苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习篇-第15讲图上距离与实际距离、黄金分割(学生版+解析)

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1.回顾小学的比例尺公式
假设四条线段a：b=c：d，我们之前学过的解法有哪些？
內项之积等于外项之积
化为分式，交叉相乘
因此，在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
3.回顾比例的基本性质
如果a：b=c：d，那么ad=bc；反过来，如果ad=bc（b≠0，d≠0），那么a：b=c：d。因此，在比例式中a：b=b：c，那么b叫做a和c的比例中项。
比例的合比性质：如果如果
4.如图，点B在线段AC上，且，设AC=1，求AB的长。
解：设AB=x,则BC=AC-AB=1-x.
∵
∴
∴x²+x-1=0
解得
答：AB的长为
因此，像上图那样，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC的比称为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618
考点一：比例的性质
例1．若，则（ ）
A．B．1C．D．35
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质“若，则”，即得答案．
【详解】，
．
故选D．
【变式1-1】如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则可以变形为．分别代入各个选项检验即可得到结论．
【详解】解：设，则可以变形为．
A、，，该选项正确，故不符合题意；
B、，，该选项正确，故不符合题意；
C、，，该选项正确，故不符合题意；
D、，，该选项错误，故符合题意．
故选：D．
【点睛】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分求值．
【变式1-2】已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是求出．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【变式1-3】已知：＝＝，求的值．
【答案】.
【分析】设＝＝＝k（k≠0），则a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入求值即可.
【详解】设＝＝＝k（k≠0），
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
则==．
【点睛】本题考查了比例的性质.
考点二：比例线段
例2．如果线段a＝2cm，b＝10cm，那么的值为（ ）
A．B．5C．2D．
【答案】A
【分析】根据比例线段计算即可．
【详解】因为线段a=2cm，b=10cm，
所以的值=，
故选A．
【点睛】此题考查比例线段问题，关键是根据比例线段解答．
【变式2-1】已知台湾省基隆市与高雄市的实际距离是，而在某张地图上量得基隆与高雄的图上距离约，则此地图的比例尺为（ ）
A．1:9 000 000B．1:500 000
C．1:900 000D．1:5 000 000
【答案】D
【分析】根据比例尺=图上距离∶实际距离，列比例式直接求解即可.
【详解】∵31 5km＝315000000mm,，∴63∶315000000＝1: 5000000.故选D .
【点睛】本题考查了比例尺的相关知识，熟练掌握比例尺的性质是本题解题的关键.
【变式2-2】在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为 千米.
【答案】26
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．
【详解】根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：A，B两地的实际距离为2.6×1000000＝2600000（cm）＝26（千米）．
故答案为26．
【点睛】本题考查了线段的比．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
【变式2-3】已知△ABC的三边分别是a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，试判断△ABC的形状．
【答案】△ABC是直角三角形．
【详解】【分析】由已知比例用参数法求出各边，再根据勾股定理逆定理可得.
【详解】解：△ABC是直角三角形．由(a－c)∶ (a＋b)∶ (c－b)＝(－2)∶ 7∶ 1，设

解得
而(3k)2＋(4k)2＝(5k)2，即a2＋b2＝c2，
所以△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考核知识点：相似，勾股定理逆定理. 解题关键点：用参数法求出各边的代数式.
考点三：成比例线段
例3.已知线段a是线段b，c的比例中项，则下列式子一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a与c的比例中项．
【详解】A选项，由 得，b2=ac,所以b是a,c的比例中项，不符合题意；
B选项，由得a2=bc,所以a是b,c的比例中项，符合题意；
C选项，由，得c2=ab,所以c是a,b的比例中项，不符合题意；
D选项，由得b2=ac,所以b是a,c的比例中项，不符合题意；
故选B.
【点睛】本题考核知识点：本题主要考查了比例线段．解题关键点：理解比例中项的意义.
