【25年秋季】新人教版八年级数学上册专项讲练专题12.6 三角形全等的判定-SAS（知识讲解）

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理解和掌握全等三角形判定方法——“边角边”，
【要点梳理】
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
特别说明：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、用SAS直接证明三角形全等
1、 如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：
AP＝AQ； (2) AP⊥AQ．
【答案】(1)证明见分析(2)证明见分析
【分析】
（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有对应边的关系，进而得出△ABP≌△QCA，即可得出结论．
（2）在（1）的基础上，证明∠PAQ＝90°即可．
解：(1)∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（直角三角形两个锐角互余），
∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等），
在△ABP和△QCA中，
，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP＝AQ（全等三角形对应边相等）．
(2)由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形对应角相等），
∵BD⊥AC（已知），
∵∠P+∠CAP＝90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代换），即∠QAP＝90°，
∴AP⊥AQ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用．
举一反三：
【变式1】 如图，在五边形ABCDE中，AB=CD，∠ABC=∠BCD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)当∠A=80°，∠ABC=140°，时，∠AED=_________度(直接填空)．
【答案】(1)见分析； (2)100
【分析】
（1）根据∠ABC=∠BCD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，可得∠ABE=∠DCE，∠CBE=∠BCE，推出BE=CE，由此利用SAS证明△ABE≌△DCE；
（2）根据三角形全等的性质求出∠D的度数，利用公式求出五边形的内角和，即可得到答案．
(1)证明：∵∠ABC=∠BCD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠BCE=∠DCE=∠BCD，
∴∠ABE=∠DCE，∠CBE=∠BCE，
∴BE=CE，
又∵AB=CD，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
(2)∵△ABE≌△DCE，
∴∠D=∠A=80°，
∵五边形ABCDE的内角和为，
∴∠AED=，
故答案为：100．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定及性质，多边形内角和计算，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
【变式2】如图，点B、C、D在同一直线上，△ABC、△ADE是等边三角形，CE＝5，CD＝2
(1)证明：△ABD≌△ACE； (2)求∠ECD的度数； (3)求AC的长．
【答案】(1)见分析 (2)60° (3)3
【分析】
（1）根据等边三角形的性质利用SAS证明；
（2）利用全等三角形的性质得到∠B=∠ACE=60°，计算即可得到答案；
（3）利用全等的性质得到BD的长，再由等边三角形的性质，即可得到AC的长．
(1)证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE；
(2)解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠DCE=180°－∠ACB－∠ACE=60°；
(3)解：∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=5，
∴BC=BD－CD=5－2=3，
∴AC=BC=3．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的几种判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，并熟练应用是解题的关键．
类型二、用SAS间接证明三角形全等
2、如图，在等腰三角形中，，，是边的中点，点在线段上从向运动，同时点在线段上从点向运动，速度都是1个单位/秒，时间是（），连接、、.
（1）请判断形状，并证明你的结论.
（2）以、、、四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值：若变化，用含的式子表示.
【答案】（1）为等腰直角三角形，见分析；（2）不变，9
【分析】
⑴连结AD,由SAS定理可证和全等，从而可证,DF=DE.所以为等腰直角三角形.
⑵由割补法可知四边形AEDF的面积不变，利用三角形的面积公式求出答案.
解：（1）为等腰直角三角形，理由如下：
连接，
∵，，为中点
∴
且平分
∴
∵点、速度都是1个单位秒，时间是秒，
∴
在和中，
，
∴
∴，
∵
∴
即：
∴为等腰直角三角形.
（2）四边形面积不变，
理由：∵由（1）可知，，
∴，
∴
∵
∴
【点拨】本题考查了三角形全等的判断SAS,及用割补法来证四边形的面积不变，四边形又三角形来组成。
举一反三：
【变式1】 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于F．
（1）求证：AE=BD；
（2）试判断直线AE与BD的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见分析；（2）互相垂直，证明见分析.
