2024年七年级数学暑假培优练（人教版）-暑假作业11 平行线的8种综合问题精练（原卷版+解析版）

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1．已知，点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；
(3)如图3，若点E是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【详解】（1）解：如图，过G作
∴
∵
∴
∴
∴
即
∵
∴；
（2）解：如图，过G作，过P作
∵
∴，
∵平分，平分
∴设，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
（3）解：如图，过E作，过G作．
∵
∴，
∵平分，平分
∴设，
∵，
∴，
∵
∵，
∴，
∴
∵
∴
解得
∴
2．如图1，点在上，，．
(1)求证：；
(2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数．
(3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)不变，见解析
【详解】（1）证明：如图1，延长交于点，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，作，，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
设，
，
比大，
，
解得
的度数为；
（3）解：的度数不变，理由如下：
如图3，过点作，设直线和直线相交于点，
平分，平分，
，
，
，，
，
，
，
，
由（2）可知：，
，
，
，
，
，
．
3．动点探究题
(1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数．
(2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由．
(3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：过点P做，，
，
，
，，
，
即，
，，
；
故答案为：．
（2）
如图，过点P做，
，，
，
，
（3）
过点P做，过点K做，
则，
，，，，
，
∵平分，垂直于，平分，
∴，，，，
，
,
．
4．已知：直线分别交直线，于点G，H，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：∵，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，由（1）知，，

过K作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
即．
（3）解：如图，过M作，过K作，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴设，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
题型二：平行线背景下的直角三角板问题
5．感知发现：（1）在学习平行线中，兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当时，可以得到结论：．那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是兴趣小组想尝试证明：如图1，，求证：．请写出证明过程．
（2）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且和直角三角形，，，．创新小组的同学发现，说明理由．
实践探究：
（3）如图3，，在射线是的平分线，在的延长线上取点N，连接，若，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）理由见解析（3）
【详解】（1）证明：过点E作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，由（1）可知，
，且，
∴，
∴；
（3）如图，令，，则，
由（1）得：，
∵射线是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作，
则，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值．
【答案】(1)(2)①在旋转过程中，若边，t的值为；②满足条件的t的值为或
【详解】（1）解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图②中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边的值为．
②如图③中，当时，延长交于．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图③﹣1中，当时，延长交于R．
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
综上，当边时，的值为或．
7．综合与探究
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．

(1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数．
(2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
(3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解：如图，过点作，

∵，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
（2），理由如下，
过点作，

∵，
∴
∴，，
∴
即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
（3）解：如图所示，当时，则

∵
∴
∴
∴；
当时，如图所示，延长交于点，过点作

∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
当时如图所示，

此时旋转度数大于，不合题意
综上所述，或
8．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间．
(1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由）
(2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数；
(3)解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数．
【答案】(1)(2)(3)存在，射线与相交所夹锐角的度数为或
【详解】（1）解：，，
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
；
故答案为：；
（2）解：过点作，如图1所示：
依题意得：，，
，，
，
（两直线平行，内错角相等），
，
，
，
（邻补角概念）；
（3）解：存在，射线与相交所夹锐角的度数为或．
分两种情况讨论如下：
①当点在上方时，设交于点，如图2所示：
依题意得：，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
（两直线平行，同旁内角互补）；
②当点在下方时，延长交于点，如图3所示：
依题意得：，
设，则，
，
（邻补角概念），
，
解得：，
，
，
（两直线平行，同旁内角互补）．
综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或．
题型三：平行线背景下的图形旋转问题
9．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ．
【答案】5秒或95秒
【详解】解：，，
，，
分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图②，旋转到与都在的右侧，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图③，旋转到与都在的左侧，
，，
要使，
则，即，
解得：，
此时，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，．
故答案为：秒或秒．
10．如图①，，，点E为上在点C的右侧的一动点，作交于点F，平分交于点G，设．
(1)求证：；
(2)如图②，作平分交于点H，交于点M，当时，求x的值；
(3)如图③，在（2）的条件下，将绕着点A以每秒的速度逆时针旋转得到，绕着点F以每秒的速度顺时针旋转得到，设时间为t秒，．求的某条边与平行时的时间t的值．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)或5.6
【详解】（1），
，，
，
，
，，
平分，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，
，
；
（3）由上题可知：，
，
，
由题意得：，
，
，
∴当时，，
，
；
当时，，
，
，
综上，或5.6．
11．已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．

(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；
(3)如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．
【答案】(1)(2)(3)的值为，，秒
【详解】（1）解：如图，过点作，

∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示

由和的角平分线交于点，
设，，、交于点，
，
由（1）得，即：，
，即：，
又，即：，
，
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，
当旋转到在射线上时，有，
此时，，
解得（秒）

当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴
此时，，
解得（秒）；

当旋转到平行于射线时，有，
则，
∴，
此时，，
解得（秒）

当继续旋转到与重合之后，不存在与的一边互相平行的情况，
故的值为，，秒．
12．直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点．
(1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值．
(3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 (用含、的代数式表示)
【答案】(1)，理由见解析(2)(3)
【详解】（1），理由如下：
过点作，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）同理得，
∴，
∴；
（3）∵平分，平分
∴，，