【变式3-1】下列各组中的四条线段不是成比例线段的是（ ）
A． a=1，b=1，c=1，d=1B． a=1，b=2，c=，d=
C． a= ，b=3，c=2，d= D． a=2，b= ，c=2 ，d=
【答案】C
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
【详解】解：A、1×1=1×1，所以选项错误；
B、×1=×2，所以 B 选项错误； C、2×≠3×，所以 C 选项正确； D、2=2× ，所以选项错误． 故选C．
【点睛】本题考查比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
【变式3-2】四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了比例线段的定义，解题的关键是熟记比例线段的定义．
由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得，又由，，，即可求得a的值．
【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，
，，，
，
解得：．
故答案为：．
【变式3-3】已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．
（1）求线段a与线段b的比．
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？
【答案】（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由见解析.
【分析】（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；
（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长；
（3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．
【详解】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm，
∴a：b＝30：60＝1：2；
（2）∵线段 a、b、c、d 是成比例线段，
∴，
∵c＝12dm＝120cm，
∴，
∴d＝240cm；
（3）是，理由：
b2＝3600，ac＝30×120＝3600，
∴b2＝ac，
∴b是a和c的比例中项．
【点睛】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．
考点四：黄金分割
例4．0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（）与身高（）的比达到时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是读懂黄金分割．
根据黄金分割直接列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵王老师的身高是，
∴根据题意得，体重．
∴最接近她的理想体重的是．
故选：B．
【变式4-1】生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.37米B．0.76米C．1.22米D．1.24米
【答案】D
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴，
∵米，
∴（米），
∴a约为1.24米，
故选：D．
【变式4-2】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键．
过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
在中，，
，是边的两个“黄金分割”点，
，
，
．
故答案为：．
【变式4-3】（本题10分）背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．
（1）如图，经测量，帕特农神庙的面宽约为31米，那么它的高度大约是______米．（结果取整数）
实验操作：折一个黄金矩形
第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处；
第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形（如图4）．
问题思考：
（2）图4中是否还存在其它黄金矩形，请判断并说明理由；
（3）以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，若，则这个矩形的面积是______（直接写出结果）．

【答案】（1）19；（2）存在，见解析；（3）或
【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键：
（1）直接根据黄金矩形的定义，列式计算即可；
（2）设，根据题意，易得：，根据黄金分割求出，进而求出，求出的值，即可得出结论；
（3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意，得：帕特农神庙的高度与面宽的比约为，
∴帕特农神庙的高度；
故答案为：19；
（2）存在，理由如下：
设，则：，
由折叠可知
，
∵矩形就是黄金矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形为黄金矩形；
（3）∵，则：，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵矩形纸片，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当为黄金矩形的长时，则宽为，
则矩形的面积为：；
当为黄金矩形的宽时，则长为，
则矩形的面积为：；
综上：矩形的面积为或．
1．若，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
利用比例的性质逐一判断即可．
【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；
B．因为，所以，，故B不符合题意；
C．因为，所以，，故C不符合题意；
D．因为，所以，故D符合题意；
故选D．
2．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
由黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：∵为的黄金分割点，
∴， ，
①、②、③错误，④正确，不符合题意，
故选：A．
3．下列说法（或等式）正确的是（ ）
A．B．一条线段的黄金分割点有两个
C．与是同类项D．是最简二次根式
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式、黄金分割点、同类项、最简二次根式，逐项判断即可，熟练掌握知识点判断是解题的关键．
【详解】解：A、，原结果错误，故不符合题意；
B、一条线段的黄金分割点有两个，靠近两端各有一个，正确，故符合题意；
C、与相同字母的指数不同，不是同类项，原说法错误，故不符合题意；
D、，不是最简二次根式，原说法错误，故不符合题意．
故选：B．
4．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，可得：再代入代数式，约分后可得答案．
【详解】解： ，

故选：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
5．图中的八边形是由10个单位正方形所组成的，在PQ下面的部分包含一个单位正方形与底边为5的三角形．若PQ恰将这八边形平分成两个面积相等的部分，则之值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先设QY＝x，则XQ＝1﹣x，根据题意得到：PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形5×（1+x）+1＝5，解方程即可求得结果．
【详解】设QY＝x，则XQ＝1﹣x．
∵PQ恰将这八边形平分成两个面积相等的部分，∴PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形5×（1+x）+1＝5，解得：x，∴QY，则XQ＝1﹣x＝1，∴XQ：QY2：3．
故选D．
【点睛】本题考查了不规则图形的面积的求解方法：注意将原图形分割求解．此题难度不大，要注意仔细识图．
6．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．设，根据题意易得，，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案．
【详解】解：设，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵点为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，由勾股定理，可得，
即，整理可得，
解得，（舍去），
∴．
故选：C．
7．如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解，
本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边．
【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接，
设正方形边长为，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴平行于，
∴，，，，
在中，，即：，解得：，（舍），
故选：D．
8．如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )
A．B．C．±D．
【答案】D
【详解】根据勾股定理，由OA=AB=1可求OB==，然后由BC=1，可根据勾股定理求得OC==，同理求得OD=2，然后根据比例中项的性质，可知OA、OD的比例中项线段为.
