2026届高考一轮复习基础练数学第四章 三角函数与解三角形（第5节 解三角形）

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知识点43 利用正、余弦定理解三角形
回归教材
在△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，R为△ABC的外接圆半径.
教材素材变式
1.[多选][2024年新高考II卷第10题改编][人B必修四P7练习A第3题变式] 在△ABC中，下列说法正确的是（）
A. 若a=2b，则sinA=2sinB
B. a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)≠0
C. 若acsA=bcsB，则△ABC是等腰或直角三角形
D. 若a²+b²>c²，则C1，则△ABC不是锐角三角形
C. 若sin²A+sin²B=sin²C，则△ABC是直角三角形
D. 若acsB=bcsA，则△ABC是等腰三角形
4.[2025年浙江Z20联盟联考][人B必修四P11练习A第4,5题变式] 在△ABC中，a,b,c成公差为2的等差数列。
(1) 若ccsB+bcsC=5，求S；
(2) 当a=4时，判断△ABC形状。
知识点45 与中线、角平分线、高线有关的解三角形问题
回归教材
与中线、角平分线、高线有关的解三角形问题的解题策略：
教材素材变式
1.[多选][2024年新高考I卷第12题改编][人B必修四P20复习题A组第7题变式] 在△ABC中，AB=3, AC=4, ∠BAC=60°，则：
A. BC边长为13 B. 中线AD长为7
C. 角平分线AE长为1237 D. 高AH长为6313
变式探究
变式1 [2025年全国乙卷理16]：在△ABC中，∠BAC=120°, AB=3, AC=4，角平分线AD交BC于D，则AD=____。
变式2 [2024年浙江Z20联盟联考]：在△ABC中，AD平分∠BAC，cs∠BAC=3/5，AB=5, AC=3，则BD:DC= ，AD= 。
变式3 [2025年江苏南京调研]：设△ABC满足a²+b²+ab=c²，角C平分线CM=3，则向量AC·CB的最小值为____。
变式4 [2024年深圳二模]：在△ABC中，b=2c, D在BC上且BD:DC=1:2, AD=7，若c=2，则面积为____。
2.[2025年湖北八校联考][人B必修四P12习题9-1B第2题变式] 在△ABC中，b=5, c=21，中线AD=3，则a=____。
3.[2024年北京海淀区期末] 在△ABC中，A=π3，AB边上的高CH=33·AB，则csC=____。
知识点46 用正、余弦定理求解与平面几何有关的问题
回归教材
求解与平面几何有关的解三角形问题的策略：
将平面图形拆分为若干三角形，在各三角形内利用正弦定理、余弦定理表示边或角，再根据各个三角形之间的联系，通过公共条件交叉求解；
注意：在求解过程中，要留意角之间关系的运用，像互补、互余，两角之和为特殊角等；求解与圆相关问题时，借助圆内接四边形的性质、正弦定理等工具解题 。
教材素材变式
1.[人B 必修四 P21 复习题 B 组第 7 题变式] 如图所示，点 A 是等边△BCD 外一点，且∠BAD = 2π3，AD = 2，BD = 23，则△ABC 的周长为______。
变式探究
如图，在平面四边形 ABCD 中，若 BC = 2AB = 4，AC = 27，AB⊥BD，∠BCD = π4，则∠ABC = ______，BD = ______。
2.[人 B 必修四 P10 例 4 变式] 如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB 与∠DCB 互补，AB = 6，BC = 4，CD = 4，AD = 2，则 AC = ______。
变式探究
变式 1 变设问 如图所示，四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，其中 AB = 2，BC = 3，CD = 22，DA = 1。
(1) 求 sin D 的值；
(2) 求四边形 ABCD 的面积及圆 O 的半径。
变式 2 在变式 1 的基础上变条件 在圆 O 的内接四边形 ABCD 中，AB = 2，CD = 1，∠A = π3。
(1) 若 AC 是圆 O 的直径，求 AD 的长；
(2) 若圆 O 的直径为5，求四边形 ABCD 的面积。
知识点47 解三角形中的最值或范围问题
回归教材
解三角形中的最值或范围问题通常涉及边长、周长、面积或角度的范围。常用解题方法：
1.代数法：通过余弦定理结合基本不等式构造不等关系求解；
2.三角法：利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换消元，利用三角函数范围求解（适用于锐角三角形等有角度限制的情况）。
教材素材变式
1.[多选][人B必修四P19复习题A组第3题变式] 在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 a2+b2−c2=abcsC+c2csA，则下列结论正确的有
A. sinA>csB
B. C∈π3,π2
C. ba 的取值范围为 22,1
D. a+b 的取值范围为 (2c,3c)
变式探究
[2025 年高三调研卷][人教版选择性必修第一册 P78 例题变式] 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 sinAcsB+sinB=2sinC1+csC。
(1) 若 A=π4，求 B；
(2) 求 b2+c2a2 的最大值。
2.[2024 年苏锡常镇一模][人教版必修第二册 P95 习题变式] 在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 bcsC+ccsB=2acsA，AE 为 ∠BAC 的角平分线，交 BC 于 E，且 AE=3，则 △ABC 面积的最小值为_____.
