第04讲 线段垂直平分线与角平分线-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）（原卷版+解析版）

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知识点1 线段垂直平分线
1.如图，直线PQ是线段AB的垂直平分线，PQ与AB交于点O，
把OA沿直线PQ翻折，可得OA与OB重合。
几何语言：∵直线PQ是线段AB的垂直平分
∴∠1=∠2=90°，OA=OB
因此，线段是轴对称图形；
它得对称轴是线段的垂直平分线和它本身所在得直线。
2.如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．
PA=PB
证：∵直线l是线段AB的垂直平分线
∴∠1=∠2=90°，OA=OB
在▲PAO与▲PBO中
∴▲PAO≌▲PBO（SAS）
∴PA=PB
因此线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
几何语言：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P是l上一点
∴PA=PB（证明定理：SAS）
3.如图，若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB，
那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？
在。过点Q作AB的垂线交AB与点M，可得∠QMA=∠QMB=90°
证：在Rt▲AQM和Rt▲BQM中，∠QMA=∠QMB=90°，
∴Rt▲AQM≌Rt▲BQM（HL）∴AM=BM∴点Q在线段AB的垂直平分线上。
因此线段垂直平分线的判定定理是到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
几何语言：∵QA=QB∴点Q在线段AB的垂直平分线上
4.如图：已知AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。
证明：∵AC=AD，BC=BD
∴点A、B是线段CD垂直平分线上的
∴AB垂直平分CD
5.你用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？
作法：
1.分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D。
2.过C、D两点作直线。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
6.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段BC、AC的垂直平分线，你会发现什么？
三角形三边的垂直平分线交于一点.这一点到三角形三个顶点的距离相等
知识点2 角平分线
如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折，
因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。
因此，
角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。
证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°
在▲PDO与▲PEO中，
∴▲PDO≌▲PEO（AAS）
∴PD=PE
因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．
几何语言：
∵点P在∠AOB的平分线上，
PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD＝PE
3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？
点Q在∠AOB的角平分线上；连接OQ，
∵QD⊥OA，QE⊥OB
∴∠QDO=QEO=90°
在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°，
∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）
∴∠DOQ=∠EOQ
∴点Q在∠AOB的角平分线上
因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
几何语言：
∵点Q在∠AOB的内部， QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE
∴点Q在∠AOB的平分线上
已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM．
（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．
（2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M
（3） 作射线OM。
5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？
三角形三个顶角的角平分线交于一点.这一点到三角形三条边的距离相等
6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？
考点一、线段垂直平分线的性质
1．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（ ）
A．17B．16C．18D．20
2．如图，在中，是的垂直平分线，，如果的周长为，则的周长是 ．
3．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
考点二、角平分线的性质
1．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．1
2．如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ．
3．如图所示，点O是的角平分线和的交点，，，，，，求的面积是多少？
考点三、线段垂直平分线的逆定理
1．如图，已知：，，点E在的延长线上．
(1)求证：垂直平分；
(2)求证：
2．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证：
(1)；
(2)是的垂直平分线．
3．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ；
(2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明；
(3)如图，若，，求筝形的面积．
考点四、角平分线的逆定理
1．如图，，M是的中点，平分．求证：平分．
2．在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
3．如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)的度数是 ；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
考点五、尺规作图
1．尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等．
2．如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明．
3．如图所示，和是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在C处修建一个货运站，使C到两条道路的距离相等，且到A、B两个销售点的距离相等，请作出点C的位置（已知点C在的区域内）．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
考点六、网格作图
1．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上．
(1)在图中作出关于直线对称的．
(2)在直线上找一点Q，使的值最小．
(3)图中若有格点P满足．请你用尺规画图（保留作图痕迹）找到这样的点，并标注出来．
2．图①，图②，图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P，Q均为格点．只用直尺在给定的网格中，按下列要求画图．
(1)在图①中，画出关于直线l的轴对称图形；
(2)在图②中，找出格点O，使它到P，Q两点的距离相等，且到的距离相等；
(3)在图③中，在直线l上找出一点M，使得的值最小．
3．如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若，，三点是格点．
(1)在图1中，画出的中点；
(2)在图1中，画出的垂直平分线；
(3)在图2中，在边上找点，使；
(4)在（3）的基础上，请在上画点，使．
考点七、双垂直平分线
1．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，求的度数．
2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，求：
(1)的度数
(2)的周长
3．【问题发现】
（1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________．
【问题探究】
（2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，
连接、，求的周长；
【拓展应用】
（3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由．
考点八、垂直平分线与角平分线结合
1．如图，中，的角平分线与边的垂直平分线交于点D，于点E，于点F．
求证：
(1)
(2)
2．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．

(1)求证：；
(2)求证：．
3．已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，．

(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
知识导图记忆
1．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．1．5
3．如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）
A．1：1：1B．7：6：5C．6：5：7D．5：6：7
4．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
5．已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的角平分线，，则的面积是 ．
7．如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ．
8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ．
9．在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ．
10．如图，的2个内角与的角平分线相交于点．
（1）设，则 ．（用含的式子表示）
（2）过的直线分别交，于D，E两点，，的面积分别记为，．若，的周长为8，则的值为 ．
11．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）
12．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：．
13．如图，是的平分线，于，于．求证：．
14．综合与实践
问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合．

初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分；
拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离．
15．已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且．
(1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）；
(2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．教材习题01
如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P．
(1)求证：；
(2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由；
(3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可）
教材习题02
如图，已知，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．若的周长为19，周长为13，求的长．
教材习题03
如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．
教材习题04
尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法）