故选D
9．已知，那么 ．
【答案】
【分析】由，设，则，再把的值代入代数式即可得到答案．
【详解】解： ，
设，则，
，
故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数法解决比例的问题是解题的关键．
10．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故答案为：．
11．如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，本题中经分析，因为点为线段的黄金分割点，所以把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即 ，把代入计算，即可作答．
【详解】解：，，以为圆心，为半径，两弧交于点，
∵点为线段的黄金分割点，
∴是和的比例中项，
，
∵
∴
故答案为：
12．若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为1.5厘米，则这两地的实际距离是 千米
【答案】15
【分析】设两地间的实际距离是xcm，由在比例尺为1：1000 000的地图上，量得两地间的距离为1.5厘米，即可得方程 ，解方程即可求得x的值，然后换算单位即可求得答案．
【详解】解：设两地间的实际距离是xcm，
∵比例尺为1：1000 000，量得两地间的距离为1.5cm，
∴，
解得：x=1500000，
∵1500000cm=15km，
∴两地间的实际距离是15千米，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了比例的性质——比例尺的性质，解题的关键是根据题意列方程，要注意统一单位．
13．如果，那么＝ ．
【答案】
【分析】设，然后根据比例的性质解三元一次方程组，最后将a、b的值代入所求解答即可．
【详解】设，则，
解得，
∴．
【点睛】本题集中考查了比例的基本性质、代数式求值及三元一次方程组的解法．
14．黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ．
【答案】/
【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键．
【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），
∴设
∵黄金三角形的底与腰之比为，
∴在中，
即，
解得，
即，
五边形是正五边形，
，正五边形内角和，
，
∴，
，
则，
，
则，
∴为黄金三角形，
黄金三角形的底与腰之比为，
即，
∴，
故答案为：．
15．已知线段，，满足．
(1)求的值．
(2)当线段是线段，的比例中项，且时，求的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查比例线段，解题的关键是理解比例线段的定义，属于中考常考题型．
（1）由题意，，利用整体代入的思想解决问题；
（2）判断出a，b的值，再根据比例中项的定义求解．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，，
．
16．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
【答案】米
【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
【详解】解：设米，则米，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，为分式方程的解，
∵，
∴，
答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上．
17．已知＝＝＝＝k，求 k值．
【答案】或﹣2．
【分析】依据等比性质可得，=k，分两种情况讨论，即可得到k的值．
【详解】∵，
∴由等比性质可得，=k，
当a+b+c+d≠0时，k==；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=-a，
∴k=；
综上所述，k的值为或-2．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
18．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)黄金矩形的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
【答案】(1)
(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
(3)点D到线段AE的距离为
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可求解；
（2）先求出，再求出的值，即可得出结论；
（3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．了解线段的比和成比例的线段；理解并掌握比例的基本性质；
2．了解黄金分割的含义；理解黄金分割的意义，并能动手找到黄金分割点。