2026届高考一轮复习基础练数学第四章 三角函数与解三角形（数学模型 1三角函数与解三角形的建模应用）

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应用专练专项训练
1.[多选][人A必修一P242问题1变式]某弹簧振子在振动过程中时间 t(单位: s)与位移 y(单位:m)满足关系式 y=10cs3π7t−π5,t∈ [0,+∞) ,则下列关于该简谐运动的说法正确的是（）
A.振幅为 10 B.周期为 14π3 C.频率为 314 D.初相为 π5
2.[多选][人A必修一P241习题5.6第7题变式]如图, A是轮子(半径为 0.5 m)外边沿上的一点,若轮子从图中位置(A恰为轮子和地面的切点)向左匀速无滑动滚动,当滚动的水平距离为 xm(x≥0) 时,点 A距离地面的高度为h(x),则（）
A.当 x=9 时,点 A恰好位于轮子的最高点
B. ℎ(x+3π)=ℎ(x)
C.当 x∈(5,6) 时,点 A距离地面的高度逐渐减小
D.若 ℎx1=ℎx2=0.5,x2>x1≥0 ,则 x2− x1 的最小值为 π2
3.[多选][2024年新高考II卷第8题][人A必修二P51练习第1题变式]一艘轮船航行到 A处时看灯塔 B在 A的北偏东 75∘ 方向,距离为 126 海里,灯塔 C在 A的北偏西 30∘ 方向,距离为 123 海里,该轮船由 A沿正北方向继续航行到 D处时再看灯塔 B在其南偏东 60∘ 方向,则下列结论正确的有（）
A. AD=24 海里
B. CD=12 海里
C. ∠CDA=60∘ 或 ∠CDA=120∘
D. ∠CDA=60∘
4.[多选][2025年北京西城高三调研第12题][人A必修二P52习题6.4第8题变式]某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中,一定可以计算出旗杆高度的方案有（）
A.在水平地面上任意寻找两点 A, B,分别测量旗杆顶端的仰角 α,β ,再测量 A, B两点间的距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为 h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角 α 和 β
C.在地面上任意寻找一点 A,测量旗杆顶端的仰角 α ,再测量 A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方 A处测得旗杆顶端的仰角 α ,正对旗杆前行 5 m到达 B处,再次测量旗杆顶端的仰角 β
5.[单选][2024年人教A版必修一习题5.7第3题变式]已知函数 y=2sin(ωx+φ) 的最小正周期为 π，且图象过点 (0,1)，则 ω 和 φ 的可能取值为（）
A. ω=2,φ=π6 B. ω=1,φ=π3 C. ω=2,φ=π3 D. ω=4,φ=π6
6.[多选][2025年新高考I卷模拟第10题变式]如图，某摩天轮的半径为50m，圆心O距地面高度为60m，游客从最低点A出发，乘坐摩天轮旋转一周。若旋转时间为20分钟，当游客距离地面高度首次达到85m时，大约经过了（）
A. 5分钟 B. 7分钟 C. 10分钟 D. 12分钟
7.[单选][2024年苏教版必修二习题6.3第5题变式]在△ABC中，已知 a=8，b=6，∠C=60∘，则△ABC的外接圆半径为（）
A. 833 B. 733 C. 43 D. 33
8.[多选][2025年浙江杭州高三期末第14题变式]某港口在一天内潮汐高度y（单位：m）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系 y=3sin(π6t+π3)+5，则下列说法正确的是（）
A. 最大潮汐高度为8m
B. 最小潮汐高度为2m
C. 潮汐周期为12h
D. t=6时潮汐高度达到最大值
9.[单选][2024年全国甲卷文数第18题变式]如图，在△ABC中，D为BC中点，已知 AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，则AD的长度为（）
A. 7 B. 19 C. 132 D. 52
10.[单选][2024年人教B版必修三习题7.2第4题变式]在△ABC中，已知 a=5，b=7，c=8，则 csB 的值为（）