【分析】
（1）根据SAS判定△ACE≌△BCD，从而得到AE=BD；
（2）互相垂直，只要证明∠AFD=90°，从而转化为证明∠EAC+∠CDB=90°即可．
解：（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，
在△ACE和△BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD；
（2）答：直线AE与BD互相垂直，理由为：
证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
又∵∠DBC+∠CDB=90°，
∴∠EAC+∠CDB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥BD，
即直线AE与BD互相垂直．
【点拨】此题主要考查学生对全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情况．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【变式2】阅读下题及其证明过程：
已知：如图，是中的中点，，，试说明：.
证明：在和中，
（第一步）
（第二步）
问：（1）上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？
（2）写出你认为正确的推理过程．
【答案】（1）不正确，错在第一步；（2）详见分析.
【分析】
（1）根据SSA不能判定三角形全等，故错误；
（2）先根据三线合一得到，再用ASA证明，即可求解.
解：（1）不正确. 错在第一步
（2）理由 ∵D是BC的中点，
∴（三线合一）
∴
在△AEB和△AEC中，

∴
∴
【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法.
类型三、全等性质与SAS综合
3、如图，平分，，且，点在线段上，的延长线交于点，连接．
(1)求证：．
(2)当∠AEB＝∠AEC＝71°，时，求的度数．
【答案】(1)见分析 (2)33°
【分析】
（1）根据SAS推出全等；
（2）由（1）中三角形全等以及平行的性质可以求得度数．
解：(1)∵平分
∴
∵，
∴；
(2)∵
∴
∵
∴
∴∠DCE=∠AEC-∠D=71°-38°=33°．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的应用，应熟练掌握并灵活运用．
举一反三：
【变式1】 已知：如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°．
求证：AC=BD；
(2) 求∠APB的度数．
【答案】(1)见分析；(2)
【分析】
（1）通过证明，即可求证；
（2）利用三角形外角的性质可得，由（1）可得，从而得到，利用三角形内角和的性质即可求解．
(1)证明：∵，
∴，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴，
∴；
(2)解：由（1）可得，
由三角形外角的性质可得
∴，
∴，
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
【变式2】在①DE＝BC，②，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，AC平分，D是AC上的一点，．若______，求证：．
【分析】选②，根据角平分线的性质可得∠EAD＝∠BAC．由三角形的内角和定理可得，，即可求解，若选③，证明，即可求解．
解：若选②；
证明：∵AC平分∠BAE，
∴∠EAD＝∠BAC．
∵∠E＝∠C，
∴．
∵，．
∴∠ADE＝∠ABC．
若选③，
证明：∵AC平分∠BAE，∴．
在△ABC和△ADE中，
∴．
∴．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形求得的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
类型三、用SAS进行作图
4、某中学八年级学生进行课外实践活动，要测池塘两端A，B的距离，因无法直接测量，经小组讨论决定，先在地上取一个可以直接到达A，B两点的点O，连接AO并延长到点C，使AO＝CO；连接BO并延长到点D，使BO＝DO，连接CD并测出它的长度．
（1）根据题中描述，画出图形；
（2）CD的长度就是A，B两点之间的距离，请说明理由．
【分析】
（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
解：（1）图形如图所示：
（2）连接AB．
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD，
∴CD的长度就是A，B两点之间的距离．
【点拨】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用全等三角形的性质解决问题．
举一反三：
【变式1】 如图，已知线段a、b和，用尺规作一个三角形，使．（要求：不写已知、求作、作法、只画图，保留作图痕迹）
【分析】先作，再以为圆心，分别以线段a、b长为半径，画弧与射线、交于点，即可．
解：先作，
再以为圆心，分别以线段a、b长为半径，画弧与射线、交于点，连接，即为所求，如图所示：
【点拨】本题考查了复杂作图，利用了作一个角等于已知角，作线段等于已知线段，是基本作图，需熟练掌握．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式2】如图所示，已知△ABC，请你画一个△A1B1C1，使A1B1＝AB，C1B1＝CB，∠B1＝∠B，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据已知三角形，利用进而得出全等三角形即可．
解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
【点拨】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．