苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第03讲探索三角形全等的条件(AAS+SSS)(学生版+解析)

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1.如图，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D，
∠B=∠E，BC=EF，那么这两个三角形全等吗？
解：全等。
证：∵∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠C=∠F（三角形的内角和为180°）
在▲ABC和▲DEF中
∴▲ABC≌▲DEF（ASA）
通过自己实践后发现： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （简写成“ 角边角 ”或“ AAS ” ）
几何语言：
∵在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，
∠B＝∠E，
∠C=∠F，
∴ △ABC ≌ △DEF（AAS）．
2.用∵、∴表述的有关推理过程也可以用符号⇒来表述。
如上面的推理过程也可这样表示
3.按下列作法,用直尺和圆规作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a
作法：
（1）作线段BC=a、
（2）分别以B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A。
（3）连接AB、AC。
▲ABC是所求的三角形。
通过自己实践后发现： 三边分别相等的两个三角形全等 （简写成“ 边边边 ”或“ SSS ” ）
几何语言：
∵在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，
BC=EF，
AC=DF，
∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）．
考点一：用AAS直接证明全等
例1．如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，．
【详解】∵为中点，
∴，
∵由点分别向、作垂线段、，
∴，
在与中，
，
∴，
故选：．
【变式1-1】如图，，，则判定 与 全等的依据是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据公共角相等，结合已知条件，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴ ，
故选：D．
【变式1-2】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是： ．
【答案】/角角边
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据所给条件可利用证明．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】如图，点、在上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠D的度数是
【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明；
（2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，
，
的度数是．
考点二：用AAS间接证明全等
例2．如图，已知，，则可以判定依据是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定方法．平行线的性质，得到，再结合，，利用证明，即可．
【详解】解：∵，
∴，
又，，
∴；
故选A．
【变式2-1】如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．
根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式2-2】如图，已知，，添加一个条件 判定．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：添加一个条件，判定，
理由如下：
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式2-3】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论；
（2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解；
【详解】（1）解：由沿射线的方向平移所得，
，，
，
为的中点，
，
．
在和中
，
；
（2）平分，
，
又，
．
，，
．
考点三：全等的性质与AAS判定
例3. 如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以．
【详解】解：∵于D，于E，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长是．
故选A．
【变式3-1】如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（ ）．
A．3B．4C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中线平分三角形的面积，利用平分，点作的垂线，得到，则的面积等于的面积为，的面积等于的面积，即可解答，证明是解题的关键．
【详解】解：平分，过点作的垂线，
,，
在与中，
，
，
，
则的面积等于的面积为，
，
故选：C．
【变式3-2】如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
故答案为：48．
【变式3-3】如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形的外角性质得出 ，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答，关键是利用证明与全等解答．
【详解】，，
，
，
，
在与中，
，
∴，
，，
．
考点四：用SSS直接证明全等
例4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
根据尺规作图可得，，，再根据定理即可得．
【详解】解：由尺规作图可知，，，，
在和中，
，
∴
即这两个三角形全等的依据是，
故选：C．
【变式4-1】如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，连接，根据题意得出，，证即可求解，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．
【详解】解：如图，连接，
根据作图过程可知：，，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
【变式4-2】在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．

【答案】4
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据全等三角形的判定画出图形，即可判断．
【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．

由图可得，所有格点三角形的个数是4，
故答案为：4．
【变式4-3】如图，与中，点B、F、C、E在同一直线上，若，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查三角形全等的判定．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．已知与两边相等，通过可得，即可判定．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在与中，
∴．
考点五：用SSS间接证明全等
例5．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解．
【详解】，,
，
，，
．
故选：A．
【变式5-1】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
【详解】解：∵AE=FB，
∴AE+BE=FB+BE，
∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，
∴可利用的是①或②，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
【变式5-2】如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】在与中，已经有条件： 所以补充可以利用证明两个三角形全等.
【详解】解：在与中，

所以补充：
故答案为：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.
【变式5-3】如图，，，点在上．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】本题主要考查三角形的全等的判定与性质，熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键．
（1）由题中条件易知：，可得平分；
（2）利用（1）的结论，可得，得出．
【详解】（1）证明：在与中，
，
，
，
即平分；
（2）证明：由（1），
在与中，
，
，
．
考点六：全等的性质与SSS判定
例6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等．
【详解】解：∵，，，
∴
∴，即为的平分线．
故选A．
【变式6-1】已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解．
【详解】解：如图，
由图可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选C．
【变式6-2】如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为 ．

