苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第07讲线段、角的轴对称性—垂直平分线(学生版+解析)

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1.如图，直线PQ是线段AB的垂直平分线，PQ与AB交于点O，
把OA沿直线PQ翻折，可得OA与OB重合。
几何语言：∵直线PQ是线段AB的垂直平分
∴∠1=∠2=90°，OA=OB
因此，线段是轴对称图形；
它得对称轴是线段的垂直平分线和它本身所在得直线。
2.如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．
PA=PB
证：∵直线l是线段AB的垂直平分线
∴∠1=∠2=90°，OA=OB
在▲PAO与▲PBO中
∴▲PAO≌▲PBO（SAS）
∴PA=PB
因此线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
几何语言：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P是l上一点
∴PA=PB（证明定理：SAS）
3.如图，若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB，
那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？
在。过点Q作AB的垂线交AB与点M，可得∠QMA=∠QMB=90°
证：在Rt▲AQM和Rt▲BQM中，∠QMA=∠QMB=90°，
∴Rt▲AQM≌Rt▲BQM（HL）∴AM=BM∴点Q在线段AB的垂直平分线上。
因此线段垂直平分线的判定定理是到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
几何语言：∵QA=QB∴点Q在线段AB的垂直平分线上
4.如图：已知AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。
证明：∵AC=AD，BC=BD
∴点A、B是线段CD垂直平分线上的
∴AB垂直平分CD
5.你用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？
作法：
1.分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D。
2.过C、D两点作直线。
直线CD就是线段AB的垂直平分线。
6.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段BC、AC的垂直平分线，你会发现什么？
三角形三边的垂直平分线交于一点.这一点到三角形三个顶点的距离相等
考点一：线段垂直平分线的性质
例1．如图，三个村庄、、构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了到三角形三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，据此解答即可．
【详解】解：依题意，供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点
故选：A．
【变式1-1】如图，在中，边的垂直平分线交．于点，，且，，则的周长是（ ）
A．7.5B．5C．8D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题法关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是边的垂直平分线，
，
的周长．
故选：B．
【变式1-2】如图，在中，，，作边的垂直平分线，交于点，交于点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质；根据题意得出，进而根据角平分线的性质，即可求解．
【详解】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
平分，
，，
，
故答案为：．
【变式1-3】如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上成为解题的关键．
如图所示，连接，由垂直平分线的性质可得，进而得到，最后根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可证明结论．
【详解】解：如图：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
考点二：线段垂直平分线的判定
例2．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．B．平分
C．线段垂直平分线段D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴平分，
∵，，
∴点A、D在线段的垂直平分线，
∴线段垂直平分线段，
无法证明，故D符合题意，不符合题意．
故选：D．
【变式2-1】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( )

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案．
【详解】以点A为圆心，的长为半径作弧，
，
分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，
，且，，
，
，
，
，
，
，
．
故选D．
【变式2-2】如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积） cm2．
【答案】3360
【分析】先证明是的垂直平分线，再利用对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半即可求解．
【详解】∵， cm
∴是的垂直平分线．
∴
∴ cm2
故答案是3360．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定和对角线互相垂直的四边形的面积公式，证明对角线垂直和记忆公式是解题的关键．
【变式2-3】如图，已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点P．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图—复杂作图，先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点即为所求，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了等腰三角形的性质．
【详解】解：如图，点即为所求，
．
考点三：作垂直平分线
例3. 下列尺规作图中，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场中心P到三个小区的距离相等，能确定文化广场中心P的位置的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作、的垂直平分线，两线交点即为所求作的点．掌握作线段的垂直平分线是解题的关键．
【详解】解：要使文化广场中心P到三个小区的距离相等，即：，
∴点为的垂直平分线与的垂直平分线的交点，
如图，点即为所求，
故选：B．
【变式3-1】如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，交叉口分别为、、，形成一个，现要在三条公路形成的三角区域内建一座加油站，要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在（ ）

A．的三条高的交点处B．的三条角平分线的交点处
C．的三条中线的交点处D．的三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在的三条边的垂直平分线的交点处．
故选D．
【变式3-2】如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图，基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握五种基本作图方法，是解答本题的关键．
由作图得：垂直平分，故，，然后利用等线段代换计算的周长，由此得到答案．
【详解】解：由作图得：
垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
即，
的周长是：
，
故答案为：．
【变式3-3】如图，在中，连接AC，请用尺规作图法在线段AC上找一点F，连接BF，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】作的垂直平分线交于点F即可
【详解】解：要使，则F为垂直平分线上一点，即作的垂直平分线与的交点即为所求，
分别以为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与的交点F，则点F为所作．