A. 12 B. 57 C. 1114 D. 35
11.[多选][2025年山东青岛高三调研第13题变式]某信号塔发射的无线电波强度I随时间t的变化满足函数 I=5cs(100πt+π4)，则下列说法正确的是（）
A. 最大强度为5 B. 周期为0.02s C. 频率为50Hz D. 初相为π4
12.[单选][2024年新高考II卷第17题变式]在△ABC中，已知 a=3，b=4，∠C=120∘，则△ABC的面积为（）
A. 33 B. 6 C. 23 D. 3
13.[多选][2025年广东深圳高三模考第15题变式]如图，在△ABC中，已知 ∠A=45∘，∠B=60∘，BC=2，则下列结论正确的是（）
A. AC=6 B. AB=3+1 C. 面积为 3+32 D. 外接圆半径为 2
14.[单选][2024年北京海淀高三期末第8题变式]已知函数 y=cs2x+sinx 的最大值为（）
A. 54 B. 1 C. 2 D. 34
1.答案：A、C、D
解析：
A：振幅为10（正确）
B：周期 T=2πω=143（单位：s），题目选项错误
C：频率 f=1T=314（正确）
D：初相为 −π5（题目选项错误，应为负值）
2.答案：A、B、C
解析：
A：轮子周长 3π，x=9时滚动3周，A在最高点（正确）
B：周期为 3π（正确）
C：x∈(5,6)对应角度在下降区间（正确）
D：最小间隔应为 π3（错误）
3.答案：A、B、D
解析：
在△ABD中：由正弦定理得 AD=24（A正确）
在△ACD中：CD=12（B正确）
∠CDA=60°（D正确）
4.答案：B、C、D
解析：
A：缺少角度与旗杆的关系（无法确定）
B：利用建筑物高度差和仰角可解
C：直接解直角三角形
D：两次仰角+距离差可解
5.答案：A
解析：
周期 T=π=2πω⇒ω=2
图象过(0,1)：2sinφ=1⇒φ=π6
6.答案：B
解析：
高度函数：ℎ(t)=50sin(π10t)+60
解方程 85=50sin(π10t)+60 得 t≈7分钟
7.答案：A
解析：
余弦定理求 c=82+62−2×8×6×cs60°=213
外接圆半径 R=c2sinC=833
8.答案：A、C
解析：
A：最大高度=3+5=8m（正确）
C：周期 T=2ππ/2=4ℎ（题目选项错误）
D：t=6时 y=3sin(3π+π/3)+5=5−332（非最大）
9.答案：192
解析：
余弦定理求 BC=22+32−2×2×3×cs60​∘=7
中线公式：AD=122(22+32)−7=192
10.答案：C
解析：
csB=52+82−722×5×8=1114
11.答案：A、B、C、D
解析：
A选项：函数I=5cs(100πt+π4)中，振幅A=5表示最大强度，故A正确。
B选项：周期T=2πω=2π100π=0.02秒，故B正确。
C选项：频率f=1T=10.02=50Hz，故C正确。
D选项：初相φ=π4，故D正确。
12.答案：A
解析：
S=12×3×4×sin120°=33
13.答案：A、B、C
解析：
正弦定理：AC=2sin60°sin45°=6（A正确）
AB=2sin75°sin45°=3+1（B正确）
面积：S=12×2×(3+1)×sin45°=3+32（C正确）
14.答案：A
解析：
y=1−sin2x+sinx=−(sinx−12)2+54≤54
解决三角函数
模型实际应用
问题的策略
1.已知函数模型时,先根据题目中的已知信息求出函数解析式,再进行求解.
2.不知道函数模型时,需把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量(如周期、振幅、初相等),建立模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.
求解解三角形
的 实际应用问
题的 一般步骤
第1步分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图.
第2步建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型.
第3步求解:利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解.
第4步检验:检验上述所求的三角形是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.