻求轴截面圆半径法
该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.
例1已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O−ABC的体积为( )
A. 212B. 312C. 24D. 34
【思路点拨】
先确定△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，然后在Rt△ABC和Rt△AOO1中，利用勾股定理求出OO1，再利用锥体的体积公式求解即可．
练1(多选)如图，已知圆锥顶点为P，其轴截面△PAB是边长为6的为正三角形，O1为底面的圆心，EF为圆O1的一条直径，球O内切于圆锥(与圆锥底面和侧面均相切)，点Q是球O与圆锥侧面的交线上一动点，则( )
A. 圆锥的表面积是45π
B. 球O的体积是43π
C. 四棱锥Q−AEBF体积的最大值为93
D. |QE|+|QF|的最大值为62
【思路点拨】
设截面圆圆心为O2，根据题意得出球O的半径|OO1|=3， |O1O2|=332，截面圆O2的半径为32，再对各选项逐项判定，即可求出结果．
题型二：确定球心位置法

此类题一般考虑球心、截面圆圆心的连线与截面垂直，再借助等式R=r2+d2求出外接球半径R.
例2已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点,且平面PBC⊥平面ABC，BC=3,PB=22,PC=5,则三棱锥P−ABC外接球的表面积为 ．
【思路点拨】
由O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理、正弦定理即可得外接球半径R，进而求得外接球表面积．
练2已知四棱锥P−ABCD的顶点都在球O上,AB=3,BC=4,CD=1，AD=26，AC=5，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，则球O的体积为 ．
【思路点拨】
由题意画出图形，取AC的中点O，证明O为四棱锥P−ABCD的外接球的球心，求出半径，再由球的体积公式求解．
练3一边长为4的正方形ABCD，M为AB的中点，将△AMD,△BMC分别沿MD,MC折起，使MA,MB重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为__________．
【思路点拨】
先根据已知图象定出外接球的球心位置，然后通过勾股定理求解出四面体的外接球的半径，从而可求球的表面积．
题型三：补形法

此类题多数补成长方体，再利用长方体的对角线等于外接球的直径求出；若补成三棱柱，可利用等式R=r2+d2求出外接球半径R.
例3在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD−A1B1C1D1中，已知AA1=BB1=CC1=DD1=2，AB=2，A1B1=1，则该四棱台的表面积为 ；该四棱台外接球的体积为 ．
【思路点拨】
先求出侧面等腰梯形的面积即可求出棱台的表面积；设AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1,将棱台补成四棱锥，根据相似比求出棱台的高，根据棱台和球的特征，确定棱台的外接球球心为O，可求得球的半径，即可求解．
练4.在三棱锥P−ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB= 11，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为( )
A. 26πB. 12πC. 8πD. 24π
【思路点拨】
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5， 11，则长方体的体对角线长等于三棱锥P−ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P−ABC外接球的表面积．
题型四：坐标法

由球心与多面体所有顶点的距离都是球半径，建立适当的空间直角坐标系进而求出外接球半径R.
例4直角△ABC中，AB=2，BC=1，D是斜边AC上的一动点，沿BD将△ABD翻折到△A'BD，使二面角A'−BD−C为直二面角，当线段A'C的长度最小时，四面体A'BCD的外接球的表面积为( )
A. 13π4B. 21π5C. 13π3D. 14π3
【思路点拨】
过点A'作A'H⊥BD交BD延长线于H，过点C作CM⊥BD交BD于M，再作NH//CM，CN//MH，使得CN与HN交于点N，得到A'C=5−2sin2θ≥3，当且仅当θ=π4时等号成立，再根据题意，以H为坐标原点，以HB，HN,HA'的方向为正方向建立空间直角坐标系，设四面体A'BCD的外接球的球心为O(x,y,z)，进而利用坐标法求球心坐标，进而求出四面体外接球的半径，表面积．
练5.如图①，在Rt△ABC中，C=π2，AC=BC=2，D,E分别为AC,AB的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图②.若F是A1B的中点，则四面体FCDE的外接球体积是（ ）
A．2πB． 23πC． 26πD．212π
【思路点拨】
由题意可知CD、DA、DE两两垂直,以D为原点，建立空间直角坐标系，设外接球的球心为M12,12,m，
进而利用坐标法求球心坐标.

1.在三棱锥P−ABC中,∠PAC=∠PAB,AC=2AB=4,PA=PB=2，BC=23，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为( )
A．22πB．26πC．64π3D．68π3
2.设三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,∠BAC=120∘,AA1=33，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A. 46πB. 35πC. 43πD. 39π
3.在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，CA=CB=AP=2，∠ACB=2π3，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为( )
A. 25πB. 20πC. 16πD. 12π
4.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC−A1B1C1中，BB1=BC=23，AB=2，AC=4，且有鳖臑C1−ABB1和鳖臑C1−ABC，现将鳖臑C1−ABC沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑C1−ABC经翻折后，与鳖臑C1−ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积是 ．
5.在边长为2的菱形ABCD中，BD=23，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B−AC−D的余弦值为13，则所得三棱锥A−BCD的外接球的表面积为 ．
6.已知三棱锥P−ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC=2,PB=PC,PA=14，O1为△ABC的外接圆的圆心,cs∠PAO1=277，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为 ．
7.如图所示，三棱锥P−ABC的顶点P、A、B、C都在球O的球面上，且△ABC所在平面截球O于圆O1，AB为圆O1的直径，点P在底面ABC上的射影为点O1，点C为AB的中点，点D为棱BC的中点．若cs∠PDO1=23，点P到底面ABC的距离为72，则球O的表面积为 ．
8.三棱锥P−ABC中，AB⊥AC，AB=2，BC=2 2，PC⊥AC，PB=2 5，则三棱锥P−ABC的外接球表面积的最小值为( )
A. 16πB. 18πC. 20πD. 21π
9.如图,D,E,F分别是边长为4的正三角形三边CA,AB,BC的中点,将△ADE,△BEF，△CFD分别沿DE,EF,FD向上翻折至与平面DEF均成直二面角，得到几何体ABC−DEF.则二面角C−AB−E的余弦值为 ；几何体ABC−DEF的外接球表面积为 ．