变式探究
变式1变设问：[2025 年衡水中学高三模拟][人教版必修第二册 P112 习题变式] 在 △ABC 中，A=2π3，b+c=6，则当 △ABC 的面积取得最大值时，bc 的值为()
A. 12 B. 32 C. 2 D. 3
变式2 求最大值：[2024 年新高考Ⅱ卷][人教版必修第二册 P108 习题变式] 在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 bsinA+3acsB=3c。
(1) 求 A；
(2) 若 a=2，求 △ABC 周长的最大值。
变式3求角的最值：在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若4a2=3(b2−c2)，则当A最大时，sinC=（）
A.377 B.24 C.74 D.477
变式4求范围：设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知csB+3sinB=2, c=1，则△ABC面积的取值范围为（）
A.3,532 B.34,32 C.38,3 D.38,32
变式5求四边形面积的最值：在凸四边形ABCD中，已知AB=AD, AB⊥AD, BC=4, CD=2。
(1) 若cs∠BCD=14，求sin∠CBD和sin∠ABC的值；
(2) 求四边形ABCD的面积S的最大值。
3.[人B必修四P21复习题B组第5题变式] 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，sin2B+(csA+csC)(csA−csC)=sin(A+B)sin(A+C)。
(1) 求A；
(2) 设a=43，求△ABC周长的最大值。
变式探究
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，csA=35，若△ABC的面积为2，则当△ABC的周长最小时，求ba的值。
知识点43利用正、余弦定理解三角形
1.答案：ACD
解析：
A选项：根据正弦定理，asinA=bsinB，若a=2b，则sinA=2sinB，因此A选项正确。
B选项：根据正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入得：
2RsinA(sinB−sinC)+2RsinB(sinC−sinA)+2RsinC(sinA−sinB)=0
化简得：sinAsinB−sinAsinC+sinBsinC−sinBsinA+sinCsinA−sinCsinB=0
即：a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0，因此B选项错误。
C选项：根据余弦定理，csA=b2+c2−a22bc，csB=a2+c2−b22ac，代入得：
a⋅b2+c2−a22bc=b⋅a2+c2−b22ac
化简得：a2c2−a4=b2c2−b4，即(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，因此C选项正确。
D选项：根据余弦定理，csC=a2+b2−c22ab，若a² + b² > c²，则csC>0，因此C2，保证边长为正 ）。
结合正弦定理sinBsinC=bc，且由2sinC=sinB（推导得sinB=2sinC ），所以bc=2 ，即：
a−1a−2=2。
解方程：
a−1=2(a−2)a−1=2a−2222−1=a(2−1)α=22−12−1α=3+2
知识点44三角形形状的判断及三角形的面积
1.答案：2
解析：根据三角形的面积公式，S=12absinC，代入得：
32=12⋅3b⋅b⋅12
解得：b=2。
变式探究：
变式1：答案：23
解析：设三边高分别为h、2h、3h，则三边分别为2ℎ、4ℎ、6ℎ，因为最短边为2，所以2ℎ=2，解得：ℎ=1，因此三边分别为2、4、6。根据海伦公式，得：
p=2+4+62=6, S=6(6−2)(6−4)(6−6)=23
变式2：答案：8和 5+13
解析：根据正弦定理，asinA=bsinB=csinC，得：
asinB+csinA=6sinA⇒asinB+asinC=6sinA⇒a(sinB+sinC)=6sinA
因为sinB+sinC=6sinAa，又因为bc=b+c+3，所以：
6sinAa=b+c+3bc
又因为S=12bcsinA=22，解得：bc=42，代入得：
6sinAa=b+c+342
因为b+c=42sinA−3，所以周长p=a+b+c=a+42sinA−3，因为A∈(0,π)，所以sinA∈(0,1]，因此p∈(5+13,8]。
变式3：答案：322
解析：根据正弦定理，asinA=bsinB=csinC，得：
asinB=bcsA⇒sinAsinB=sinBcsA⇒tanA=1
因为A∈(0,π)，所以A=π4，又因为a2=(b−c)2+6，所以：
a2=b2+c2−2bc+6
根据余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA，代入得：
b2+c2−2bccsπ4=b2+c2−2bc+6
解得：bc=6+32，因此：
S=12bcsinA=12⋅(6+32)⋅22=322
2.答案：ABD
解析：
