苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第1部分-复习篇-专题02中心对称图形-平行四边形(学生版+解析)

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【考点1：】图形的旋转 【考点2：】中心对称与中心对称图形
【考点3：】平行四边形 【考点4：】矩形、菱形、正方形
【考点5：】三角形的中位线
一、旋转的概念和性质
（1）将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.
（2）一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
二、中心对称与中心对称图形
（1）一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．
（2）成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
（3）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心
三、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
注意：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；
等底等高的平行四边形面积相等.
四、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
注意：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
五、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
六、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
七、三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
八、中点四边形
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
注：
（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形.
（3）对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形.
（4）对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形.
考点剖析
【考点1：】图形的旋转
1．如图，平面直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，，点在上，连接，作等腰直角，，连接，交于点，若，，则的长为 ．

4．如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为 ．
5．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上．
(1)先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的；
(2)把以点为中心，顺时针旋转，
①请在网格中画出旋转后的；
②在线段上确定一点，使．
6．（1）问题发现：
如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程；
（2）拓展研究：
请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明；
②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值．

【考点2：】中心对称与中心对称图形
1．花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了“剪纸进校园，文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是
4．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上．
(1)先将向左平移2个单位，再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形，得到，请在图中画出．
(2)边上有一点，经上述变换后所得的对应点为，则点的坐标为________（用含a，b的代数式表示）．
6．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)将向右平移6个单位长度后得到，请画出；
(2)请画出关于原点的中心对称图形；
(3)若将绕某一点旋转可得，请直接写出旋转中心的坐标．
【考点3：】平行四边形
1．在平面直角坐标系中，已知，若A、B、O、C四点构成平行四边形，那么点C的坐标不可能是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，中，，将沿折叠，使点C落在点E处，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，，点在上，，且，连接，，交于点，，，则的长度为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是
5．如图，四边形是平行四边形，E、F是对角线上的两点，且，顺次连接B、E、D，F．求证：四边形是平行四边形．
6．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）；
(2)当______秒时，P，Q两点相遇；
(3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点4：】矩形、菱形、正方形
1．下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
2．如图，在菱形中，点是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为（ ）
A．B．3C．D．
3．如图，在四边形中，四边形为正方形，，，，则 ．
4．如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ．
5．如图，在中，是的角平分线，是的外角的平分线，过点C作，垂足为E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
6．阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：_______________________；

利用此数量关系解决以下问题：
（2）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为x尺，根据题意，可列方程为_____________________；
（3）如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长．
【考点5：】三角形的中位线
1．如图，是的中位线，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交于点． 若 ，则长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知矩形，，，点分别是上的点，点分别是的中点，当点在上从向移动，而点不动时，若，则（ ）
A．B．C．D．不能确定
3．“做数学”可以帮助学生积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点 落在 边上的点处，折痕交 于点 ；第次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， 则 ．
4．在矩形中，，动点P在边上，过点P作于点E，连接，取的中点F，连接，在运动过程中当线段最小时，则线段的长为 ．
5．已知∶ 等边三角形中， 点D、E、F分别为边的中点， 点M在直线上，以点 M为旋转中心，将线段顺时针旋转 至 连接 ．
(1)如图1，当点M在点B左侧时，线段与的数量关系是 ；
(2)如图2，当点M在边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；
(3)当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由．
6．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)这个中点四边形的形状是 ；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明．

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1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与桌面的夹角为54°时，则的度数为（ ）
A．46°B．36°C．54°D．56°
3．已知平行四边形的一边长为10，则对角线、的长可取下列数组为（ ）
A．4，8B．6，8C．8，10D．11，13
4．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点O，则线段的长为（ ）
A．B．5C．4D．
6．如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三边a，b，c满足，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为7，则正方形的面积为（ ）
A．49B．28C．21D．14
8．如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是 ．
10．在中，，则它的周长等于 ．
11．已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为 ．（结果保留根号）
12．在平面直角坐标系中，，点C在x轴上，以A、B、C、D为顶点的平行四边形的顶点C的横坐标是 ．
13．如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长为 ．
14．如图，在矩形中，在边上，为中点，，，，则线段的长为 ．
15．如图，在中，为斜边的中点，点在边上，将沿折叠至．若点在线段上，，，则的长为 ．
16．菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ．
17．将两个大小相等的圆部分重合，其中重叠的部分（如图中的阴影部分）我们称之为一个“花瓣”，由一个“花瓣”及圆组成的图形称之为花瓣图形，下面是一些由“花瓣”和圆组成的图形．
(1)在A、B、C、D、E这5个图形中，是轴对称图形的有__________，是中心对称图形有________
(2)设“花瓣”在圆中是均匀分布的，当花瓣数大于1时，若花瓣的个数是_______，则花瓣图形既是轴对称图形又是中心对称图形；若花瓣的个数是_________，则花瓣图形仅是轴对称图形
(3)根据上面的结论，试判断下列花瓣图形是什么对称图形：
①九瓣图形是_______________ ②十二瓣图形是_______________
18．如图，已知四边形，请用尺规作图法在边上分别求作一点，连接，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，．
(1)求证：．
(2)连接、，求证：四边形是平行四边形．
20．如图，已知四边形是平行四边形，是等边三角形．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求四边形的面积．
21．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点．
(1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____；
(2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明；
(3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______．
22．如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为．
(1)求当t为何值时，四边形是正方形；
(2)求当t为何值时，；
(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．
23．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．
(1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；
(2)在“完美”四边形中，，，连接．
①如图1，求证：平分；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分
想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分；
想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分．
请你参考上面的想法，帮助小明证明平分；
②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”
(1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)；
①平行四边形②菱形③矩形④正方形
(2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．
求证：四边形是“忧乐四边形”
(3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长．