苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第05讲一元二次方程根与系数的关系(5种题型)(学生版+解析)

这是一份苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第05讲一元二次方程根与系数的关系(5种题型)(学生版+解析)，文件包含苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第05讲一元二次方程根与系数的关系5种题型教师版docx、苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第05讲一元二次方程根与系数的关系5种题型学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共40页， 欢迎下载使用。
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）
韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ．
那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系．
题型1：求根与系数关系
例1．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）若一元二次方程的两个根为、，则是（ ）
A．1B．C．2D．
题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值
例3．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）一元二次方程的两个根为， 则___________．
例4．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例5.已知是方程的两根，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
例6.已知的值．
例7.已知是方程：的两根，求代数式的值．
题型3：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值
例8．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______．
例9.若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________．
题型4：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题
例10.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．
例11．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
例12．（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)下列方程是三倍根方程的是___________；
① ② ③
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________；
(3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
一、单选题
1．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）关于下列一元二次方程，说法正确的是（ ）
A．的两根之和等于5B．的两根之积等于1
C．两根不可能互为倒数D．中m=0时，两根互为相反数
2．（2022秋·江苏·九年级统考期中）关于的方程的一个解为，则该方程的另一个解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（ ）
A．或5B．或C．D．5
4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）若是关于的一元二次方程的一个根．则与方程另一个根分别是（ ）
A．6，5B．5， C．2，5D．，5
5．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）方程的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根
二、填空题
6．（2023·江苏盐城·统考一模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______．
7．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）已知一元二次方程的两个根分别是、，则代数式的值为______．
8．（2023·江苏南京·统考一模）设，是方程的两个根，且，则m＝______．
9．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）已知、是关于的方程的两个根，则值等于________．
10．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为______．
11．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，则的取值范围是______．
12．（2023·江苏宿迁·统考一模）关于x的方程的两个根分别是，则______________．
13．（2023·江苏南京·统考二模）若、为的两根，则的值为______．
14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）设是关于x的方程的两个根，则_____________．
15．（2023秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）设、是方程的两个根，则___________．
16．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）若一元二次方程有两个实数根，，则的值是________．
三、解答题
17．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：该方程总有两个实数根．
(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
18．（2020秋·江苏南京·九年级统考期中）已知关于x的方程．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．
一、单选题
1．（2022·江苏·九年级专题练习）设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
2．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）若m、n是方程的两个实数根，则的值为( )
A．4B．2C．0D．-1
3．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
4．（2022秋·九年级课时练习）若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3B．3C．－5D．5
5．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）设x1，x2是方程x2＋5x﹣6＝0的两个根，则x12＋x22的值是（ ）
A．5B．13C．35D．37
6．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ）
A．8B．7C．6D．
7．（2020秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）两根均为负数的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值为______．
9．（2023春·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）设方程的两个根分别为，则的值是___________．
10．（2023·江苏南京·九年级专题练习）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是________．
11．（2022春·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知：m、n是方程的两根，则_____．
三、解答题
12．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求另一个根的值．
13．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的平方和为10，求的值．
14．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若，求的值．
15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数．
（1）求k的取值范围；
（2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
16．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：
（1）两根都小于0；
（2）两根都大于1；
（3）方程一根大于1，一根小于1．
17．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1， x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，则=?
（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．
18．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）阅读材料，解答问题：
【材料1】
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
【材料2】
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为 ；
(2)间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值．