【答案】/48度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质即可求出最后结果．
【详解】解：在与中，
，
，
，，
在中，由三角形性质得：，
，
，
故答案为：．
【变式6-3】【教材呈现】
请结合教材内容，解决下面问题：
【概念理解】
（1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形．
【性质探究】
（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形中，，．求证：．
证明：
（3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明．
【拓展应用】
（4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数．
【答案】【教材呈现】，垂直平分，平分和，证明见解析
〖概念理解〗（1）见解析
〖性质探究〗（2）见解析
（3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明见解析
〖拓展应用〗（4）或
【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论；
（1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可；
（2）连接，利用证明，即可得出结论；
（3）利用证明，即可得出结论；
（4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可．
【详解】解：〖教材呈现〗如图，
猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和，
证明：∵，，，
∴，
∴，，，
即平分和，
∴垂直平分．
〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求；
〖性质探究〗
（2）如图2，连接，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，
证明∶ 在与中，
，
∴，
∴，，
即平分、．
〖拓展应用〗
（4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1，
∴；
②当筝形中，时，如图4-2，
∵
∴
∴
综上，当四边形为筝形时， 的度数为或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
1．如图，在中，，，过点C作，且，则的面积为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解；
【详解】解：如图，过点作交延长线于点，
∵，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴
∴
故选：D
2．如图，，，过点的直线交于，交于，则图中全等三角形有（ ）对．

A．4对B．5对C．6对D．7对
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定．熟练运用、、、是正确解题的关键．
【详解】在和中，
．
同理可得，．
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
同理可得，，．
综上所述，共有6对全等三角形．
故选C．
3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．由作法易得，，，根据可得到三角形全等．
【详解】解：由作图可知，，，，
．
故答案为：A．
4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推出，利用证明，得到，推出，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握“两直线平行同旁内角互补”是解题的关键．
5．如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．如图，在四边形中，，点在边上，分别平分，，则的长是（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确合理添加辅助线是解决本题的关键．
利用角平分线的性质定理可作辅助线：过点E作于点E，证明，即可解决问题．
【详解】解：过点E作于点E，则

∵，
∴，
∴，
∵平分，∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
故选：C．
7．小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可求解．
【详解】解：
，
又，，
，
，
．
在和中，
，，，
，
．
∵，
∴
故选：B．
8．如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（ ）

A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】证明，由全等三角形的性质可得出．由图形的面积可得出③④正确．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，，
∴，故①正确；
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
故②正确；
∵，，
∴四边形的面积是；
故③错误；
∵，
∴
∴．
故④正确．
综上所述，正确的是①②④；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为 ．
【答案】/26度
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果．
【详解】
解：根据作图过程可知：
，，
∴，
∴．
故答案为：．
10．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出的长，即可求出的长，此方案依据的数学定理或基本事实是 ．
【答案】全等三角形的对应边相等
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴
∴
故根据全等三角形的对应边相等，只要测出的长，即可求出的长
故答案为：全等三角形的对应边相等
11．如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ．
【答案】7
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．易证，即可证明，可得，根据，即可解题．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
，
．
故答案是：7．
12．如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °．
【答案】100
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得．
【详解】解：在和中，
，
，
，
故答案为：100．
13．如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案．
【详解】标记角度如下：
∵在等腰中，，，
∴与等高，底边比值为
∴与的面积比为，
∵的面积为18
∴的面积为6，的面积为12，
∵,即，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴与的面积相等，
∴，
故答案为：12．
15．如图，D是上一点，交于点E，，，求证：．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键；由平行线的性质得，，利用证明即可．
【详解】证明：，
，，
在和中，，
，
（全等三角形的对应边相等）；
16．如图，点，在上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，进而证明，即可推出．
【详解】证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
17．如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足．
(1)求证：；
(2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，利用五边形ABFDG的面积，求出，再根据四边形的面积求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵五边形的面积，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：3．
18．如图，，，，垂直的延长线于点F．
(1)如图1．
①和全等吗？请说明理由；
②求的度数；
(2)如图2，延长到点G，使得，连接，请你写出，和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①和全等，理由见解析；②；
(2)，理由见解析．
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键．
（1）①由可证；
②由等腰直角三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，即可求解；
（2）由全等三角形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，，由可证，可得，可得结论．
【详解】（1）解：①，理由如下：
，
，
在和中，
，
；
（2）②，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：．
理由：，
，，
，
，，
，
，，
又，
，
，
．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．三边分别相等的两个三角形全等；
2．证明两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；
活动2 用全等三角形研究：“筝形”
如图2，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想．