苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第03讲一元二次方程的解法(公式法3种题型)(学生版+解析)

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1.了解求根公式的推导过程.（难点）
2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）
3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况
一、公式引入
一元二次方程（），可用配方法进行求解：
得：．
对上面这个方程进行讨论：因为，所以
当时，
利用开平方法，得：，即：
当时，
这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．
二、求根公式
一元二次方程（），当时，有两个实数根：
，
这就是一元二次方程（）的求根公式．
三、用公式法解一元二次方程一般步骤
把一元二次方程化成一般形式（）；
确定a、b、c的值；
求出的值（或代数式）；
若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．
根的判别式
1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．
2.一元二次方程，
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
五、根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
题型1根的判别式
例1.选择：
下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）
（A）（B）
（C）（D）
不解方程，判别方程的根的情况是（）
（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根
（C）只有一个实数根（D）没有实数根
方程的根的情况是()
（A）有两个相等实根（B）有两个不等实根
（C）没有实根 （D）无法确定
一元二次方程的根的情况为（）
（A）有两个不相等的实数根（B）有两个相等的实数根
（C）只有一个实数根（D）没有实数根
例2.不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
题型2用公式法解一元二次方程
例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：．
例4．用公式法解下列方程：
（1）；（2）．
例5.用公式法解下列方程：
（1）；（2）．
题型3根的判别式的应用
例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围．
例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)若该方程有一个根是，求的值；
(2)求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根．
例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围．
一、单选题
1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（ ）
A．2B．1C．0D．
5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______．
7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，则______．
8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．
9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于的方程有实数根，则m的取值范围是______．
10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程____________没有实数根．
11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x的方程________=0有两个不相等的实数根．
三、解答题
12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于的方程有两个不相等的实数根．
13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一实数根大于4，求a的取值范围．
14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取最小整数时，求的值．
15．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）已知关于的方程．
(1)若方程有两个相等的实数根，请求出，的关系；
(2)求证：当时，方程总有两个实数根．
一、单选题
1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．可能有实数根，也可能没有
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A． B． C．且D．且
二、填空题
5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于的方程__________有两个相等的实数根．
6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程没有实数根，则m的取值范围是______．
三、解答题
7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程的一个根为，求a的值及该方程的另一根；
(2)求证：无论a取何实数，该方程都有实数根．
8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求出此时方程的根．
9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程（m为常数，且）
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若该方程有两个实数根；
①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______；
②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值．
10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
11．（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）先化简，冉求值，其中x满足．
12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：
13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于的方程．
(1)当该方程的一个根为时，求的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）