专题26 立体几何中的最值问题讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在近几年高考中出现，立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉 及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理，空间角与距离的求解等，求此类问题一般是直接法和函数法。

题型一：与线段有关的最值问题
立体几何中与线段最值有关的问题，一般都是转化为某一变量的函数，若是求两线段和的最值问题，往往转化为平面图形的直线段最短问题来处理.
例1在侧棱长为2，底面边长为2的正三棱锥P−ABC中,E,F分别为AB,BC的中点,M,N分别为PE和平面PAF上的动点，则BM+MN的最小值为 .
【思路点拨】
想方设法把BM+MN转化到某一平面的两个线段和，再通过直线段最短即可得出答案.
【规范解析】
取AC中点H，连接EH交AF于点O，证得EO⊥面PAO，
要使BM+MN的值最小，即求MN最小值，
可得MN⊥平面PAF，可得MN⊥PO，
又可证明MN//EO，再把平面POE绕PE旋转，与面PAB共面，
N’O’是N,O在旋转之后对应的点，
又可证得∠POE=90°,
因为EH=12BC=1,EO=12EH=12,且PA=PB=2,AB=2，
所以PA⊥PB,PE=12AB=1,
所以sin∠OPE=12，即∠OPE=30°,所以∠MPN'=30°,
所以∠BPN'=45°+30°=75°，可得sin75°=6+24，BM+MNmin=BN'=PB∙sin75°=3+12,
故答案为：3+12.
练1如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC= 2，BA⊥BC，PA=PB=PC=2，点M是棱BC上一动点，则PM+MA的取值范围是( )
A. 6+2 7,4B. 2+ 2,4
C. 10+ 142,4D. 10+ 142,2+ 2
【思路点拨】
把侧面PBC沿BC展开，使A、B、C、P四点共面，结合余弦定理可得解．
【规范解析】
解：如图所示，把侧面PBC沿BC展开，使A、B、C、P四点共面，
三角形BPC中，cs∠PBC=BC2+BP2−PC22BP·BC
= 24⇒sin∠PBC= 144，
因为AB=BC= 2，BA⊥BC，
所以AC=2，
当M与C重合时，PM+MA=2+2=4，
当M与B重合时，PM+MA=2+ 2