苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第04讲探索三角形全等的条件(HL)(学生版+解析)

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1.角平分线的画法：
如图，是任意一个角，在，边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？SSS
那除了用刻度尺的画法，我们还可以用圆规和直尺作角平分线吗？
作法：
以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D；
分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M；
作射线OM。
OM是∠ABC的角平分线。
2.如图，PC=PD，QC=QD，PQ与CD相交与点E，
证：PQ⊥CD
由此，你能发现用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗？
作法：
（1）以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于点C、D；
（2）分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q；
（3）作直线PQ。
直线PQ是经过直线AB外一点P的AB的垂线。
3.按下列做法，用直尺和圆规作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。
作法：
（1）作∠PCQ=90°；
（2）在射线CP上截取CB=a；
（3）以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ与点A；
（4）连接AB。
Rt▲ABC就是所求作的三角形。
看一下自己作的三角形和其他同学完全重合吗？
4.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′
求证： △ABC≌△A′B′C′
证：把两个直角三角形拼在一起，可证∠B=∠B′；
然后运用AAS证全等即可。
通过自己实践后发现：
（简写成“ ”或“ ” ）
几何语言：
在Rt▲ABC与Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°
∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）
考点一：尺规作角平分线
例1．作的平分线的过程如下：
①在上分别截取，使；
②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C；
③作射线，则就是的平分线．
用三角形全等的判定解释作图原理，下列最为恰当的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（ ）
A．20°B．50°C．60°D．40°
【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D，若AC＝8，BC＝6，则CD的长为 ．
【变式1-3】按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．
已知：在中，，．
(1)作边上的高，作的平分线，与相交于点．
(2)求所作图形中的度数．
考点二：尺规作垂线
例2．线段垂直平分线的尺规作图，其依据是构造两个全等三角形．如图，由作图可知，判定所构造的两个三角形全等的依据是（ ）

A．B．C．D．
【变式2-1】图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：
（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；
（2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
（3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
其中正确说法的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式2-2】数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有
【变式2-3】如图，已知，直线及上两点，．尺规作图：作，使点在直线的上方，，．（保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明）
考点三：用HL证全等
例3. 如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】如图，在四边形中，，若根据“”判定，则需要添加的条件是 ．
【变式3-3】如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？
考点四：全等的性质和HL判定
例4．如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ．
【变式4-3】已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：．
(3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比．
考点五：判定方法综合运用
例5．根据下列条件能画出唯一的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【变式5-1】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
【变式5-2】下列说法中正确的是：
①如果两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线一定相等；
②如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个直角三角形全等；
③三角形两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等；
④如果两个三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等．
其中正确的是 ．（只填序号）
【变式5-3】【初步探索】
（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．
1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，， 下列条件中不能判断的是（ ）
A．B．C．D．
3．在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．腰相等的两个等腰直角三角形全等B．底边相等的两个等腰三角形全等
C．顶角相等的两个等腰三角形全等D．含有的两个直角三角形全等
5．如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等．
A．1或B．1或C．2或D．1
6．如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
7．如图，在和中，，，．连接，连接并延长交，于点，．若恰好平分，则下列结论； ； ； 中，，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤
9．“两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”是 命题（填“真”或“假”）．
10．如图，在和中，，．要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是 ．
11．添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．

12．如图，用直尺和圆规作一个已知角的等角，在尺规作图时，用到的三角形全等的判定方法是 ．（从，，，中选择）
13．如图，，是外两点，连接，，有，，．连接，交于点，则的度数为 ．
14．如图，在凸五边形中，，，，，则凸五边形的面积等于 ．
15．如图，B，E，C，D四点在同一直线上，相交于点，求证：．
16．在下列图形中，按要求画出，使得，
(1)如图①，所有小正方形边长都为1，点均在格点上；
(2)如图②，已知“三角形内角和为”，用无刻度直尺与圆规作（不写作法，保留作图痕迹）．
17．如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒．
(1)_____________．（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，？
(3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
18．在中，，，直线经过点，且于，于．
(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握HL判定定理
2．会用尺规作角平分线和垂线