苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习-专题05一元一次不等式(学生版+解析)

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【考点1： 】生活中的不等式 【考点2：】不等式的解集
【考点3： 】不等式的性质 【考点4：】解一元一次不等式
【考点5： 】用一元一次不等式解决问题 【考点6：】一元一次不等式组
一、生活中的不等式
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
二、不等式的解及解集
不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
四、解一元一次不等式
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
一元一次不等式的解法
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
五、一元一次不等式实际问题
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.
7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可
8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可
列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
注意
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表 示不等关系的文字补上．
六、一元一次不等式组
不等式组的概念
如，等都是一元一次不等式组．
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集：
注意：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
注意：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．
考点剖析
【考点1：】生活中的不等式
1．下列是不等式的是（ ）
A．B．C．D．
2．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，下列车高中， 不能通过桥洞的是（ ）
A．B．C．D．
3．“x的一半与1的差是非负数”用不等式可以表示为 ．
4．某种商品的进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润率不低于，那么商店可降价多少元出售此商品？设商店降价元出售此商品，请列出符合题意的不等式： ．
5．根据题意列不等式．
(1)代数式的值不小于；
(2)的倍减的差不大于；
(3)的与的倍的和是非正数．
6．青少年近视已经成为困扰我国中小学生的严重问题，根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中对学生用品——护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有明确的合格要求，某企业生产的A，B两种型号的护目灯均符合要求．已知出售1件A型号和3件B型号护目灯共收入1100元，出售2件A型号和5件B型号护目灯共收入1900元．
(1)求A型号和B型号每件护目灯的售价；
(2)若出售A，B两种型号（均有销售，且总件数不超过13件）共收入3000元，则出售A，B两种型号的护目灯各几件？

【考点2：】不等式的解集
1．是下列不等式（ ）的一个解．
A．B．C．D．
2．定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
3．在中，已知，，的取值范围在数轴上表示如图所示，则的长为
4．如图所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数为 ．

5．已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集
6．解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求的取值范围．
【考点3：】不等式的性质
1．下列命题中，错误的是（ ）
A．若，则B．若且，则
C．若且，则D．若，则
2．如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（ ）
A．B．C． D．
3．若，则 ．（填“”或“”）
4．已知关于、的二元一次方程组 ，若，设，则的取值范围为 ．
5．阅读下列材料：
数学问题：已知：，且，，试确定的取值范围．
问题解法：，
，，
，①
同理，，
，，
，，②
由②+①得，的取值范围是
完成任务：
(1)直接写出数学问题中的取值范围：______．
(2)已知，且，，试确定的取值范围；
(3)已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．
6．阅读材料，解决下列问题．
(1)材料中依据1是___________，依据2是___________．
(2)参考小逸的证明方法，请你完成②的证明．

【考点4：】解一元一次不等式
1．不等式的解集在数轴上表示为图中的（ ）
A．B．
C．D．
2．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．若x，y满足方程组也满足不等式，则a的取值范围是 ．
4．我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为 .
5．【探究归纳】
解下列不等式：（1）；（2），总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”．
【问题解决】
(1)的解集______解集的“子集”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值．
6．阅读求绝对值不等式和的解集的过程：
因为，从如图所示的数轴上看，大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是．
因为，从如图所示的数轴上看，小于的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以的解集是或．
解答下面的问题：
(1)不等式的解集为______，不等式的解集为______；
(2)解不等式．
【考点5：】用一元一次不等式解决问题
1．小明用元钱去购买笔记本和钢笔共件，如果每支钢笔元，每本笔记本元，那么小明最多能买钢笔的支数是（ ）
A．B．C．D．
2．张叔在一段足够长的圩埂边上用网围成长方形状区域，用来养殖某种海鲜，该网总长为，长方形的宽为，长为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．某品牌衬衫的进价为120元，标价为240元，如果商店打折销售但要保证利润不低于，则最多可以打 折出售．
4．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对 道题．
5．今年植树节，某班同学共同种植270棵树苗，这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵35元，乙树苗每棵20元，购买这批树苗的总费用不超过5700元，请问最多购买甲树苗多少棵？
6．2023年中国新能源汽车市场火爆．中国新能源汽车产业对于中国有着重要的战略意义，中国汽车产业凭借在新能源汽车上的强劲表现，2023年汽车山口荣登全球第一．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车的进价共计120万元．
(1)求，型新能源汽车每辆进价分别是多少万元？
(2)公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多购买型新能源汽车多少辆？

【考点6：】一元一次不等式组
1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知为整数，关于，的二元一次方程组的解满足，则整数值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
3．若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ．
4．若关于的一元一次不等式组的解集是．则的取值范围为 ．
5．已知关于x、y的方程组
(1)若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于m的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
6．阅读下列材料，然后根据例题解下列不等式：
例题：求不等式的解集．
解：要使成立，由有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”可得①，或②，
解不等式组①得，解不等式组②得．
∴不等式的解集为或．
请根据上面例题的解法解决下列问题：
(1)不等式的解集是 ．
(2)求不等式的解集．
过关检测
1．x与3的差是负数，用不等式表示为（ ）
A．B．C．D．
2．不等式的非负整数解有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
4．若代数式的值不大于的值，则的最大整数值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．不等式的最小整数解是3，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于的方程有非负数解，且关于的不等式组的解集为，则符合条件的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．27B．28C．35D．36
9．不等式的解集为 ．
10．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少定为多少元/千克？设售价应定为元/千克，列出的不等式为 ．
11．已知关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有自然数的值的和是 ．
12．运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是 ．
13．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）．
①，，； ②，，．
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ．
14．已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的取值范围 ．
15．解关于x的不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来：
16．已知关于的不等式组
(1)若，求这个不等式组的解集；
(2)若这个不等式组的整数解共有3个，求的取值范围．
17．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和30件，则他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件数和揽件数分别为140件和25件，则他平均每天的提成是260元．
(1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元？
(2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计180件，如果他平均每天的提成不低于295元，求他平均每天的送件数最多是多少件？
18．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．
(1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ；
(2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
(3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值．
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．
其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
八年级的小逸同学刚学完了不等式的基本性质1和2后，将课本中“不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向___________．”的横线处填上“改变”．小逸想利用不等式的基本性质1和2来验证自己的答案，把问题转化为以下的形式：
①已知，．求证：．
②已知，．求证：．
针对①小逸给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据．
证明：∵，即c是一个负数，
∴c的相反数是正数，即．
∵，
∴（依据1：___________），即，
不等式的两边同时加，得（依据2：___________），
去括号，合并同类项可得，即，得证．