A选项：秦九韶“三斜求积术”公式为S=14a2c2−a2+c2−b222，海伦公式为S=p(p−a)(p−b)(p−c)（p=a+b+c2 ），二者可相互推导，等价，A正确。
B选项：当a2+c2=b2时，代入“三斜求积术”公式，S = {14a2c2−a2+c2−b222=14a2c2=ac2，退化 为直角三角形面积公式，B正确。
C选项：“三斜求积术”适用于任意三角形，包括钝角三角形，C错误。
D选项：“三斜求积术”需已知三角形的三条边长a,b,c（三斜），D正确。
3.答案：ACD
解析：
A选项：由正弦定理asinA=bsinB，即5sinA=4sinB，又A=2B，sinA=sin2B=2sinBcsB，则52sinBcsB=4sinB，约去sinB（sinB≠0 ），得csB=58 ，A选项正确 。
B选项：tanAtanB>1，A,B为三角形内角，tanA>0,tanB>0（因为tanAtanB>1>0 ），所以A,B是锐角，tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanBcsB 恒成立。
选项B：由 csC∈(0,12)，得 C∈(π3,π2)。
选项D：由正弦定理和锐角范围，a+b∈(2c,3c)。
变式探究
解：（1）由条件 sinAcsB+sinB=2sinC1+csC，代入 A=π4：
22csB+sinB=2sinC1+csC
利用 C=3π4−B 化简，解得 tanB=2−3 ⇒ B=π12。
（2）由正弦定理和三角恒等变换，得：b2+c2a2=1+4sinBsinC≤1+4⋅12=3 (当 B=C 时取等)
2.答案：面积最小值为 3
解析：
1.由 bcsC+ccsB=2acsA，化简得 csA=12 ⇒ A=π3。
2.角平分线 AE=3，由角平分线公式：
AE2=bc−b2c2(b+c)2=3
3.由不等式 bc≥4，面积 S=12bcsinA≥3。
变式探究
变式1答案：B
解析：已知 A=2π3，b+c=6，面积公式：S=12bcsinA=34bc
由 bc≤b+c22=9，当 b=3.6，c=2.4 时取等，此时 bc=32。
变式2解：（1）.由 bsinA+3acsB=3c，正弦定理化简得：
sinBsinA+3sinAcsB=3sinC
利用 C=π−A−B，解得 tanA=3 ⇒ A=π3。
（2）由正弦定理，周长 L=2+433(sinB+sinC)。
当 B=C=π3 时，Lmax=6。
变式3答案：D
解析：
由 4a2=3(b2−c2)，结合余弦定理 a2=b2+c2−2bccsA，化简得：csA=7b2−c28bc
当 A 最大时，csA 最小。设 k=bc，则：csA=7k2−18k
对 k 求导得极值点 k=77，代入得 csAmin=74。
由正弦定理：sinC=csinAa=477 (选D)
变式4答案：D
解析：
由 csB+3sinB=2，化简得 sin(B+30​∘)=1，故 B=60​∘。
由正弦定理：asinA=csinC=1sin60​∘=233
面积公式：S=12acsinB=33sinAsinC
因 A+C=120​∘，利用 sinAsinC∈(14,34)，得 S∈(38,32)。
变式5解：（1）在△BCD中，由余弦定理：cs∠BCD=14 ⇒ sin∠BCD=154
由正弦定理：sin∠CBD=CDsin∠BCDBC=2⋅1544=158
∠ABC=45​∘+∠CBD，用和角公式：sin∠ABC=sin45°cs∠CBD+cs45°sin∠CBD=6+108
（2）设 ∠BCD=θ，则面积：S=12AB⋅AD+12BC⋅CDsinθ=2+4sinθ
当 θ=90​∘ 时，Smax=2+4=6
3.解：（1）化简给定等式：sin2B+cs2A−cs2C=sin2Bcs2A+sin2Acs2B
整理得 csA=12，故 A=π3。
（2）由正弦定理：bsinB=csinC=asinA=8
周长 L=43+8(sinB+sinC)，当 B=C=π3 时，Lmax=123。
变式探究
解：由 csA=35，得 sinA=45，面积 S=12bcsinA=2 ⇒ bc=5。
余弦定理：a2=b2+c2−65bc≥2bc−65bc=45bc=4
当 b=c=5 时，amin=2，此时 ba=52
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
a2=b2+c2−2bccsA;
b2=a2+c2−2accsB;
c2=a2+b2−2abcsC.
常见变形
边化角: a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; 角化边: sinA=a2R, sinB=b2R, sinC=c2R;
求比值: a:b:c=sinA:sinB:sinC
求角或角化边: csA=b2+c2−a22bc, csB=a2+c2−b22ac, csC=a2+b2−c22ab
三角形的面积公式
S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB=abc4R=12(a+b+c)r=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p为△ABC周长的一半。
三角形内角特征的判断
a2>b2+c2⇔A为钝角; a2=b2+c2⇔A为直角; a2