苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第04讲一元二次方程的解法(因式分解法6种题型)(学生版+解析)

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1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
例1．（2023秋·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根为（ ）
A．或B．或C．或D．
【答案】B
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
∴或，
解得：或，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
例2．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如果满足一元二次方程，则代数式的值是______．
【答案】或
【分析】解一元二次方程，求出根，代入计算即可．
【详解】解：一元二次方程的解为，，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，代入求值，掌握解一元二次方程，代入求值，有理数运算法则是解题的关键．
题型1利用提公因式法
例3.方程：的较小的根是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】提公因式，得：，
整理得：，
∴，
∵ ，故选择D．
【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
例4.解关于的方程（因式分解方法）：
（1）； （2）．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1） （2）
① ②
∴；
②
∴．
【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
题型2利用平方差公式
例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
【答案与解析】
(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，
∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，
∴ x1＝1，x2＝-4．
例6.解关于的一元二次方程：．
【答案】．
【解析】移项，得：，
，
，
，
，
解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．
题型3利用完全平方公式
例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
【答案与解析】
(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2＝0． 即，
∴ ．
题型4十字相乘法因式分解
例8．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的常数项为，则______．
【答案】
【分析】直接利用常数项为0，得出关于m的方程，解方程求出m的值，再根据一元二次方程的定义进而得出答案．
【详解】解：∵常数项为0，
∴，
解得：或2，
又∵，即，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，正确解方程是解题关键．
例9．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根分别是的两边长，则第3条边长___________．
【答案】或4/4或
【分析】先解方程求出一元二次方程的两个根是3和5，再分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【详解】解∶，
解得，
当3和5都是直角边时，第三边长为∶；
当5是斜边长时，第三边长为：．
故答案为∶或4．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解决本题的关键是当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
例10．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长_____．
【答案】11或13/13或11
【分析】先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当腰为3，底边为5或当腰为5，底边为3，再分别计算三角形的周长．
【详解】解：，
，
所以，，
当腰为3，底边为5时，三角形的周长；
当腰为5，底边为3时，三角形的周长．
故答案为：11或13．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的定义和三角形三边的关系．
例11．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是______．
【答案】9
【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系看是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系定理，能组成三角形，不能组成三角形，
当第三边的长是2时，周长，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查对三角形的三边关系定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出第三边的长是解此题的关键．
题型5：选择合适的方法解一元二次方程
例12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）解方程最适当的方法是（ ）
A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法
【答案】D
【分析】方程的两边都有因式，分析可知分解因式法最为合适．
【详解】解：
可化为：
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程时选择适当的方法是解题的关键．
例13.用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1） （2）
， ② ， ，
解得：； 解得：；
（3）整理得： （4）∵原方程是一元二次方程，
， ，
，
解得：； ，
解得：．
【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．
题型6：换元法与因式分解综合解一元二次方程
例14．（2021秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，；当时，，；
原方程有四个根：，，，．
仿照上面方法，解方程：．
【答案】，．
【分析】设x2+3x=y，则原方程变为y2+4y+3=0，求出y=-1，或y=-3，再分别解方程即可．
【详解】解：设x2+3x=y，则原方程变为y2+4y+3=0，
∴（y+1）（y+3）=0，
解得y=-1，或y=-3，
当y=-1时，x2+3x=-1，即x2+3x+1=0，解得x=，
当y=-3时，x2+3x=-3，即x2+3x+3=0，因为∆=32-4×3