【点睛】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线；解题的关键是熟练掌握作图方法．
1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D．若，则点D到点B的距离是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，即可．
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D，
∴；
故选B．
2．到三角形各顶点距离相等的点是（ ）
A．三条边垂直平分线交点
B．三个内角平分线交点
C．三条中线交点
D．三条高交点
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等．利用线段垂直平分线的性质可确定三角形中到各顶点距离相等的点满足的条件．
【详解】解：三角形三条边垂直平分线交点到各顶点距离相等．
故选：A．
3．在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条角平分线的交点B．三条高线的交点
C．三条中线的交点D．三条边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．
【详解】解：平面内，有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：D．
4．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
是的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
，
的长为；
故选：C．
5．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．由线段垂直平分线的性质可知，．再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵点E，F分别在，的垂直平分线上，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6．如图，点是边的中点，过点作的垂线交于点，已知，的周长为，则的周长是（ ）
A．6B．C．8D．
【答案】C
【分析】由题意可知：垂直平分,故，结合，的周长为，即可得出答案．
【详解】解：∵点是边的中点， ,
∴垂直平分,
∴，
∵，的周长为，
∴,
∴,
∴的周长是．
故选：C．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．
7．如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．
正确的结论序号是（ ）

A．①②B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，故②不正确；
，
，故③正确；
，
，
，
为的中点，
，
为线段的垂直平分线，
，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键．
8．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，

∵，
∴，
∴，
∵，，
且，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
9．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 ．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，则，根据，即可．
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
10．如图，点O是内一点，且，则点O是 的交点．

【答案】三边的垂直平分线
【分析】根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，即可得出结论
【详解】∵，
∴点O是三边的垂直平分线的交点；
故答案为：三边的垂直平分线．
【点睛】本题考查垂直平分线的判定．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，是解题的关键．
11．在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为 ．
【答案】互相垂直平分
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质与判定，证明，得到，即可得到线段与线段的关系为互相垂直平分．
【详解】解：设线段与线段交于H，
∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F，
∴，
∵的角平分线交于点D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴线段与线段的关系为互相垂直平分．
12．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换，根据的周长为15可计算出的长．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∵的周长为15，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：8．
13．如图，中，D是的中点，交于，则 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形对应边相等进行求解，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
先连接，过作于，根据角平分线的性质以及中垂线的性质，得出，进而判定，即可得到，据此列出方程，求得的值，即可得到长．
【详解】解：连接，过作于，
∵是的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：10．
14．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ．
【答案】/8厘米
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出．
【详解】解：∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键．
15．如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径面弧，两弧相交于点M，N，连接，与，分别交于点D，E，连接．
(1)若，则________；
(2)若，的周长为12，求的周长．
【答案】(1)5
(2)21
【分析】本题主要考查了垂直平分线的基本作图，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的基本作图方法，得出垂直平分．
（1）根据垂直平分线的性质进行解答即可；
（2）根据垂直平分线的性质得出，根据的周长为12，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据作图可知：垂直平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：根据解析（1） 可知：，
∵的周长为12，
∴，
即．
∵，
∴的周长．
16．
(1)如图所示图形已经给出了一半，你能补出它的另一半，让它成为一个轴对称图形吗？

(2)如图所示，已知，请用直尺不带刻度和圆规，按下列要求作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，要求：在边上确定一点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的定义即可求解．
（2）先作线段的垂直平分线，交于点P，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：

（2）作线段的垂直平分线，交于点P，
则，
，
如图所示，点P即为所求：

【点睛】本题考查了作图——尺规作图，轴对称作图，线段的垂直平分线，熟练掌握其作法是解题的关键．
17．如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．
(1)若，则的周长为 ；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的内角和，即可．
（1）根据垂直平分线的性质，则，，根据，的周长为：，即可；
（2）垂直平分线的性质，则，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可．
【详解】（1）∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长为：，
∴，
故答案为：．
（2）∵，分别垂直平分边和边，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．如图所示，三个相同的直角三角形拼成一个四边形．
(1)写出图1中互相平行的线段： 、 、 ；
(2)如图2，若点M是线段的三等分点，点P是线段上的一个动点，画出取得最小值时点P的位置，并说明理由；
(3)如图3，若点M是直线上的一个动点，点P是线段上的一个动点．已知，求的最小值．
【答案】(1)；；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判断，平行线的判定等等，正确利用线段垂直平分线的性质构造辅助线从而确定线段之和取得最小值的情形是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质结合平行线的判定定理进行求解即可；
（2）如图，延长至点H，使，连接交于点P，点P即为所求；
（3）如图，延长至点H，使，连接，证明，得到，连接，过H作于，可得垂直平分，则，故当三点共线，且时有最小值，最小值为的长度，利用等面积法求出即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
同理可得
∵，
∴，
同理可得，
∴由平行线的唯一性可知B、C、D三点共线，
∴；
故答案为：；；；
（2）解：如图，延长至点H，使，连接交于点P，点P即为所求；
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时取得最小值；
（3）解：如图，延长至点H，使，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
连接，过H作于，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
当三点共线，且时有最小值，最小值为的长度，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特性，发展空间观念；
2．探索并证明线段的垂直平分线的性质。